Tuliskan Derajat Suku Suku Dalam Urutan Naik Dan Koefisiennya

Tuliskan Derajat Suku Suku Dalam Urutan Naik Dan Koefisiennya








Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat Bilangan bulat non negative.


Bentuk umum :



y = F(x) = a


n

xn
+ a


n-


1

xn-1
+ a


n-


2

xn-2
+ … + a1x + a




Dengan n
bilangan bulat

Pengertian-pengertian:

a, a1, a2
,…, an-1
, an



Disebut koefisien masing-masing bilangan real

Derajat Suku Banyak adalah pangkat tertinggi dari pangkat-pangkat pada tiap-tiap suku, disebut n.Untuk suku banyak nol dikatakan tidak memiliki derajat.

Suku : a

n

xn
, a


n-


1

xn-1
, a


n-


2

xn-2
, … , a1x , a




Masing-masing merupakan suku dari suku banyak

Suku Tetap (konstanta)

a




adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung variabel/peubah. Sedangkan anxn
adalah suku berderajat tinggi.

Soal

1. Diketahui suku banyak: f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7

Tentukan suku tetapnya.

Jawab :

Suku tetap adalah konstanta.

Maka, suku tetapnya adalah -7

2. Diketehui suku banyak: f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7



tentukan derajat suku banyaknya



Jawab:



Derajat suku banyak adalah pangkat tertinggi dari suku-suku yang ada.

x5
adalah pangkat tertinggi. Jadi f(x) berderajat 5

3. Diketahui suku banyak: -x2+14+2x3-7x





Tentukan

dalam urutan naik dan urutan turun



Jawab:



Dengan menggunakan sifat kumutatif diperoleh



-x2+14+2x3-7x = 2x3
-x2-7x+14 (urutan turun)



= 14 – 7x -x2
+ 2x3

(urutan naik)


OPERASI PADA SUKU BANYAK



Penjumlahan, pengurangn dan perkalian Suku Banyak

1. Penjumlahan



contohnya: f (x) = 3x4
– 2x3
+ 5x2
– 4x + 3
, g(x) = 4x3
– 6x2
+ 7x – 1



Tentukan :
f (x) +
g(x)



Jawab


:
f (x) +
g(x)
= (3x4
– 2x3
+ 5x2
– 4x + 3) + (4x3
– 6x2
+ 7x – 1)



= 3x4
+ (-2 +4)x3
+ (5-6)x2
+ (-4+7)x + (3-1)




= 3x4
+ 2 x3
– 1x2
+ 3x + 2

2. Pengurangan



contoh: : f (x) = 3x4
– 2x3
+ 5x2
– 4x + 3
, g(x) = 4x3
– 6x2
+ 7x – 1



Tentukan :
f (x) –
g(x)



Jawab


:
f (x) –
g(x)
= (3x4
– 2x3
+ 5x2
– 4x + 3) – (4x3
– 6x2
+ 7x – 1)



= 3x4
+ (-2 -4)x3
+ (5+6)x2
+ (-4-7)x + (3+1)



= 3x4
– 6x3
+11x2
– 11x + 4

3. Perkalian





Contohnya: f (x) = 2x3
+ 5x2
– 4x + 3
, g(x) = 6x2
+ 7x – 1



Tentukan :
f (x) x g(x)



Jawab


:
f (x) x g(x)
= (2x3
+ 5x2
– 4x + 3) x (6x2
+ 7x – 1)



= 2x3
(6x2
+ 7x – 1) + 5x2
(6x2
+ 7x – 1)



– 4x (6x2
+ 7x – 1) + 3 (6x2
+ 7x – 1)



= 12x5
+ 14x4
– 2x3
+ 30x4
+ 35x3
– 5x2




– 24x3
– 28x2
+ 4x + 18x2
+21x – 3



= 12x5
+ 34x4
– 26x3
– 15x2
+ 25x – 3


NILAI SUKU BANYAK




Jika f(x) = axn
+ bxn-1+

cxn


-2

+…+f
maka nilai suku banyak dapat dicari dengan cara
subtitusi dan skematik.

Soal

1. Diketahui fungsi polinom
f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7



Maka nilai fungsi tersebut untuk
x=-2 adalah



a. -90
d. 45



b. -45
e. 90



c.

Pembahasan

f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7

Cara 1 (subtitusi): x = -2

Baca :   Siapa Yang Pertama Kali Menemukan Tolak Peluru

f(-2)= 2(-2)5+3(-2)4+5(-2)2+(-2)-7

f(-2)= -45

Cara 2 (skematik)



2
3

-5
1
-7

(koefisien p

olin
om )




-2
-4
2
-4
18
-38
+

2
-1
2
-9
19
-45 =
f(-2)

Jadi nilai f (-2) = -45


PEMBAGIAN PADA SUKU BANYAK



Pembagian sukubanyak P(x) oleh (x – a) dapat ditulis dengan



P(x) = (x – a)H(x) + S


Keterangan:


P(x) sukubanyak yang dibagi,


(x – a) adalah pembagi,


H(x) adalah hasil pembagian,


dan S adalah sisa pembagian


TOREMA SISA



Jika sukubanyak P(x) dibagi (x – a), sisanya P(a) dibagi (x + a) sisanya P(-a)

dibagi (ax – b) sisanya P(b/a)


Contoh 1:


Tentukan sisanya jika 2×3 – x2 + 7x + 6
dibagi x + 1
atau dibagi x – (-1)


Jawab

: sisanya adalah

P(-1) = 2.(-1)3 – (-1)2 + 7(-1) + 6



= – 2 – 1 – 7
+ 6





= -4


Contoh 2

:

Tentukan
sisa
dan
hasil baginya
jika x3 + 4×2 – 5x – 8 dibagi x – 2


Jawab

:

Dengan teorema sisa, dengan mudah kita dapatkan
sisanya,

yaitu P(2) = 8 + 16 – 10 – 8



= 6

tapi untuk menentukan
hasil baginya kita gunakan: Pembagian
Horner:

dengan menggunakan
bagan
seperti berikut:

x3 + 4×2 – 5x – 8 dibagi x – 2



2
1
4
-5
-8
koefisien



Polinum





2


12
14












+








1
6
7
6

Koefisien hasil bagi
1
6
7

Jadi
hasil baginya:
x2 + 6x + 7


Contoh 3

:

Tentukan
sisa
dan
hasil baginya
jika 2×3 – 7×2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1


Jawab:

(2×3 – 7×2 + 11x + 5) : (2x – 1)

Sisa:

P(½) = 2(½)3 – 7(½)2 + 11.½ + 5



= 2.⅛ – 7.¼ + 5½ + 5



= ¼
– 1¾ + 5½ + 5



= 9

2×3 – 7×2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1

Kita gunakan pembagian
horner

2×3 – 7×2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1 →x =
1

2



2
-7
11
5




1




2
1
-3
4








+



2
-6
8
9

Koefisien hasil bagi
2
-6
8
9

Sehingga
2×3 – 7×2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1

Dapat ditulis: 2×3 – 7×2 + 11x + 5 = (x – ½)


(2×2 – 6x + 8) + 9




= (2x – 1)



(x2 – 3x + 4) + 9

Pembagi
: 2x – 1

Hasil bagi : x2 – 3x + 4

Sisa
: 9


Contoh 4

:

Nilai m supaya 4x4
– 12x3
+ mx2
+ 2 habis dibagi 2x – 1 adalah….

Jawab: habis dibagi → S = 0




P(½) = 0

4(½)4
– 12(½)3
+ m(½)2
+ 2 = 0

¼ – 1½ + ¼m + 2 = 0

¼m = -¼ + 1½ – 2 (dikali 4)



m = -1 + 6 – 8



m = -3

Jadi nilai m = -3


Pembagian Dengan (x –a)(x – b)

Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai



P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x)

berarti: untuk x = a , P(a) = S(a) dan untuk x = b,P(b) = S(b)


Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q


Contoh5

:

Suku banyak (x4
– 3x3
– 5x2
+ x – 6) dibagi (x2
– x – 2), sisanya sama dengan….


Jawab

:

Bentuk pembagian ditulis: P(x) = (x2
– x – 2)H(x) + S(x)

Karena pembagi berderajat 2 maka sisa = S(x) berderajat 1

misal: sisanya px + q

sehingga bentuk pembagian ditulis:


F

x4
– 3x3
– 5x2
+ x – 6
= (x2
– x
– 2)H(x) + px + q


F

x4
– 3x3
– 5x2
+ x – 6
= (x + 1)(x – 2)H(x) + px + q

P(x) dibagi (x + 1) bersisa P(-1)



P(x) dibagi (x – 2) bersisa P(2)

P(-1)
= (-1)4 – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6

Baca :   Berikut Pernyataan Yang Benar Mengenai Tekanan Pada Zat Padat Adalah



=
1 + 3 – 5 – 1 – 6 = -8

P(2)
= 24 – 3.23 – 5.22 + 2 – 6



= 16 – 24 – 20 + 2 – 6 = -32

P(x)
= px + q

P(-1)
= -p + q = -8

P(2)
= 2p + q = -32
_



-3p
= 24


®


p =
-8

p =
-8 disubstitusi ke



–p + q = -8



8 + q = -8


®


q = -16

Sisa: px + q = -8x + (-16) Jadi sisa pembagiannya: -8x -16


TEOREMA FAKTOR

Jika f(x) adalah sukubanyak; (x –
k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika

f(k) = 0

Artinya: Jika (x –
k) merupakan faktor, maka nilai f(k) = 0 sebaliknya,
jika f(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor


Contoh 1:


Tunjukan (x + 1) faktor dari
x3
+ 4x2
+ 2x – 1


Jawab:

(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0

P(-1) = (-1)3
+ 4(-1)2
+ 2(-1) – 1



= -1 + 4 – 2 – 1 = 0

Jadi, (x + 1) adalah faktornya.

Cara lain untuk menunjukan (x + 1) adalah faktor dari x3
+ 4x2
+ 2x – 1 adalah dengan

pembagian
horner:



1
4
2
-1



-1


-1
-3
1
+



1
3
-1

Karena sisa pembagiannya 0 maka (x + 1) meripakan factor dari x3
+ 4x2
+ 2x – 1


Contoh 2:


Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3
– x2
– 7x + 6


Jawab:

Misalkan faktornya (x –
k), maka nilai
k
yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu

pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai
k
itu kita substitusikan

ke P(x), misalnya
k
= 1 diperoleh:

P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6



= 2 – 1 – 7 + 6



= 0

Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu factor dari P(x) = 2x3
– x2
-7x + 6

Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan
hasil bagi
P(x) oleh (x – 1) dengan

pembagian
horner:


Koefisien sukubanyak P(x) = 2x3
– x2
– 7x + 6 adalah
2
-1
-7
6



2
-1
-7
6



1
2
1
-6



+



2
1
– 6


Hasil baginya: H(x) = 2x2
+ x – 6

Karena
hasil baginya
adalah H(x) = 2x2
+ x – 6 = (2x – 3)(x + 2) dengan demikian

2x3
– x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2
+ x – 6)

2x3
– x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)

Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1),
(2x – 3 )
dan (x + 2)


Akar-akar Rasional Persamaan Sukubanyak

Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan sukubanyak, karena ada hubungan antara faktor dengan akar-akar persamaan sukubanyak

Jika P(x) adalah sukubanyak; (x –
k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika
k
akar dari persamaan P(k) = 0


k


disebut
akar
atau
nilai nol
dari persamaan sukubanyak: P(x) = 0


Teorema Akar-akar Rasional

Jika P(x) = anxn
+ a




n-1

xn-1
+ …+ a1x + ao
dan
(x –
k) merupakan faktor dari P(x) maka

K merupakan akar dari P(x).


Contoh 1:


Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3
– 7x
+ 6. Kemudian tentukan akar-akar yang lain.


Jawab:

Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan bahwa P(-3) = 0

P(x) = x3
– 7x
+ 6.

P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6



= -27 + 21 + 6



= 0

Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar dari Persamaan P(x) = x3
– 7x + 6 = 0

Untuk menentukan
akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi

P(x) = x3
– 7x + 6 dengan x + 3 dengan pembagian
Horner
sebagai berikut

Baca :   Alat Yang Digunakan Untuk Mengukur Gaya Disebut

P(x) = x3
– 7x + 6

berarti koefisien P(x) adalah
1

-7
6
dengan k = -3



1

-7
6



-3
-3
9
-6



+



1
-3
2

Hasil baginya: H(x) = x2
– 3x + 2



=
(x – 1)(x – 2)

sehingga persamaan sukubanyak tsb dapat ditulis menjadi
(x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.

Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2


Contoh 2:


Banyaknya akar-akar rasional dari persamaan x4
– 3x2
+ 2 = 0 adalah….


a. 4
b. 3


c. 2
d.1

e.o


Jawab

:

Karena persamaan sukubanyak berderajat 4, maka akar-akar rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor bulat dari 2 adalah 1, -1, 2
dan -2

Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-akar rasional persamaan sukubanyak tsb,

kita coba nilai 1

Koefisien
x4
– 3x2
+ 2 = 0 adalah 1,
0,
-3,
0,
dan
2



1

-3

2



1
1
1
-2
-2



+



1
1
2
-2



Ternyata P(1) = 0, berarti
1
adalah akar rasionalnya,



Selanjutnya kita coba -1.



Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2



1
1
-2
-2



-1
-1

2



+



1

-2



Ternyata P(-1) = 0, berarti
-1
adalah akar rasionalnya,
Sehingga:



(x – 1)(x + 1)(x2
– 2) = 0



(x2
– 2) difaktorkan lagi menjadi (x – √2)(x + √2) = 0



Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan rasional.



Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.


Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Sukubanyak

Jika akar-akar Persamaan Sukubanyak: ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 adalah x1, x2, dan x3
maka



x1
+ x2
+ x3
=

-b



a



x1.x2
+ x1.x3
+ x2.x3
=


c




a



x1.x2.x3
=

-d



a


Contoh 1:


Jumlah akar-akar persamaan x3
– 3x2
+ 2 = 0 adalah….


Jawab

:

a = 1, b = -3, c = 0, d = 2

x1
+ x2
+ x3
= -b/a = -3/1
= 3


Contoh 2:


Hasilkali akar-akar persamaan 2x3
– x2
+ 5x – 8 = 0 adalah….


Jawab

:

a = 2, b = -1, c = 5, d = -8

x1.x2.x3
=
c/a
=
5/2


Contoh 3:


Salah satu akar persamaan x3
+ px2
– 3x – 10 = 0 adalah -2 Jumlah akar-akar persamaan

tersebut adalah….


Jawab

:

-2 adalah akar persamaan x3
+ px2
– 3x – 10 = 0 → -2 memenuhi persamaan tsb.

sehingga: (-2)3
+ p(-2)2
– 3(-2) – 10 = 0



-8 + 4p + 6 – 10 = 0



-8 + 4p + 6 – 10 = 0



4p – 12 = 0


®


4p = 12


®


p = 3

Persamaan tersebut:
x3
+ 3x2
– 3x – 10 = 0

Jumlah akar-akarnya: x1
+ x2
+ x3
=
-b/a
=
-3


Contoh 4.

Akar-akar persamaan x3

– 12x2
+ 44x + p
=

adalah
x1
, x2

dan
x3

jika diketahui
x1

=
x2

+
x3

Tentukan

a) nilai P

b) akar-akar persamaan tersebut

Jawab



x1
+ x2
+x
3

=





=





= 12

Karena x1= x2

+x3
maka



x1
+x2

+x3

=12



x1
+ x1
= 12



2x1
= 12



x1

= 6

Selanjutnya kita gunakan pembagian dg cara hor ner dg pembagi x1
=

6



6
1
-12
44

p



6
-36
48

+



1
-6
8
p + 48

a) karena x1
= 6 adalah akar dari persamaan suku banyak maka p + 48 = 0

nilai P = – 48

b) akar-akar persamaan



x3– 12x2
+ 44x -48 = 0 dibagi
dg (x1= 6) didapat hasil baginya x2-6x+8 = 0

maka faktornya
x2-6+8 = ( x-2)(x-4)

dan akar-akarnya
x-2 = 0 , x2= 2





x-4 = 0, x3= 4

jadi akar-akar persamaannya x3

– 12x2
+ 44x + 6
=

adalah

2, 4, 6

sumber.

Sukino. 2014.
Matematika kelompok peminatan matematika dan ilmu alam.
Jakarta. Erlangga

Informasi tentang materi suku banyak di atas semoga bermanfaat dalam membantu memahami setiap pelajaran matematika sehingga dapat sukses dalam ujian.



J



Tuliskan Derajat Suku Suku Dalam Urutan Naik Dan Koefisiennya

Sumber: http://berthakamora.blogspot.com/2016/12/bimbingan-mempelajari-suku-banyak.html

Check Also

Harga Beras 10 Kg Di Pasar

Harga Beras 10 Kg Di Pasar 4 menit Kamu pasti sudah sering sekali mendengar ungkapan, …