Tentukan Himpunan Penyelesaian Dari Setiap Persamaan Eksponen Berikut

Tentukan Himpunan Penyelesaian Dari Setiap Persamaan Eksponen Berikut

Hallo Gengs Apa kabar? Semoga

k
ita selalu dalam lindunganNya.
Pada kesempatan kali ini, akan diberikan contoh-contoh soal plus pembahasannya tentang persamaan eksponensial.

Namun sebelumnya akan saya berikan sifat-sifat yang ada pada persamaan eksponen
.

Misalkan

a

 > 0 dan

a

 ≠ 1.

Jika
a
f(x)
 =
a
g(x)
 maka f(x) = g(x)

Misalkan

a

,

b

 > 0 dan

a

,

b

 ≠ 1.

 Jika
a
f(x)
 =
b
f(x)
 maka  f(x) = 0




Misalkan

a

,

b

 > 0 dan

a

,

b

 ≠ 1.

Jika
a
f(x)
 =
b
g(x)
 maka log
a
f(x)
 = log
b
g(x)




Jika
f(x)g(x) = 1
 maka





(1)
f(x) = 1

(2)
f(x) = -1
,  dengan syarat g(x) genap

(3)g(x) = 0,  dengan syarat f(x)
≠ 0




Jika
f(x)h(x) = g(x)h(x)

 maka




(1)
f(x) = g(x)

 (2)
f(x) = -g(x)
,  dengan syarat h(x) genap

(3)

h(x) = 0,  dengan syarat

f(x)
≠ 0 dan g
(x)
≠ 0




Jika
f(x)g(x) = f(x)h(x)

 maka




(1)
g(x) = h(x)

(2)
f(x) = 1

(3)
f(x) = -1
,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil

(4)
f(x) = 0
,  g(x) dan h(x) keduanya positif

Tanpa basa basi lagi, kita langsung saja masuk ke contoh-contohnya.

Contoh 1

Soal:
Tentukan penyelesaian dari persamaan ekponensial berikut ini
2
2x-7
 = 8
1-x

Jawab:

Pertama-tama yang perlu Gengs lakukan yaitu menyamakan basis pada kedua ruas [ruas kanan dan ruas kiri] seperti berikut:
2
2x-7
 = 8
1-x

2
2x-7
 = (2
3
)
1-x

2
2x-7
 = 2
3-3x

Nahhhh karena basismya telah sama, maka dengan mudah kita dapat menentukan nilai x-nya seperti berikut ini.
2x – 7 = 3 – 3x
5x = 10
x = 2
Sehingga kita peroleh x = 2

Contoh 2

Soal:
Carilah bentuk sederhana dari $(\frac{a^{\frac{1}{2}} b^{-3}}{a^{-1} b^{\frac{-3}{2}}})^{\frac{2}{3}}$ adalah …
Jawab:

Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, maka :

Contoh


3



Soal:
Tentukan nilai dari $\frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}$
Jawab:

$\frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}=\frac{2^{2}(2^{3}-2^{5})}{2^{2}}$
=$2^{3}-2^{5}$
= 8 – 32 = -24

Contoh


4



Soal:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut
3ˣ⁺²+3ˣ=10
Jawab:

3ˣ⁺²+3ˣ=10
3ˣ(3²+1)=10

3ˣ(10)=10
3ˣ = 1
3ˣ=3⁰
x=0

Contoh
5



Soal:
Hasil dari $\sqrt[3]{0,125}+ \frac{1}{\sqrt[5]{32}}+ (0,5)^2$ adalah…
Jawab:

Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen dan bentuk akar, maka

Contoh


6



Soal:
Tentukan nilai x dari persamaan 3⁵ˣ⁻¹ – 27ˣ⁺³ = 0
Jawab:

3⁵ˣ⁻¹ – 27ˣ⁺³ = 0
3⁵ˣ⁻¹ = (3³)ˣ⁺³
3⁵ˣ⁻¹ = 3³ˣ⁺⁹
5x-1 = 3x + 9

2x = 10
x = 5

Contoh 7

Soal:
Tentukan penyelesaian dari
3
2x-2
 = 5
x-1

Jawab:

Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :

3
2x-2
 = 5
x-1

3
2(x-1)
 = 5
x-1

9
x-1
 = 5
x-1

Sehingga berdasarkan sifat 2, maka akan diperoleh sebagai berikut:
x – 1 = 0
x = 1

Dengan demikian nilai x yang kita peroleh yaitu 1.

Baca :   Resultan Gaya Yang Segaris Kerja Dan Berlawanan Arah Sama Dengan

Contoh


8



Soal:
Jika 3ˣ⁻²ʸ =  1/81 dan 2ˣ⁻ʸ = 16, maka nilai x + y
Jawab:

Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka
3ˣ⁻²ʸ = 1/81
3ˣ⁻²ʸ = 1/3⁴
3ˣ⁻²ʸ = 3⁻⁴ ……………………… pers 1

2ˣ⁻ʸ= 16
2ˣ⁻ʸ = 2⁴
x – y = 4 ………………………….. pers 2
Dari pers 1 dan pers 2, diperoleh
x – 2y = -4
x – y = 4
___________ –
-y = -8
y = 8

Nilai y dapat kita subsitusikan ke pers 1 atau 2, maka
x – 2y = -4

y = 8
Jadi
x – 2(8) = -4
x = -4 + 16
x = 12
ATAU
x – y = 4
x – (8) = 4
x = 4 + 8
x = 12
Didapatkan nilai x = 12, dan nilai y = 8
Jadi, x + y = 12 + 8 = 20

Contoh 9

Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari :

9x²+x = 27x²-1



Jawab:


9x²+x
= 27x²-1

32(x²+x) = 33(x²-1)


2 (x2+x) = 3 (x2-1)
2x2 + 2x = 3x2 – 3
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0

x = 3     atau   x = -1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
{ -1,3 }


Contoh 10



Soal:
Tentukan penyelesaian dari


(







2




3







2
3



)

x

 = 6

1-x



Jawab:



Basis pada kedua ruas persamaan di atas berbeda, begitu pula pangkatnya. Sehingga, berdasarkan sifat 3, maka akan diperoleh sebagai berikut:


Sifat-sifat logaritme yang akan kita gunakan pada contoh berikut:

1.




log an = n log a



2.




log a + log b = log (ab)





log  (






2




3







2
3



)

x

 = log 6

1-x


x log (






2




3







2
3



) = (1 – x) log 6


x log (






2




3







2
3



) = log 6 – x log 6

x log (






2




3









2
3



) + x log 6 = log 6

x (log (






2




3









2
3



) + log 6) = log 6

x log 4 = log 6



x =









l


o


g



6






l


o


g



4











Baca :   Tiga Pegas Identik Dengan Konstanta 1000



l
o
g

6


l
o
g

4






x =
4
log 6

Sehingga penyelesaiannya adalah

x =

4
log 6



***Pelajari juga sifat-sifat dari logaritme

Contoh 11

Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari
3
x2-1
 = 2
x+1

Jawab:

Untuk menjawab soal ini, coba Gengs perhatikan kembali sifat nomor 3.
Nahhhhh berdasarkan sifat tersebut:

log 3
x2-1
 = log 2
x+1

(x
2
 – 1) log 3 = (x + 1) log 2

(x + 1)
(x – 1) log 3 =
(x + 1)
 log 2

Perhatikan bahwa ruas kiri mempunyai faktor (x + 1) dan ruas kanan pun mempunyai faktor (x + 1) ini menandakan bahwa ruas kiri akan sama dengan ruas kanan apabila (x + 1) = 0
x + 1 = 0

       x = -1

Saat (x + 1) ≠ 0, maka

(x + 1)

(x – 1) log 3 =

(x + 1)

 log 2

(x – 1) log 3 = log 2

x log 3 – log 3 = log 2

x log 3 = log 2 + log 3

x log 3 = log 6

x =









l


o


g



6






l


o


g



3














l
o
g

6


l
o
g

3






x =3log 6

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-1,

3
log 6}





Contoh12

Soal:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut.
25x+2 = (0,2)1-x

Jawab





25x+2 = (0,2)1-x


52(x+2) =

5
-1(1-x)

2x + 4 = -1 + x
2x – x = -1 – 4
x         = -5

Jadi nilai x yang diperoleh yaitu
-5

Contoh 13

Soal:
Jika 4ˣ – 4ˣ⁻ = 6 maka (2x)ˣ sama dengan ?
Jawab:

4ˣ – 4ˣ⁻¹ = 6
4ˣ – 1/4 . 4ˣ = 6
3/4 . 4ˣ = 6
4ˣ = 8
2²ˣ = 2³
2x = 3
x = 3/2
Sehingga,
(2x)ˣ = (2.3/2)ˣ = 3ˣ =$3^{3/2}$

Contoh 14

Soal:
Diketahui a = 4 b = 2 dan c = 1/2. Tentukan nilai dari (a⁻¹)² . b⁴/c⁻³
Jawab:

Contoh 15

Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari

(x – 4)
4x
 = (x – 4)
1+3x

Jawab:


Untuk menjawab soal ini, Gengs perhatikan kembali sifat nomor 6.


Misalkan :
f(x) = x – 4,
g(x) = 4x  dan
h(x) = 1 + 3x

Solusi 1:
g(x) = h(x)
4x = 1 + 3x
x = 1

Solusi 2:
f(x) = 1
x – 4 = 1
x = 5

Solusi 3:
f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil.
x – 4 = -1
x = 3

Periksa : Untuk x = 3 maka
g(x) = 4(3) = 12

h(x) = 1 + 3(3) = 10

Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi.
***Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jika salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi.

Solusi 4:
f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif.
x – 4 = 0
x = 4

Periksa : Untuk x = 4 maka
g(x) = 4(4) = 16

h(x) = 1 + 3(4) = 13

Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi.
***Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi.
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3, 4, 5}

Baca :   Simbol Kurang Dari Dan Lebih Dari

Contoh 16

Soal:
Akar-akar persamaan 2.3⁴ˣ – 20.3²ˣ + 18 = 0$ adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ adalah
Jawab:

Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka:

2.3⁴ˣ – 20.3²ˣ + 18 = 0

(3²ˣ) – 10.3²ˣ + 9 = 0

(3²ˣ – 9)(3²ˣ – 1) = 0

3²ˣ = 9 atau 3²ˣ = 1

3²ˣ = 3² atau 3²ˣ = 3⁰

2x = 2 atau 2x = 0

x = 1 atau x = 0

Jadi x₁ + x ₂ = 1 + 0 = 1

Contoh 17

Soal:
Cari himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 3²ˣ⁺² + 8.3ˣ -1 = 0
Jawab:

3²ˣ⁺² + 8.3ˣ – 1 = 0

3²ˣ 3² + 8.3ˣ – 1 = 0

(3ˣ)² 3² + 8. 3ˣ – 1 =

Langkah selanjutnya yang perlu kita lakukan yaitu faktorkan persamaan kuadrat yang telah kita peroleh dengan memisalkan 3ˣ = a
9a² + 8a -1 = 0
[9a-1][a+1] = 0
9a-1 = 0
9a = 1
a = 1/9
atau
a + 1 = 0
a = -1
kembali ke permisalan awal 3ˣ  = a
Jika 3ˣ  = 1/9 maka x = -2
Jika 3ˣ = -1 [tidak memenuhi] Sehingga nilai x yang memenuhi adalah -2

Contoh 18

Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari
(x
2
 + 3x – 2)

2x+3

 = (x
2
 + 2x + 4)

2x+3


Jawab:

Berdasarkan sifat 5, persamaan eksponen di atas akan mempunyai tiga kemungkinan solusi.
Solusi 1:
Basis kiri sama dengan basis kanan

x

2
 + 3x – 2 = x
2
 + 2x + 4


3x – 2 = 2x + 4

x = 6

Solusi 2:
Basis berlainan tanda dengan syarat pangkatnya genap


x
2
 + 3x – 2 = -(x
2
 + 2x + 4)

x
2
 + 3x – 2 = -x
2
 – 2x – 4

2x
2
 + 5x + 2 = 0

(2x + 1)(x + 2) = 0

x = -1/2
 atau x = -2



Periksa:




Untuk x = -1/2  →  (2x + 3) [bernilai genap]

Untuk x = -2  →  (2x + 3) [bernilai ganjil]




Jadi, yang memenuhi adalah x = -1/2

Solusi 3:
Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sam dengan nol
2x + 3 = 0
x = -3/2
Periksa:



(x
2
 + 3x – 2) ≠ 0

(x
2
 + 2x + 4) ≠ 0




Karena keduanya







0, maka x = -3/2 [memenuhi] Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-3/2, -1/2, 6}



Jadi itulah tadi contoh-contoh soal mengenai persamaan eksponen. Jika ada yang masih kurang paham, silahkan tinggalkan komentar dibawah.
Terima Kasih.

Semoga Bermanfaat

Tentukan Himpunan Penyelesaian Dari Setiap Persamaan Eksponen Berikut

Sumber: https://www.sheetmath.com/2018/03/contoh-soal-dan-pembahasan-persamaan-Eksponen.html

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …