Yang Merupakan Barisan Aritmatika Adalah

BAB I

PENDAHULUAN

1.1





LATAR BELAKANG

Matematika adalah salah satu ilmu dasar, yang semakin dirasakan interkasinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada struktur ilmu dan perlatan yang digunakan. Ilmu matematika sekarang ini masih banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang industri, asuransi, ekonomi, pertanian, dan di banyak bidang sosial maupun teknik.

Oleh karena itu pembuatan makalah yang berjudul Baris dan Deret Aritmatika ini dilatar belakangi untuk mempermudah proses belajar mengajar mata kuliah matematika dasar serta untuk melatih pembaca agar berfikir dalam menentukan pola bilangan, notasi sigma, jumlah baris aritmatika serta dapat menghitung jumlah deret aritmatika.

1.2





RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang permasalahan yang dipaparkan di atas, pemakalah dapat merumuskan pembahasan sebagai berikut :

1.



Apa yang dimaksud dengan pola bilangan, barisan dan deret ?

ii.



Bagaimana cara membentuk notasi sigma ?

3.



Bagaimana menghitung dan menentukan jumlah baris aritmatika ?

four.



Bagaimana menghitung dan menentukan jumlah deret aritmatika ?

i.3





TUJUAN

one.



Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan pola bilangan
, barisan dan deret

2.



Untuk mengetahui bagaimana cara membentuk notasi sigma

3.



Untuk mengetahui cara menghitung barisan aritmatika

four.



Untuk mengetahui cara menghitung deret aritmatika

BAB II

ISI

2.ane POLA BILANGAN, BARISAN DAN DERET

A.



Pola Bilangan

Sejak dulu di sekolah dasar, Anda telah mengenal dan menyebutkan bilangan 1,two,3,four,5,… . Urutan bilangan-bilangan itu kemudian dikenal dengan
bilangan asli. Urutan-urutan bilangan lain yang Anda kenal misalnya, bilangan ganjil, bilangan genap, bilangan kelipatan, bilangan kuadrat, dan sebagainya. Sebenarnya, urutan-urutan bilangan tersebut memiliki aturan dan ketentuan-ketentuan tersendiri, sehingga dapat membuat suatu urutan bilangan yang bermakna atau dikenal sebagai
barisan bilangan. Sedangkan cara menetapkan aturan atau ketentuan-ketentuan tertentu, sehingga dapat membentuk sebuah barisan bilangan dinamakan dengan
pola bilangan.

Pola bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menerapkan ilmu matematika yang sebagian besar tersusun dari bilangan-bilangan. Bilangan tersebut pada umumnya ada yang membentuk suatu aturan atau pola. Agar lebih memehami pola dari urutan suatu bilangan, perhatikan contoh-contoh berikut:

a.



1, ii, 3, four, 5 … mempunyai pola bilangan di tambah satu dari pola sebelumnya, mulai dari 1.

b.



0, 2, 4, 6, 8, … mempunyai pola bilangan di tambah

dua

dari pola sebelumnya, di mulai dari 0.

c.



i, 2, 4, 8, 16, … mempunyai pola bilangan di kalikan dengan dua dari bilangan sebelumnya, di mulai dari ane.

d.



1, four, 9, 16, 25, … mempunyai pola bilangan asli yang di kuadratkan.

B.



Barisan

Barisan bilangan atau barisan, seperti telah dikemukakan di atas adalah suatu urutan bilangan dengan aturan tertentu. Setiap bilangan dalam suatu barisan disebut dengan suku yang disimbolkan dengan
U
dan setiap suku digabungkan dengan tanda koma ( , ).

Bentuk umum sebuah barisan dapat ditulis :

U₁


,
U_ii, U₃, U₄, …, U_north

U_n
= suku ke-due north

Contoh :

Tentukan lima buah suku pertama dari barisan yang memiliki rumus suku ke-north
sebagai berikut :

a)




U_{due north}



= 2n
– 1

Jawab :

U_n



= 2n
– 1

U₁



= 2(1) – 1 = 1

U₂


= 2(2) – one = iii

U_iii



= 2(3) – one = 5

U₄



= 2(4) – 1 = 7

U_v


= 2(five) – 1 = 9

Jadi lima suku pertama barisan diatas adalah : ane, iii, 5, 7, 9

C.



Deret

Perhatikan kembali barisan
U₁, U₂, U_three, U_four, …, U_n
. Jika suku-suku tersebut dijumlahkan dalam bentuk
U₁
+ U₂
+ U_three
+ U₄
+ … + U_n

maka penjumlahan barisan tersebut dinamakan dengan Deret. Jumlah suku-suku pada barisan hingga n suku pertama dinyatakan dengan
S_n
. Misalnya jumlah 5 suku pertama ditulis
S_v
= U_i
+ U_ii
+ U₃
+ U_four
+ U_five
.

Contoh :

Diketahui suatu deret : 1 + three + 5 + … hitunglah jumlah lima suku yang pertama !

Jawab :

S₅



= 1 + 3 + five + 7 + ix = 25

2.two NOTASI SIGMA

Notasi Sigma adalah
sebuah tanda yang dituliskan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat. Notasi sigma dituis dengan lambang “∑”. Lambang tersebut merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata asing “sum” yang artinya jumlah. Secara umum, notasi sigma didefinisikan sebagai berikut.

Misalnya suatu deret diketahui
U
₁
+
U
_two
+
U
₃
+… +
U
_n
maka dinyatakan dengan notasi sigma jumlah suku ke-n deret itu dapat ditulis dengan notasi sigma :

Dibaca : jumlah U_k
untuk k = 1 sampai k = n huruf k dinyatakan indeks dari suku U_k

Jika U_m
dinyatakan dalam rumus suku k-n misalnya U_k
= 2k + 1 , maka jumlah suku ke-n deret itu ditulis dengan notasi sigma :

Contoh soal :

1.



Tulislah deret yang dinyatakan oleh notasi sigma berikut !

Jawab:

Jawab :

two.



Nyatakan setiap deret dibawah ini dalam bentuk notasi sigma !

1 + 4 + 7 + ten + 13 + sixteen

Jawab :

Suku ke i : 1 = 3×1-ii

Suku ke two : four = 3×2-2

Suku ke 3 : 7 = 3×3-two

Suku ke 4 : ten = 3×4-2

Suku ke 5 : 13 = 3×5-2

Suku ke 6 : 17 = 3×6-2

Dengan melihat pola pada suku-suku tersebut, dapat disimpulkan bahwa suku dalam penjumlahan tersebut mempunyai pola 3k – 2.


Dengan


demikian :

two.3





BARISAN ARITMATIKA

Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U₁
) dilambangkan dengan a.

b




= beda yang atau selisih

a



= suku pertama

n




= banyaknya suku

U


due north

= suku ke-n=
f(n)

Dengan notasi tersebut, bentuk barisan aritmatika secara umum sebagai berikut:

Nilai U
n

: a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, a+5b,…

Nilai
n

: 1
ii
3
4
five
six

Rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah




:

dengan
b = U_n
– U_{due north
– 1}

      Contoh Soal :

1.



Diketahui barisan aritmetika  3, 8, 13, …

a.



Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-due north barisan tersebut!

b.



Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab :

a.



Dari barisan aritmetika three, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = iii dan beda b = 8 – 3 = 5.

U_n


= a + (n – ane)b

U₁₀






= 3 + (ten – 1)5

= 3 + 9 x five

= 3 + 45

= 48

U_north
   = a + (n – ane)b

= 3 + (n – i)5

= 3 + 5n – v

= 5n – 2

b.



Misalnya
U_{due north}
  = 198, maka berlaku :

U_northward


  = 198

5n – 2 = 198

5n
=

198 + 2

5
due north




= 200

n
=





= 40

Jadi 198 adalah suku ke- forty

2.



Suku ketiga sebuah barisan aritmatika adalah xi dan suku ketujuh adalah 19. Tentukan :

a.



Beda dan suku pertama

b.



Suku ke-north

c.



Suku ke-xx

Jawab :

a.




U₃



= 11 ,
U₇


= 17

United nations = a + ( n – one )b

U_vii
= a + 6b = 19

U₃
= a + 2b = 11



–

4b = 8


b = 2

a + 2b = 11

a + two(two)=xi

a = 11-4 = seven

Jadi beda barisan aritmatika tersebut adalah 2 dan suku pertama adalah 7.

b.





U_n
= a + (n – 1)b

= 7 + (northward – i)2

= vii + 2n – two

= 2n + 5

c.





Un = 2n + 5

U_twenty
=2(xx) + 5

= 45

2.4





DERET ARITMATIKA

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku pada barisan aritmatika. Jumlah
north
suku pertama dari deret aritmatika dilambangkan dengan
Southward_n.
Jumlah north suku pertama dari deret aritmatika ditentukan dengan rumus sebagai berikut :

Atau

Hubungan
U_{due north}

dan
Southward_n
,
U_n
= S_north
– Due south_{n – i}

Contoh :

Carilah jumlah 50 suku yang pertama dari deret aritmetika

2 + iii + 4 + …

Jawab:

a = 2 , b = 3 – two = one dan north = 50

S

=


.50 {2.ii + (50

–

1)one}

= 25


(4 + 49)

= 25(53)

=


1325

2.5





SISIPAN ARITMATIKA

Sisipan yaitu bilangan yang diletakkan diantara dua bilangan. Banyaknya bilangan yang disisipkan tergantung pada yang diminta. Sisipan pada barisan artimatika
apabila diantara 2 suku disisipkan thou buah suku sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, maka beda suku baru setelah sisipan adalah :

b’ =

dengan :

b’= beda setelah sisipan

b = beda sebelum sisipan

chiliad = banyak suku sisipan

Banyaknya suku baru setelah sisipan adalah:

north’ = north + (north – 1)k

dengan :

due north’ = banyak suku setelah sisipan

north = banyak suku sebelum sisipan

m = banyaknya suku sisipan

Jumlah n suku pertama sesudah sisipan adalah :

S_{due north}
‘ =


(2a + (n’ – 1)b’)

Contoh :

1.

Diketahui barisan aritmatika ane , 7, 13, 19. Jika di antara dua suku berurutan disisipkan dua bilangan sehingga terjadi barisan aritmatika baru, tentukan barisan aritmatika baru itu !

Jawab :

one, 7, xiii, 19

Dalam hal ini :  due north  =  4, b =  seven – 1 = 6 dan k  =  two, maka

b’  =



=



=



=  2

Sehingga barisan aritmatika baru adalah :
1, 3, 5,
seven, nine, 11,
xiii, 15, 17,
19

ii.

Diantara 5 dan l disisipi 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika. Tentukan barisan tersebut.

Jawab :

b = 50 – 5 = 45

b’ =





=



=



= five

Jadi barisan yg dibentuk : v, x, 15, 20, 25, thirty, 35, 40, 45, 50.

BAB III

PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

1.



Pola bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola tertentu

2.



Barisan bilangan adalah suatu urutan bilangan dengan aturan tertentu yang masing-masing bilangan dalam urutan tersebut disebut suku dan setiap suku digabungkan dengan tanda koma ( , ). Bentuk umum barisan bilangan
U₁, U_ii, U₃, U₄, …, U_n

3.



Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan, bentuk umum deret yaitu
U₁
+ U₂
+ U₃
+ U₄
+ … + U_{due north}

4.



Notasi sigma digunakan untuk menyingkat penulisan penjumlahan baris aritmetika

5.



Baris aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Rumus suku ke-north baris aritmetika
U_n

= a + (n – 1)b

6.



Deret aritmatika memiliki rumus jumlah suku pertama
S_n

=




n {2a + (n – 1)b}

7.



Sisipan pada barisan aritmatika apabila diantara 2 suku disisipkan grand buah suku sehingga terbentuk barisan aritmatika baru dengan beda atau selisih merupakan selisih baru.