Untuk Memproduksi X Unit Barang Perhari Diperlukan Biaya

BAB 4

PENGGUNAAN TURUNAN

4.1 Maksimum dan Minimum

Definisi Nilai Maksimum dan Minimum

Jika c dalam interval tertutup [a,b], maka f(c) dikatakan
nilai minimum
dari f(x) pada [a,b] jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam [a,b].

Jika d dalam interval tertutup [a,b], maka f(d) dikatakan
nilai maksimum
dari f(x) pada [a,b] jika f(x) ≤ f(d) untuk semua x dalam [a,b].

Berdasarkan definisi di atas, jika f(c) adalah nilai minimum dan f(d) nilai maksimum dari f(x) pada [a,b] maka:

untuk semua x dalam [a,b]. Secara geometri, (c,f(c)) merupakan titik terendah dan (d,f(d)) titik tertinggi pada kurva y = f(x), seperti yang diilustrasikan pada gambar di bawah ini.

y



y

a
c
d
b
x


a
b
x

Gb.4.1.1 f(c) merupakan nilai minimum

dan




f(d) nilai maksimum dari f(x) pada [a,b]




Gb.4.1.2 nilai maksimum dan minimum






terjadi di titik ujung interval [a,b]

Teorema A

(Teorema Eksistensi Maks-Min).
Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a,b], maka terdapat nilai c dan d dalam [a,b] sehingga f(c) adalah nilai minimum dan f(d) adalah nilai maksimum dari f pada [a,b].

Teorema B

(Teorema Titik Kritis).



Andaikan f
didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

(i)






titik ujung dari t;

(ii)






titik stasioner dari f(f ’(c)=0);

(iii)






titik singular dari f(f ’(c) tidak ada).

Contoh Soal 4.1.1

Carilah nilai maksimum,minimum,dan titik kritis dari f(x) = x³
+ 3x²
– 9x pada interval tertutup [0,3].

Jawab:

f(x)
= x³
+ 3x²
– 9x

f ‘(x)
= 3x²
+ 6x – 9

= 3(x²
+ 2x – 3)

= 3(x + 3)(x-1)

x = -3
x =1

Titik kritisnya adalah -3 dan 1

Untuk x = -3 tidak ada domainnya,sehingga titik kritisnya hanya x = 1.

Jadi, nilai ekstrimnya adalah 0,1,dan 3.

Mencari nilai maksimum-minimum:

f(x)
=

x³
+ 3x²
– 9x

x = 0

f(0)
= (0)³
+ 3(0)²
– 9(0)

f(0)
= 0

x = 1

f(1)
= (1)³
+ 3(1)²
– 9(1)

f(1)
= -5

x = 3

f(3)
= (3)³
+ 3(3)²
– 9(3)

f(3)
= 27

Jadi, nilai maksimum adalah 27 (dicapai saat x = 3) dan nilai minimum adalah -5 (dicapai saat x = 1).

Contoh Soal 4.1.2

Kotak persegi panjang dibuat dari selembar papan, panjang 8 inci dan lebar 3 inci dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya, seperti gambar di bawah ini. Cari ukuran yang volumenya maksimum. Berapa volume ini?

8-2x
3-2x

Jawab:

Andaikan x adalah sisi bujur sangkar yang harus dipotong dan V adalah volume kotak yang dihasilkan.
Maka

V
= x (3-2x) (8-2x)

= (3x-2x²) (8-2x)

= 24x – 6x²
– 16x²
+ 4x³

= 4x³
– 22x²
+ 24x

Sekarang x tidak dapat lebih kecil dari 0 ataupun lebih besar dari 1,5. Jadi, masalahnya adalah memaksimumkan V pada [0;1,5]. Titik-titik stasioner ditemukan dengan menetapkan dV/dx sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan:

dV



= 12x²
– 44x +24

dx

= 4(3x²
– 11x + 6)

= 4(3x – 2)(x – 3)

x = 2/3
x = 3

Ini memberikan x = 2/3 atau x = 3,tetapi 3 tidak pada selang [0;1,5].Jadi,hanya ada 3 titik kritis,yaitu 0, 2/3, dan 1,5. Pada titik-titik ujung 0 dan 1,5; maka

V(x)
= 4x³
– 22x²
+ 24x

V(0)
= 4(0)³
– 22(0)²
+ 24(0)

= 0

V(2/3)
= 4(2/3)³
– 22(2/3)²
+ 24(2/3)

= 7,4

Jadi,bisa disimpulkan bahwa kotak memiliki volume maksimum 7,4 inci³.

4.2 Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi Kemonotonan

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup,atau tak satupun). Kita katakan bahwa :

(i)






f adalah
naik
pada I

jika untuk setiap pasang bilangan x₁
dan x₂
dalam I,

x₁
<
x₂
→ f(x₁)
<
f( x₂)

(ii)






f adalah
turun
pada I

jika untuk setiap pasang bilangan x₁
dan x₂
dalam I,

x₁
<
x₂
→ f(x₁)
>
f( x₂)

(iii)
f
monoton murni
pada I

jika ia naik pada I atau  turun pada I.

y

f ’(x) > 0
f ’(x) < 0
x

Teorema A

(Teorema Kemonotonan).



Andaikan f kontinu pada selang i dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I.

(i)






Jika f’(x) >0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

(ii)






Jika f’(x) <0 untuk semua titik dalam x dari i, maka f turun pada I.

Definisi Kecekungan

Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I=(a,b). Jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas di sana; jika f ’ turun pada I, f cekung ke bawah pada I.

f ’naik: cekung ke atas
f ’ turun: cekung ke bawah


cekung
cekung

ke atas
ke bawah

Teorema B

(Teorema Kecekungan).



Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).

(i)






Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).

(ii)






Jika f”(x) <
0 untuk semua
x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).

Contoh 4.2.1

Jika f(x) = x³
– 6x²
+ 9x +1, carilah dimana f naik dan f turun.

Jawab:

f ’(x)
= 3x²
– 12x + 9

= 3(x²
– 4x + 3)

= 3(x – 1)(x – 3)

Kemudian tentukan di mana (x – 1)(x – 3) > 0 dan juga di mana (x – 1)(x – 3) < 0.

_{+++
– –
+++}

<sup>1






3</sup>

Titik-titik pemisah adalah 1 dan 3; mereka membagi 3 selang ; (-∞ ,1), (1,3), dan (3,∞). Dengan memakai titik-titik uji 0, 2, dan 4;disimpulkan bahwa f ’(x)>0 pada yang pertama dan terakhir dari selang-selang ini dan bahwa f ’(x)<0 pada selang tengah. Jadi, menurut teorema A, f naik pada (-
∞
, 1] dan [3,
∞
); dan turun pada [1,3].

4.3



Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi Nilai Maksimum dan Minimum Lokal

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa :

(i)






f(c)
nilai maksimum lokal
f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian
sehingga

f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S ;

(ii)






f(c)


nilai minimum lokal
f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S;

(iii)






f(c)
nilai ekstrim lokal
f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

Teorema A

(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal).



Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

(i)






Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) dan f’(x) < 0 untuk semua x

dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii)






Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk semua x

dalam (c,b) , maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.

(iii)






Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai

ekstrim lokal f.

Teorema B

(Uji Turunan Kedua Ekstrim Lokal).



Andaikan f’ dan f’’ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c,dan andaikan f’(c)=0.

(i)






Jika f” (c) < 0,

f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii)






Jika f”(c) > 0,

f(c) adalah nilai minimum lokal f.

Contoh Soal 4.3.1

Carilah nilai minimum dan maksimum lokal dari fungsi f(x) = x³
+ 6x²
+ 9x +7 pada (-∞,∞) menggunakan Uji Turunan Pertama dan Kedua.

Jawab:

f ’(x)
= 3x²
+ 12x+9

= 3(x²
+ 4x +3)

= 3(x +1)(x +3)

x = -1
x = -3

Titik kritisnya adalah -1 dan -3

+++
– – –
+++

-3
-1

Bilamana digunakan titik uji -4,-2, dan 0,maka (x + 1)(x + 3)>0 pada (-∞,-3] dan

[-1,∞). Sedangkan,(x + 1)(x +3)<0 pada [-3,-1].

Mencari nilai maksimum dan minimum lokal:

f(x)
= x³
+ 6x²
+ 9x +7

x = -3

f(-3)
= (-3)³
+ 6(-3)²
+ 9(-3)+7

= 7

x = -1

f(-1)
= (-1)³
+ 6(-1)²
+ 9(-1)+7

= 3

f ’(x)
= 3x²
+ 12x+9

f”(x)
= 6x +12

Titik-titik kritis adalah -1 dan -3, maka mencari nilai maksimum dan minimum lokal menurut Uji Turunan Kedua adalah

f”(-1)
= 6(-1) +12

= 6

f”(-3)
= 6(-3)+12

= -6

Jadi, menurut Uji Turunan Pertama dapat disimpulkan bahwa f(-3) = 7 adalah nilai maksimum lokal dan f(-1) = 3 adalah nilai minimum lokal. Sedangkan, menurut Uji Turunan Kedua f”(-3) adalah nilai maksimum lokal, dan f”(-1) adalah nilai minimum lokal.

4.4 Lebih Banyak Masalah Maks-Min

Pada pasal 4.1 kita sudah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup saja, namun pada praktiknya tidak selalu selang tertutup tetapi bisa saja selang setengah tertutup bahkan selang terbuka.

Contoh Soal 4.4.1

Sebuah jendela berbentuk seperti gambar di bawah ini. Keliling jendela sama dengan
p. Agar luas jendela maksimum,maka x sama dengan…

y

2x

Jawab:

Keliling(p)


= 2x +2y +π

x

Luas persegi panjang
= 2x . y

Luas setengah lingkaran
=

1
π

x

²

2

Luas total
= (2x . y) +
1
π

x

²

2

= x(
p
– 2x –

π
x) +



1


π
x

²

2

=
px – 2x²
–


1


π

x

²

2

L’
=
p
– 4x – πx

x
=


p

4 +

π

Jadi, dapat disimpulkan bahwa agar luas jendela maksimum,maka

x
=
p

4 +

π

4.5 Penerapan Ekonomik

Kita bisa menemukan banyak sekali masalah ekonomi yang sebenarnya merupakan masalah kalkulus. Misalnya saja untuk membuat suatu produksi, sebuah perusahaan harus memperhitungkannya dengan sangat cermat, sehingga bisa memperoleh laba yang besar. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah
total laba

P(x), yakni selisih antara pendapatan dan biaya.

P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x)

Jadi, fungsi R(x), C(x), dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x=0,1,2,3,…dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat mempergunakan kalkulus, titik-titik ini kita hubungkan satu sama lain sehingga membentuk kurva, dengan demikian R, C, dan P dapat dianggap sebagai fungsi yang dapat didiferensialkan. Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari Model Matematika yang hampir selalu diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi.Untuk membuat model dari sebuah masalah yang nyata dijumpai, kita harus menyederhanakan beberapa asumsi. Ini berarti bahwa jawaban yang kita peroleh hanya merupakan jawaban pendekatan – salah satu alasan bahwa ilmu ekonomi sedikit kurang sempurna.

Contoh Soal 4.5.1

Suatu proyek pembangunan jembatan dapat selesai dalam x hari dengan biaya proyek per hari

(
3x – 900 +
120) ratus ribu rupiah..

x

Agar biaya proyek minimum, maka
proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu…

Jawab:

Biaya proyek dalam 1 hari
=

(
3x – 900 +
120) ratus ribu

rupiah.




x

Biaya proyek dalam x hari
=

(
3x – 900 +
120)
→
(dikalikan dengan x).

x

= (3x²
– 900x + 120) ratus ribu rupiah

Biaya minimum (B’(x))
= 6x – 900

= 6x – 900

x
=
900

6

x
= 150

Jadi, agar biaya proyek minimum, maka proyek pembangunan jembatan tersebut harus selesai dalam waktu 150 hari.

Contoh Soal 4.5.2

Untuk memproduksi unit barang per hari diperlukan biaya (x³
– 2000x²
+ 3.000.000x) rupiah. Jika barang itu harus diproduksi, maka biaya produksi per unit yang paling rendah tercapai bila per hari diproduksi…

Jawab:

Memproduksi unit barang setiap hari:

Biaya
= (x³
– 2000x²
+ 3.000.000x) rupiah

Memproduksi 1 unit barang per hari
:

Biaya (B)
= (x^{2 –}
2000x + 3.000.000) rupiah

dB




= 2x – 2000

dx

jika
dB
= 0, maka:

dx

= 2x – 2000

x

= 1000

d


²


B


= 2 > 0, maka terjadi titik minimum pada x = 1000

dx²

4.6 Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

Definisi

(Limit bila x → ∞).
Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa lim f(x) =  L

x→ ∞

jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan


M yang berpadanan sedemikian sehingga

x > M → │f(x) – L│< ε

Definisi

(Limit bila x →- ∞).


Andaikan f terdefinisi pada (-∞,c] untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing
ε > 0, terdapat suatu bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

X < M → │f(x) – L│< ε

Definisi Limit Tak-terhingga)

(Limit-limit tak-terhingga).


Kita katakan bahwa lim f(x) = ∞

^x→c

jika untuk tiap
bilangan positif M, berpadanan suatu δ → f(x) > M

Terdapat definisi-definisi yang berpadanan dari

lim f(x) = -∞, lim f(x) = ∞ , dan lim f(x) = -∞

<sup>x→c




x→c
x→c</sup>

Contoh Soal 4.6.1

Tentukan nilai dari
lim

3x²
– 2x + 5

^x→∞

2x²
+ x – 7

Jawab:

lim

3x²
– 2x + 5



= lim

(3x²
– 2x + 5)/x2

^x→∞

2x²
+ x – 7

<sup>x

→


∞</sup>


(2x²
+ x – 7)/x2

=
lim


3x²


–
2x
+
5

<sup>x

→


∞</sup>




x²

x²

x²

2x²




+

x


–

7

x²

x²

x²

= 3 –
2
+
5

^∞
∞

2 +
1
–
7

^∞
∞

=
3 – 0 + 0

2 + 0 – 0

=
3

2

4.7 Penggambaran Grafik Canggih

Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur secara baik,khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-ciri grafik.
Kita dapat menempatkan titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik; kita dapat menentukan secara persis dimana grafik naik atau dimana cekung ke atas. Contohnya saja pada polinom derajat satu atau dua jelas untuk digambar grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalnya 3 sampai 6, kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.

Contoh Soal 4.7.1

Sketsakan grafik f(x) = x³
– 6x²
+ 9x +1

Jawab:

Fungsi ini bukan ganjil ataupun genap, sehingga tidak diharapkan simetri yang biasa. Tidak terdapat perpotongan dengan sumbu x, karena penyelesaian dari x³
– 6x²
+ 9x +1 = 0 bukan bilangan riil.

f ’(x)
= 3x²
– 12x + 9

= 3(x²
– 4x + 3)

= 3(x – 1)(x – 3)

Kemudian tentukan di mana (x – 1)(x – 3) > 0 dan juga di mana

(x – 1)(x – 3) < 0.

_{+++
– – –
+++}

^1
3

f”(x)
= 6x – 12

= 6x – 12

= 6(x – 2)

x  = 2

Titik-titik pemisah adalah 1 dan 3; mereka membagi 3 selang ; (-∞ ,1), (1,3), dan (3,∞). Dengan memakai titik-titik uji 0, 2, dan 4;disimpulkan bahwa f ’(x) > 0 pada yang pertama dan terakhir dari selang-selang ini dan bahwa f ’(x) < 0 pada selang tengah. Jadi, menurut teorema A, f naik pada (-
∞
, 1] dan [3,
∞
); dan turun pada [1,3] dan cekung ke atas pada [2,
∞
).

4.8 Teorema Nilai Rata-rata

Teorema A

(Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan).


Jika f
kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) di mana

f(b) – f(a)

= f ’ (c)

b – a

atau, secara setara, di mana

f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a)

Teorema B

Jika F ‘(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x) = G(x) + C

Untuk semua x dalam (a,b)

Conto Soal 4.8.1

Andaikan f(x) = 2x³
– 4x²
– x + 1 pada [0,3]. Cari semua bilangan
c
yang memenuhi kesimpulan terhadap Teorema Nilai Rata-rata.

Jawab:

f ’(x) = 6x²
– 8x – 1

dan

f ‘(x) =
f(b)-f(a)

b – a

f ‘(x) =
f(3) – f(0)

3 – 0

=
16 – 1

3

= 5

Karena itu, kita harus menyelesaikan

6c²
– 8c – 1 = 5

Atau setara dengan,

6c²
– 8c – 6 = 0

Dari rumus
abc
untuk persamaan kuadrat, terdapat dua penyelesaian (4



± 2






√


13)

6

Yang berpadanan terhadap
c₁

= – 0,53 dan
c₂

= 1,86.

Ditulis dalam Uncategorized