Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu Y

Rumus Volume Benda Putar dan Contoh Soal – Salah satu bentuk pengaplikasian integral selain untuk menghitung luas di bawah kurva juga untuk menghitung volume benda putar. Yang dimaksu volume benda putar adalah volume yang didapatkan dari sebuah luasan yang diputar dengan poros putar tertentu (sumbu x atau sumbu y). Contoh paling sederhana dari benda putar adalah tabung. Volume sebuah tabung didapat dari luas alasa berbentuk lingkaran yang dikalikan dengan tinggi.

Baca Juga : “Rumus-Rumus Integral Lengkap“

Jika alas sebuah tabung dinyatakan dengan fungsi A(x) dan tinggi dari benda putar tersebut adalah panjang selang dari titik a ke b pada sumbu x atau y maka volume benda putar tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus

V = ∫^b
_a
A(x) dx

Untuk mencari volume benda putar yang dihasilkan dari sebuah luasan yang diputar menurut sumbu x dan y dapat menggunakan cara seperti penjelasan berikut:

a. Volume Benda Putar terhadap Sumbu x yang dibatasi 1 Kurva

perhatikan gambar ilustrasi di atas. Luasan di bawah kurva y=f(x) jika diputar dengan sumbu putar dengan titik batas a dan b akan menghasilkan sebuah silinder dengan tinggi selisih b dan a. Volume benda putar menurut sumbu x tersebut dapat dicari dengan rumus

b. Volume Benda Putar terhadap Sumbu y yang dibatasi 1 Kurva

Untuk volume benda putar dengan sumbu putar adalah sumbu y, soba harus mengubah persamaan grafik yang semula y yang merupakan fungsi dari x menjadi kebalikannya x menjadi fungsi dari y.

y = f(x)

menjadi

x = f(y)
.

Misalkan
y = x²

x = √y

Setelah persamaan diubahf kebentuk x = f(y) kemudian dimasukkan ke rumus:

Contoh Soal

Tentukan volume dari benda putar jika daerah yang dibatasai oleh fungsi f(x) = 4 -x², sumbu x, dan sumbu y diputar 360º terhadap:

a. sumbu x
b. sumbu y

a. Diputar mengelilingi sumbu x

Dari grafik di atas terlihat luasan r dibatasi oleh titik di sumbu x (0,0) dan (0,2)

Jadi volume benda putar jika luasan M diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360º adalah 256/15 π

b. Diputar mengelilingi sumbu y

Untuk mencari volume benda putarnya sobat harus menyatakan kurva y = f(x) = 4-x²
menjadi bentuk persamaan x².

y = 4-x²

x²
= 4-y

Luasan M memotong sumbu y di titik (0,0) dan (0,4)

Jadi jika luasan M diputar 360º derajat mengelilingi sumbu ya akan menghasilkan volume sebesar 8 π satuan volume.

c. Volume Benda Putar yang Dibatasi Dua Kurva Jika Diputar Mengelilingi Sumbu x

Jika ada sebuah luasan yang dibatasi oleh dua kurva yaitu f(x) dan g(x) dimana |f(x)| ≥ |g(x)| dengan interval [a,b] diputar mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar tersebut dapat dihitung dengan rumus:

c. Volume Benda Putar yang Dibatasi Dua Kurva Jika Diputar Mengelilingi Sumbu y

Sama prinsipnya dengan yang ada di huruf b, jika ada sebuah luasang yang terbentuk dari dua buah kurva x = f(y) dan x = g(y) dan interval [a.b] yang diputar mengitari sumbu y maka volume yang dihasilkan dapat dicari dengan rumus

Contoh Soal

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daereah yang dibatasi oleh kurva  y = √x , garis x = 2, garis y = 4, dan garis y = 3.

Jawab:

Kita gambar dulu luasan dimaksud

daerah berwarna biru muda di atas akan diputar mengelilingi sumbu x maka volume benda putar yang terjadi:

Jadi volume benda putar tersebut adalah 12 π satuan volume. Okey sobat sekian dulu belajar kita tentang volume benda putar kali ini, semoga bermanfaat. Sukses buat sekolahnya.