Tentukan Determinan Dari Matriks a Berikut Ini

Tentukan Determinan Dari Matriks a Berikut Ini

Cara Mencari Determinan dan Invers Matriks | Matematika Kelas 11



Artikel ini menjelaskan cara mencari determinan dan invers suatu matriks disertai dengan beberapa contoh soal dan pembahasannya.

Halo, teman-teman! Bagaimana kabarnya? Semoga masih tetap semangat, ya.

Di artikel sebelumnya, kita
udah
belajar mengenai pengertian serta operasi hitung pada matriks.
Hayoo, ada yang masih ingat syarat perkalian dua matriks itu apa? Nah loh! Masa sih
udah
lupa aja. Coba deh baca-baca lagi artikel di

link

ini

kalau kamu lupa. Nah, bahasan kali ini masih seputar matriks, nih. Pasti kamu
udah tau
dari judul artikel di atas.
Yap!
Bener
banget. Kita akan belajar tentang cara mencari determinan dan invers suatu matriks. Waduh, bagaimana tuh ya? Langsung
aja
yuk kita simak bersama-sama.

Cara Mencari Determinan Matriks

Well, kita mulai dari cara mencari determinan matriks terlebih dahulu, ya. Kenapa? Soalnya, untuk mencari invers suatu matriks, kita perlu mencari determinan matriksnya lebih dulu. Teman-teman ada yang
udah tau
apa itu determinan matriks?

Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi. Maksudnya matriks persegi tuh yang kayak gimana sih? Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, sehingga kalau kita gambarkan bentuk matriksnya, akan membentuk bangun layaknya persegi.

“Jadi, kalau jumlah baris dan kolomnya
nggak
sama, kita
nggak
bisa mencari determinannya?”

Jawabannya
udah
pasti,

yes

(sumber: giphy.com)

Gimana, paham ya sampai sini? Oke, kita lanjut, ya. Misalnya, terdapat suatu matriks yang kita beri nama matriks A. Determinan matriks A bisa ditulis dengan tanda
det (A), det A, atau |A|. Nah, cara mencari determinan suatu matriks juga berbeda-beda, tergantung dari ordonya. Kita bahas satu-satu, ya…

Baca juga: Memahami Konsep Turunan Fungsi Aljabar


a. Determinan Matriks Ordo 2×2

Misalkan,determinanadalah matriks berordo 2×2. Elemen a dan d terletak pada diagonal utama, sedangkan elemen b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dapat diperoleh dengan mengurangkan hasil kali elemen-elemen diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

rumus determinan matriks ordo 2x2

Nah, supaya kamu
nggak
bingung, coba kita perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh soal

Tentukanlah determinan matriks berikut!

determinan

Pembahasan:

determinan

Teman-teman, mudah kan ternyata.
Hm, kira-kira, mencari determinan matriks berordo 3×3 mudah juga
nggak
ya? Yuk, kita cari
tau!


b. Determinan Matriks Ordo 3×3

Misalkan,determinanadalah matriks berordo 3×3. Terdapat dua cara yang bisa dilakukan untuk mencari determinannya, yaitu menggunakan aturan
Sarrus
dan metode minor-kofaktor.

rumus determinan matriks ordo 3x3

Hmm… Kamu pasti bingung ya maksud rumus di atas. Tenang
aja, di bawah ini
udah
ada contoh soal dan pembahasannya kok. Jadi, bisa kamu pahami dengan baik. Tapi, jangan cuma dibaca
aja
ya. Supaya kamu lebih mudah paham, coba deh ikutan corat-coret di kertas.
Yuk, siapkan pulpen dan kertasnya!

Baca :   Nilai Tes Matematika Dari 30 Siswa Sebagai Berikut

Baca juga: Kedudukan Titik dan Garis Lurus pada Lingkaran

Contoh soal determinan matriks

Tentukan determinan matriks berikut ini menggunakan aturan
Sarrus
dan metode minor-kofaktor!

Pembahasan:

  • Aturan
    Sarrus

Agar lebih mudah, kita tulis kembali elemen-elemen pada kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kanan matriks A sebagai berikut:

determinan

Kemudian, kita tarik garis putus-putus seperti gambar di atas. Kalikan elemen-elemen yang terkena garis putus-putus tersebut. Hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna biru diberi tanda positif (+), sedangkan hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna oranye diberi tanda negatif (-). Ingat urutan penulisannya juga, ya!

Sepintas terlihat cukup rumit ya. Tapi, kalau kamu sering berlatih soal, pasti akan hafal dengan sendirinya. Jadi, jangan malas untuk berlatih soal, ya! Sekarang, kita coba kerjakan menggunakan metode yang satunya lagi
kuy!

  • Metode Minor-Kofaktor

Berdasarkan rumus minor-kofaktor di atas, determinan matriks A dapat dicari dengan menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu baris atau kolom matriks A. Jadi, pertama, kita pilih salah satu baris atau kolom matriks A untuk mendapatkan nilai determinannya. Misalnya, kita pilih baris ke-1. Elemen-elemen matriks baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13.

determinan

Selanjutnya, karena kita pilih elemen-elemen pada baris ke-1, rumus determinan matriks yang kita gunakan adalah sebagai berikut:

determinan

Langkah kedua, kita cari kofaktor matriks bagian dari matriks A (Cij). Cij = (-1)i+j
Mij
dan Mij
= det Aij
dengan Aij
merupakan matriks bagian dari matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Maksudnya bagaimana? Oke, coba kamu perhatikan baik-baik ya.

Sebelumnya, kita telah memilih elemen-elemen pada baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13. Oleh karena itu, matriks bagian dari matriks A nya adalah A11, A12, dan A13.

  • A11
    diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-1.

determinan

  • A12
    diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2.

determinan

  • A13
    diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-3.

determinan

Sehingga,

determinan

Kalau kamu perhatikan, nilai determinan matriks A yang dihasilkan menggunakan dua metode di atas akan sama aja ya. Jadi, kamu tinggal pilih nih, mana metode yang menurutmu paling mudah. Tapi, meskipun begitu, ada baiknya kamu juga pahami kedua-duanya. Kenapa? Siapa
tau
di ujian nanti keluar dua-duanya, loh.

Mau punya banyak latihan soal? Langsung aja cek fitur
Bank Soal

di aplikasi Ruangguru ya.






New call-to-action



Oh iya, kamu juga perlu
tau
nih, determinan matriks memiliki beberapa sifat sebagai berikut:

sifat determinan matriks

Teman-teman, ada pertanyaan
nggak
sejauh ini? Kalau ada yang ingin ditanyakan, tulis
aja

pertanyaanmu di kolom komentar, ya. Kita lanjut ke materi berikutnya yuk, yaitu invers matriks. Ada yang
udah nggak
sabar
mau tau
cara mencari invers suatu matriks?
Yok
lah kita simak bahasan berikut.

Baca :   Pernyataan Yang Tepat Mengenai Fungsi Gambar Adalah

Cara Mencari Invers Matriks

Kamu pasti
nggak
asing lagi dengan istilah invers. Saat mendengar kata invers, kamu pasti teringat materi fungsi invers yang
udah
pernah kamu pelajari sebelumnya. Invers dapat juga diartikan sebagai lawan dari sesuatu (kebalikan). Invers matriks adalah kebalikan (invers) dari sebuah matriks. Jadi,
apabila matriks tersebut dikalikan dengan inversnya, maka akan menjadi matriks identitas.

Pada fungsi invers, kita disuruh mencari kebalikan dari fungsi tersebut. Misalnya
aja, invers dari f(x) = 2x, maka jawabannya adalah f-1
(x) = ½ x. Gimana cara mencarinya? Kalau lupa, bisa langsung klik
link
di bawah ini.

Baca juga: Apakah Fungsi Invers itu?

Invers pada fungsi dengan invers pada matriks tentu
aja

berbeda. Selain itu, sama halnya dengan determinan, ordo matriks mempengaruhi cara mencari invers pada matriks tersebut. Nah, jika suatu matriks memiliki invers, maka dapat dikatakan matriks tersebut adalah matriks nonsingular. Sebaliknya, jika suatu matriks tidak memiliki invers, maka matriks tersebut merupakan matriks singular. Teman-teman, untuk penjelasan lebih lengkapnya mengenai mencari invers matriks dapat kamu perhatikan penjelasan di bawah ini.


a. Invers Matriks Ordo 2×2

rumus invers matriks ordo 2x2

Kita langsung ke contoh soal ya agar kamu semakin paham.

Contoh soal invers matriks ordo 2×2

Tentukanlah invers dari matriks berikut.

Pembahasan:

Catatan:
elemen-elemen yang berada di lingkar biru merupakan diagonal utama matriks A yang ditukar posisinya, sedangkan elemen-elemen yang berada di lingkar oranye merupakan diagonal kedua matriks A yang dikalikan dengan minus satu (-1).

Gimana, paham ya dengan pembahasan di atas. Lanjut ke invers matriks ordo 3×3 yuk!


b. Invers Matriks Ordo 3×3

Mencari invers matriks berordo 3×3 dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan adjoin dan transformasi baris elementer.
Hm, kira-kira seperti apa ya penjelasan lebih detailnya. Mari kita bahas satu persatu, ya.

  • Invers matriks ordo 3×3 dengan adjoin

Pada penjelasan sebelumnya tentang determinan matriks, kamu
udah tau
kan bagaimana cara mencari kofaktor dari suatu matriks. Nah, dari kofaktor-kofaktor tersebut, kita dapat menentukan adjoin matriksnya,
lho. Adjoin matriks merupakan transpose dari suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor dari elemen-elemen matriks tersebut.

metode adjoin matriks

Baca juga: Konsep Limit Fungsi Aljabar dan Sifat-Sifatnya

Sekarang, coba perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh soal invers matriks ordo 3×3 dengan adjoin

Tentukan invers matriks berikut dengan menggunakan adjoin!

contoh invers matriks 3x3

Penyelesaian:

Oke, berdasarkan rumus di atas, kita membutuhkan determinan dan adjoin matriks A. Pertama, kita cari terlebih dahulu determinan matriks A menggunakan metode yang sudah dijelaskan sebelumnya. Bisa dengan cara aturan Sarrus ataupun metode minor-kofaktor. Misalnya, kita akan menggunakan metode Sarrus, sehingga:

penyelesaian invers matriks 3x3

Kemudian, kita tentukan adjoin matriks dengan mencari kofaktor matriks A tersebut.

Baca :   Keuntungan Komunikasi Data Digital Terhadap Data Analog Adalah

penyelesaian invers matriks 3x3

Oleh karena itu,

penyelesaian invers matriks 3x3

Jadi,

penyelesaian invers matriks 3x3

  • Invers matriks ordo 3×3 dengan transformasi baris elementer

Untuk menentukan invers matriks menggunakan transformasi baris elementer, kamu dapat mengikuti langkah-langkah berikut ini.

cara transformasi baris elementer

Bingung ya sama langkah-langkah di atas? Yaudah, supaya
nggak
bingung, di bawah ini ada contoh soal, nih. Gimana kalo kita kerjakan sama-sama. Pulpen dan kertas tadi masih ada, kan?

Contoh soal invers matriks 3×3 dengan transformasi baris elementer

Tentukan invers matriks A dengan transformasi baris elementer.

invers

Pembahasan:

Pertama-tama, kita bentuk matriks A menjadi matriks (A3|I3).

invers

Lalu, kita transformasikan matriks (A3|I3) ke bentuk (I3|A3). Kita bisa menggunakan beberapa cara seperti yang dijelaskan poin a-d pada langkah ke-2 rumus di atas.

transformasi baris elementer

Keterangan:

1)  B2-2B1
= elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

2)  B3-2B1
= elemen-elemen baris ke-3 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

3)  B3+B2
= elemen-elemen baris ke-3 ditambah elemen-elemen baris ke-2.

4)  1/5B3
= elemen-elemen baris ke-3 dikali degan ⅕.

5)  B2-2B3
= elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-3.

6)  B1-B2
= elemen-elemen baris ke-1 dikurang elemen-elemen baris ke-2.

Sehingga, diperoleh invers matriks A, yaitu:

invers

wow

“Ingin berkata kasar tapi diriku terlalu Masya Allah”.

Pusing ya? Belajarnya pelan-pelan
aja
dulu. Baca dan pahami penjelasannya berulang-ulang. Selain itu, coba juga untuk latihan mengerjakan beberapa soal. Ingat! Belajar Matematika itu butuh kesabaran, waktu, dan ketekunan, loh. Makanya, jangan harap sekali belajar langsung hafal rumus dan
expert
menjawab soal. Apalagi kalau besok ada ulangan, terus baru hari ini kamu belajar. Duh! Hasilnya
udah
pasti kurang maksimal. Coba deh baca artikel
7 solusi belajar menghadapi ulangan Matematika
di
blog Ruangguru
biar lain kali kamu punya strategi yang tepat agar ulangan kamu nggak remed terus.

Nah, teman-teman, kita lanjut ya. Invers pada matriks juga memiliki beberapa sifat yang bisa kamu ketahui. Apa aja ya? Ini dia!

sifat invers matriks

Waduh, banyak juga ya materi yang kita pelajari hari ini. Semoga penjelasan mengenai cara mencari determinan dan invers matriks di atas tadi bermanfaat ya buat kamu. Oh iya, kalau misalnya kamu masih kurang mengerti dengan materi ini dan ingin penjelasan yang lebih lengkap dan menarik, kamu bisa kok cobain belajar lewat aplikasi
ruangbelajar. Bukan hanya video animasi menariknya
aja
yang bikin kamu
nggak
gampang bosen, tapi juga Master Teachernya yang asik dan keren-keren. Buruan langganan yuk sekarang!





New call-to-action


Sumber referensi:

Wirodikromo, S. dan Darmanto, M. (2019) Matematika untuk SMA/MA Kelas XI kelompok Wajib 2. Jakarta:Erlangga.

Artikel diperbaharui 20 Maret 2022.

Profile

Hani Ammariah

Anaknya seneng ngitung, tapi nggak perhitungan. Dulu pernah kuliah di Institut Pertanian Bogor jurusan Matematika. Sekarang jadi tukang nulis a.k.a Content Writer di Ruangguru.

Tentukan Determinan Dari Matriks a Berikut Ini

Sumber: https://www.ruangguru.com/blog/cara-mencari-determinan-dan-invers-matriks

Check Also

Harga Beras 10 Kg Di Pasar

Harga Beras 10 Kg Di Pasar 4 menit Kamu pasti sudah sering sekali mendengar ungkapan, …