Tentukan Asimtot Datar Dan Asimtot Tegak Dari Fungsi Berikut

Sebelum kita mulai materi bagaimana cara menentukan asimtot, mari kita paahami dulu beberapa istilah yang akan kita gunakan, yaitu:
asimtot, fungsi rasional,
dan

hole.








Apa Itu Asimtot?


Asimtot adalah suatu garis yang terus didekati oleh suatu kurva (garis lengkung) sampai jauh takhingga.





Banyak yang mengartikan,
“didekati”
artinya sama sekali tidak pernah memotong, namun itu keliru. Kurva bisa juga memotong asimtotnya. Namun meskipun memotong, kurva tetap terus mendekati asimtot ke arah $+\infty$ atau $-\infty$. Biar lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Gamabar di atas, kurva mendekati asimtot ke arah $x$ menuju $-\infty$, kurva juga memotong asimtot pada $x$ positif, hal ini mungkin terjadi, karena definisi asimtot sendiri penekanannya adalah pada “kurva mendekati asimtot” bukan masalah memotong atau tidak memotong.

Asimtot terbagi menjadi 4 jenis (bentuk) yaitu:

4. Asimtot kurva (Curvilinear Asymtote)











Asimtot kurva adalah asimtot yang tidak berupa garis lurus, melainkan sebuah kurva (garis lengkung)










Apa Itu Fungsi Rasional?





$f(x)$ dikatakan sebagai fungsi rasional jika memenuhi bentuk $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ dengan $g(x)$ dan $h(x)$ merupakan polinomial. Atau dengan kata lain, fungsi rasional adalah fungsi yang berupa pecahan dengan penyebut dan pembilang berupa polinomial.








Apa Itu “Hole“?


Secara bahasa
“

hole”
bisa kita terjemahkan sebagai
“lubang”, maksudnya adalah lubang secara grafis. Perhatikan grafik fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ berikut:

Pada grafik fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ di atas,
hole
(lubang) terbentuk ketika $x=2$, hal ini terjadi karena jika kita substitusikan $x=2$ ke dalam fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$, maka kita peroleh $f(2)=\frac{0}{0}$ seperti yang kita ketahui $\frac{0}{0}$ merupakan
bentuk tak tentu.






$\begin{align*}f\left ( x \right )&=\frac{2x-4}{x^2-4}\\&=\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{2}{x+2}\hspace{2cm}\text{dengan }x\ne 2\end{align*}$




sekarang, coba perhatikan grafik $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ di atas dengan grafik $f(x)=\frac{2}{x+2}$ berikut:

Ternyata, grafik $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ dengan $f(x)=\frac{2}{x+2}$ identik, kecuali pada
hole-nya.







Cara Menentukan Asimtot Tegak (Vertical Asymptotes)

Langkah-langakahnya adalah sebagai berikut:

1. Faktorkan penyebut (dan pembilanganya jika memungkinkan)
2. “coret” faktor yang sama pada penyebut dan pembilang.
3. Bagian penyebut yang kita
   coret penyebab
   hole,
   dan yang tidak kita coret dari sanalah kita menemukan asimtot tegaknya.

Contoh 1:

Cara Menentukan Asimtot Datar, Asimtot Miring dan Asimtot Kurva.







Misal diketahui fungsi rasional: $$f(x)=\frac{ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\cdots+k}{px^m+qx^{m-1}+rx^{m-2}+\cdots+z}$$

maka:

1. Jika $n\lt m$, makaasimtot datarnya
   adalah $y=0$.
2. Jika $n=m$, maka
   asimtot datarnya
   adalah $y=\frac{a}{p}$
3. Jika $n>m$, maka
   asimtotnya berupa asimtot miring atau asimtot kurva.

Contoh 3:

Tentukan asimtot datar atau asimtot miring dari fungsi $f(x)=\frac{12x^5+4x^2+1}{3x^6+5x^3+12}$

Jawab:

Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang < derajat (pangkat tertinggi) penyebut, maka asimtot datarnya adalah $y=0$

Contoh 4:

Tentukan asimtot datar, asimtot miring atau asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{6x^3+2x^2+1}{3x^3+2x^2+2}$

Jawab:

Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang = derajat (pangkat tertinggi) penyebut, maka asimtot datarnya adalah $y=\frac{6}{3}=2$

Contoh 5:

Tentukan asimtot datar, asimtot miring atau asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{2x^3-3}{x^2-1}$

Jawab:

Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang > derajat (pangkat tertinggi) penyebut, asimtotnya berupa asimtot miring atau asimtot kurva, cara menentukannya adalah dengan melakukan pembagian polinomial, hasil baginya merupakan persamaan asimtot.

$f(x)=\frac{2x^3-3}{x^2-1}=2x+\frac{2x-3}{x^2-1}$

maka asimtot nya adalah $y=2x$ (asimtot miring dengan gradien 2)

Contoh 6:

Tentukan asimtot datar, asimtot miring atau asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{x^3+4x^2+4x+5}{x}$

Jawab:

$f(x)=\frac{x^3+4x^2+4x+5}{x}=x^2+4x+4+\frac{5}{x}$

maka asimtotnya adalah $y=x^2+4x+4$ (asimtot kurva)

Demikianlah cara menentukan asimtot dari fungsi rasional, semoga bermanfaat.

$\blacksquare$
Denih Handayani, 1 September 2017