Susunlah Persamaan Kuadrat Yang Akar Akarnya

44 Views

Susunlah Persamaan Kuadrat Yang Akar Akarnya.

Apabila akar-akar suatu persamaan kuadrat diketahui, maka kita dapat menyusun persamaan kuadrat itu dengan dua cara, yaitu: menggunakan faktor dan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar. Untuk jelasnya, marilah kita pelajari materi di bawah ini.

Menggunakan Faktor

Apabila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (ten – x1)(x – xtwo) = 0, maka x1
dan x2
merupakan penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Sebaliknya, apabila ten1
dan x2
merupakan penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus:

Bagaimana menggunakan rumus di atas? Baiklah, untuk lebih jelasnya perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini.

Contoh i:

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan iv!

Jawab:
Di sini berarti x1
= three dan x2
= 4.

Dengan menggunakan rumus: (x – x1) (x – xtwo
) Maka diperoleh : (x – 3) (ten – 4)

ten – 4x – 3x + 12

x – 7x + 12

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah x – 7x +12 = 0.

Mudah bukan? Anda masih belum paham? Baiklah, untuk itu simaklah contoh two di bawah ini.

Contoh two:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan -five!

Jawab:

Di sini berarti ten1
= dan 102
= -five

Dengan menggunakan rumus: (x – xi) (10 – xii )	= 0
Maka diperoleh : (x – ) (x – (-5))	= 0
(10 – ) (x + 5)	= 0
x + 5x – 10 –	= 0 (kedua ruas dikalikan two)
2x + 10x – x – five 2x + 9x – 5	= 0 = 0

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 2x + 9x – 5 = 0.

Bagaimana, tidak sulit bukan? Sudah pahamkah Anda? Untuk menambah pemahaman Anda, perhatikanlah contoh iii berikut.

Contoh iii:

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya – dan –

Jawab:

Di sini berarti xane
= – dan xii
= –

Dengan menggunakan rumus: (x – x1) (x – x2 )	= 0
Maka diperoleh : (ten – (- )) (10 – (- ))	= 0
(x + ) (x + )	= 0
x + x + 10 +	= 0 (kedua ruas dikalikan 2)
6x + 9x + 2x + three 6x + 11x + three	= 0 = 0

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 6x + 11x + 3 = 0

Setelah memperhatikan beberapa contoh di atas, sudah pahamkah Anda? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi berikut.
i.
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya i dan 3
2.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -2 dan -vii
iii. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya –

dan

Perhatikan, sebelum selesai mengerjakan soal-soal tersebut Anda jangan membaca jawabannya terlebih dulu. Bagaimana, sudah selesaikah Anda mengerjakannya? Apabila sudah selesai, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.

1. Akar-akarnya ten1
= 1 dan x2
= three

Maka: (x – ten1)(x – xii) (ten – 1)(ten – three)

ten – 3x – 10 + three

x – 4x + 3

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah
10 – 4x + 3
= 0

2. Akar-akarnya 101
= -ii dan 102
= -7

Maka: (10 – x1)(x – 10ii) (x – (-2))(x – (-7)) (ten + 2)(x + 7)

x + 7x + 2x + 14

x + 9x + xiv

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah
x + 9x + 14
= 0

three. Akar-akarnya ten1
= –

dan xtwo
=

Maka: (x – xane)(ten – xii)	= 0
(x – (- ))(x – )	= 0
(10 + )(10 – )	= 0
10 – x + x –	= 0 (kedua ruas dikalikan viii)
8x – 20x + 2x – five 8x – 18x – v	= 0 = 0
Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 8x – 18x – 5 = 0

Tidak sulit bukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya, bagus! Berarti Anda benar. Apabila pekerjaan Anda belum benar, segeralah samakan dengan jawaban di atas. Jika mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada guru bina pada saat tatap muka.

Bagi Anda yang menjawab benar, selanjutnya dapat mempelajari materi berikut ini.

Kali ini kita akan mempelajari cara menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui dengan cara yang kedua yaitu:

Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar

Persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 (a 0) apabila kedua ruas dibagi dengan a, maka dapat dinyatakan dalam bentuk x + x +
=

Dari rumus jumlah dan hasil kali akar-akar kita peroleh hubungan:

xane + x2 =	– = -(xi + tentwo)
x1 – x2 =	= x1.x2

Jadi persamaan kuadrat ten + x +
=
0 dapat dinyatakan dalam bentuk:

10
– (ten1
+ ten2)ten + x1.xii
= 0

Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus tersebut, marilah kita simak beberapa contoh di bawah ini.

Contoh one:

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 4

Jawab:
Di sini berarti xi
= three dan xii
= 4.

Dengan menggunakan rumus: 10
– (x1
+ 102)x + x1.10two

Maka diperoleh : x – (3 + iv)x + 3.4
x – 7x + 12

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah ten – 7x +12 = 0.

Mudah bukan? Selanjutnya perhatikan contoh ii di bawah ini.

Contoh ii:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan -2!

Jawab:

Di sini berarti xane
= dan tenii
= -ii

Dengan menggunakan rumus: x – (xi + xtwo)x + xi.x2	= 0
Maka diperoleh : x – ( + (-2))x + .(-2)	= 0
x – ( – ii)x – one	= 0
x – ( – )x – 1	= 0
x – (- )x – i	= 0
ten + 10 – 1	= 0 (kedua ruas dikali 2)
2x + 3x – 2	= 0

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 2x + 3x – 2 = 0.

Sudah pahamkah Anda? Apabila sudah paham, bagus! Nah, untuk menambah pemahaman Anda perhatikan contoh 3 di bawah ini!

Contoh three:

Akar-akar persamaan kuadrat 3x + 2x – 1 = 0 adalah
a
dan
b. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya

dan

Jawab:

Persamaan kuadrat 3x + 2x – 1 = 0, berarti a = 3, b = 2, dan c = -ane

Maka : a + b =	– = –
a . b =	= –

Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1
dan 102,
maka: 101

=

dan tentwo

= .
Ini berarti

x1

+

tentwo

=

(disamakan penyebutnya)

= 2

Ini berarti

x1

.

x2

=

Subtitusi (10i
+ 102) = 2 dan (101
. xii) = -three ke persamaan:

x – (ten1
+ tentwo
)x + x1
. 102
x
– 2x + (-3)
ten
– 2x – 3

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah ten – 2x – three = 0.

Setelah memperhatikan contoh-contoh di atas, sudah pahamkah Anda? Untuk mengetahui sampai dimana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakanlah soal-soal latihan berikut:

	Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya two dan 4 dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar! Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -5 dan vi dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar!
iii.	Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya – dan – dengan menggu-nakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar!
iv.	Akar-akar persamaan kuadrat x – 3x – 10 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar!
5.	Akar-akar persamaan kuadrat x +3x + 2 = 0 adalah iia dan b. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2a dan 2b dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar!

Sebelum selesai mengerjakan soal-soal di atas, Anda jangan membaca jawabannya terrlebih dahulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya cocokkanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.

Akar-akarnya 10one
= 2 dan 102
= four.
Dengan menggunakan rumus: x – (teni
+ x2)x + xi.x2
= 0
Maka diperoleh: x -(2+4)10 + 2.4 = 0

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah ten – 6x + 8 = 0

Akar-akarnya xi
= -v dan 102
= 6.
Dengan menggunakan rumus: x – (x1
+ x2)x + xone.x2
= 0
Maka diperoleh: x -((-5)+6)x + (-5).6 = 0

10 – 1x – thirty = 0
x – ten – 30 = 0

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah x – x – xxx = 0

Akar-akarnya x1
= – dan x2
= –

Dengan menggunakan rumus: x – (ten1
+ x2)x + x1.ten2
= 0
Maka diperoleh: x -((- ) + (-

))x + (- ).(-

) = 0

x – (- –

)x + = 0

ten – (-

)ten + = 0

x +

10 + = 0

8x + 6x + one = 0

(kedua ruas dikalikan 8)

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 8x + 6x + 1 = 0

Persamaan kuadrat x – 3x – 10 = 0, berarti a = ane, b = -three, dan c = -10.

Maka
a
+
b
= – = –

= 3, dan
a
.
b
=

=

= -10

Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar ten1
dan ten2,
maka: xone
=

dan x2
=
.

Ini berarti

x1

+

tentwo

=

(disamakan penyebutnya)

=
–

Ini berarti

101

.

x2

=

Subtitusi (xi
+ x2) = –

dan (xane
. xii) = –

ke persamaan:

x – (xi + xii )x + 101 . ten2	= 0
x – (- )x + (- )	= 0
ten + x –	= 0 (kedua ruas dikalikan 10)
10x + 3x – 1	= 0

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah 10x + 3x – ane = 0.

five.

Persamaan kuadrat 10 +3x + 2 = 0, berarti a =1, b = 3, dan c = 2.

Maka
a
+
b
= – = – = -3, dan
a
.
b
=

= = 2

Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1
dan x2,
maka: x1
=

two

a

dan xtwo
=
2

b

.

Ini berarti

x1

+

x2

=

2

a

+

two

b

Ini berarti

x1

.

102

=

ii

a

.

two

b

Subtitusi (tenone
+ 102) = -half-dozen dan (x1
. x2) = eight ke persamaan:

x – (101 + ten2 )x + x1 . xii	= 0
x – (- six)x + eight	= 0
x + 6x + 8	= 0

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah ten
+ 6x + 8

= 0.

Tidak sulit bukan? Pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya, bagus! berarti Anda benar. Apabila pekerjaan Anda belum benar, segeralah samakan dengan jawaban di atas. Jika mengalami kesulitan diskusikanlah dengan teteman-teman atau tanyakan langsung kepada guru bina pada saat tatap muka. Bagi Anda yang menjawab benar selanjutnya kerjakanlah Tugas 2.

Nah, selamat mengerjakan!