Suku Tengah Geometri

Suku Tengah Geometri.

Weblog Koma


Barisan dan Deret Geometri

merupakan salah satu bentuk pola bilangan yang juga memiliki ciri khusus yaitu setiap suku sesudahnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan dengan suku sebelumnya. Seperti “Barisan dan Deret Aritmetika” , di sini juga dibahas tentang suku ke-$n \, $ , suku tengah, sisipan, dan jumlah $ north \, $ suku pertamanya. Hanya saja pada deret geometri terdapat jumlahan sampai takhingga suku-sukunya yang di bahas dalam artikel tersendiri yaitu “Deret Geometri Tak Hingga”. Langsung saja simak penjelasan tentang barisan dan deret geometri berikut ini.

Barisan Geometri

Pengertian barisan Geometri

Barisan Geometri

merupakan suatu barisan yang memiliki perbandingan yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan. Nilai perbandingan yang sama itu dinamakan rasionya yang disimbulkan dengan huruf $ \, r \, $ .

Misal barisannya : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, …. $

Cara menghitung rasio ($r$) adalah

$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = … = \frac{u_n}{u_{n-1}}$

Adapun rumus suku ke-$n\, $ nya adalah $ \, u_n = ar^{northward-one} $

dengan $ a $ = suku pertamanya ($u_1$), $ r $ = rasionya, dan $ u_n $ = suku ke-$n$

untuk memudahkan mengingat, rumus suku ke-$n \, $ ini bisa dibaca “arni”

Dari rumus suku ke-$due north\, $ nya, dapat disusun barisan geometrinya,

$ u_n = ar^{n-one} $

$ u_1 = ar^{one-i} = ar^0 = a $

$ u_2 = ar^{2-ane} = ar^1 = ar $

$ u_3 = ar^{iii-1} = ar^ii $

$ u_4 = ar^{4-1} = ar^three $

dan seterusnya …..

sehingga barisan geometrinya : $ a, \, ar, \, ar^ii, \, ar^iii, \, …. $

Contoh :

1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan Geometri?

a). 1, 2, 4, eight, ….. b). $\frac{1}{3} $, 1, three, 9, 27, ….

c). 1, 2, six, 8, 16, …. d). 3, four, 8, ii, 12, …. east). xvi, 8, 4, 2, 1, ….

Penyelesaian :

Disebut barisan geometri jika perbandingan dua suku yang berdekatan sama. Mari kita cek setiap barisan yang ada.

a). $ \underbrace{1, \, 2}_{\times 2} \underbrace{, \, four }_{\times 2} \underbrace{, \, 8 }_{\times two} , …. $

Karena perbandingannya selalu sama antara dua suku yang berdekatan, maka barisan ini termasuk barisan geometri dengan rasionya 2. Cara mencari rasionya :

$ r = \frac{2}{one} = 2 \, $ atau $ r = \frac{4}{2} = 2 \, $ atau $ r = \frac{eight}{4}= ii \, $ dan seterusnya.

b). $ \underbrace{\frac{i}{3}, \, ane}_{\times 3} \underbrace{, \, 3 }_{\times 3} \underbrace{, \, nine }_{\times iii} \underbrace{, \, 27 }_{\times 3} , …. $

Perbandingannya sama, sehingga termasuk barisan geometri dengan rasionya iii.

c). $ \underbrace{i, \, ii}_{\times 2} \underbrace{, \, six }_{\times three} \underbrace{, \, viii }_{\times \frac{iv}{3}} \underbrace{, \, 16 }_{\times two} , …. $

Perbandingannya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan Geometri.

d). $ \underbrace{three, \, 4}_{\times \frac{4}{three}} \underbrace{, \, 8 }_{\times 2} \underbrace{, \, 2 }_{\times \frac{1}{iv}} \underbrace{, \, 12 }_{\times 6} , …. $

Perbandingannya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan geometri.

due east). $ \underbrace{sixteen, \, 8}_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, four }_{\times \frac{1}{two}} \underbrace{, \, 2 }_{\times \frac{i}{ii}} \underbrace{, \, 1 }_{\times \frac{1}{two}} , …. $

Perbandingannya sama, sehingga termasuk barisan geometri dengan rasionya $ \frac{1}{2}$. Cara mencari rasionya :

$ r =\frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{16} = \frac{one}{two} \, $ atau $ r =\frac{u_3}{u_2} = \frac{4}{8} = \frac{ane}{2} \, $ dan seterusnya.

Baca :   Pada Koloid Agar Agar Yang Merupakan Fase Pendispersinya Adalah

2). Tentukan suku ke-21 dari barisan geometri i, 2, 4, viii, 16, ….?

Penyelesaian :

*). dari barisannya diperoleh $ a = one \, $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{ii}{1} = 2 $

*). Menentukan suku ke-21 dengan $ u_n = a r^{due north-ane} $

$ u_{21} = a r^{21-1} = 1 . 2^{xx}= ii^{20} $

Jadi, suku ke-21 nya adalah $ ii^{20} $ ($u_{21} = 2^{20} $).

three). Diketahui suku ke-three dan suku ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut 9 dan 81 dengan rasionya positif. Tentukan nilai suku ke-2 nya!

Penyelesaian : diketahui $ u_3 = 9 \, $ dan $ u_5 = 81 $

Untuk menentukan nilai suku pada suatu barisan, kita memerlukan nilai $ a \, $ dan rasionya ($r$) dengan menjabarkan suku-suku yang diketahui.

*). Rumus suku ke-$n\, \, : \, \, u_n = ar^{northward-1} $

$ u_5 = ar^{5-ane} = ar^4 \rightarrow a r^4 = 81 \, $ …. pers(i)

$ u_3 = ar^{iii-1} = ar^2 \rightarrow a r^2 = 9 \, $ …. pers(ii)

*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r \, $ dengan membagi pers(i) dan pers(ii)

$ \begin{array}{cc} a r^4 = 81 & \\ a r^two = 9 & : \\ \hline r^two = 9 & \\ r = \pm 3 & \terminate{array} $

Karena nilai rasionya positif, maka $ r =3 \, $ yang memenuhi.

Pers(ii) : $ a r^2 = 9 \rightarrow a three^2 = ix \rightarrow a = frac{9}{9} = one $

*). Menentukan suku ke-2

$ u_{2} = ar^{2-1} = 1.3^1 = 3 $

Jadi, suku ke-2 nya adalah 3.

4). Jika suku-suku $ 4p, \, 3p-4, \, $ dan $ \, 2p – 4 \, $ adalah tiga suku pertama berurutan barisan geometri, maka tentukan suku ke-9 ?

Penyelesaian :

Diketahui : $ u_1 = 4p, \, u_2 = 3p-4, \, $ dan $ u_3 = 2p -iv $

*). Tiga suku berurutan barisan geometri, maka rasionya sama :

$ \brainstorm{align} \frac{u2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ (u_2)^2 & = u_1 . u_3 \\ (3p-4)^2 & = (4p).(2p-iv) \\ 9p^2 -24p + xvi & = 8p^2 -xvi p \\ p^two – 8p + 16 & = 0 \\ (p-4)^2 & = 0 \\ p – iv & = 0 \\ p & = 4 \stop{align} $

diperoleh nilai $ p = 4 $

*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r \, $ dengan nilai $ p = iv $

$ a = u_1 = 4p = iv.four = 16 = 2^iv $

$ u_2 = 3p – 4 = three.4 – iv = 12 – 4 = 8 $

$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{two} $

*). Menentukan suku ke-9

$ \brainstorm{align} u_n & = ar^{n-1} \\ u_9 & = ii^4. \left( \frac{1}{2} \right)^{9-1} \\ & = 2^iv. \left( \frac{1}{ii} \right)^{8} \\ & = 2^iv. \left( \frac{ane^8}{2^viii} \right) \\ & = ii^iv. \left( \frac{i}{2^8} \right) \\ & = \frac{i}{two^4} \\ & = \frac{1}{xvi} \cease{align} $

Jadi, nilai suku ke-9 nya adalah $ \frac{1}{16} $ .

Baca :   Perhatikan Gambar Segitiga Siku Siku Abc Dibawah Tentukan

Suku Tengah barisan Geometri

Menentukan suku tengah ($u_t$)

Barisan geometri mempunyai suku tengah dengan syarat banyak suku harus ganjil. Suku tengah disimbolkan $ u_t \, $ yang dapat dicari nilainya dari barisan yang banyak sukunya berhingga.

Rumus suku tengah : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} $

Keterangan :

$ u_1 \, $ = suku pertama barisan yang dicari suku tengahnya,

$ u_n \, $ = suku terakhir barisan yang dicari suku tengahnya.

Contoh :

Tentukan nilai suku tengah dari setiap barisan geometri berikut !

a). 1, ii, iv, 8, 16 b). $\frac{i}{ix}, \, \frac{one}{3}, \, $ 1, 3, 9, 27, 81

Penyelesaian :

a). Suku tengahnya adalah four, caranya : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} = \sqrt{ane\times sixteen} = \sqrt{16} = 4 $

b). Suku tengahnya adalah 3, caranya : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} = \sqrt{\frac{1}{ix} \times 81} = \sqrt{9} = 3 $

Sisipan pada barisan Geometri

Menentukan barisan baru setelah disisipkan $ m \, $ suku atau bilangan

Misalkan awalnya ada barisan : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, …. $

Setiap dua suku pada barisan diatas disisipkan bilangan sebanyak $ g \, $ suku, maka akan terbentuk barisan baru yang tetap dalam bentuk barisan geometri. Di sini yang sangat berperan penting adalah terbentuknya rasio baru setelah disisipkan.

Rumus rasio barunya : $ r^* = \sqrt[thousand+1]{r} = (r)^\frac{one}{k+i} $

Keterangan :

$ r \, $ = rasio awal dari barisan sebelum disisipkan

$ r^* \, $ = rasio baru setelah barsian disisipkan (rasio barisan baru)

$ k \, $ = banyak suku yang disisipkan.

Contoh :

Diketahui barisan 1, 8, 64, 512, …. . Setiap antara dua suku disisipkan 2 bilangan. Tentukan barisan baru yang terbentuk?

Penyelesaian :

Untuk menyisipkan two bilangan, kita tidak boleh menyisipkan sebarang bilangan, karena barisan baru yang terbentuk harus tetap berbentuk barisan geometri. Agar dijamin tetap terbentuk barisan geometri, maka kita harus menggunakan rumus untuk mencari rasio barunya.

*). Dari barisan one, 8, 64, 512, …. diperoleh rasio awal $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{eight}{1} = 8 $

*). akan disisipkan 2 bilangan, artinya $ k = 2 $

Sehingga raasio barunya : $ r^* = (r)^\frac{1}{k+i} = (8)^\frac{ane}{2+1} = (2^iii)^\frac{1}{3} = 2^1 = two $

Barisan barunya dengan rasio baru 2 adalah :

$ 1, \underbrace{ ii, 4}_{\text{sisipan}} , eight , \underbrace{ 16, 32}_{\text{sisipan}} , 64 , \underbrace{ 126, 256}_{\text{sisipan}} , 512, …. $

dimana barisan yang baru ini juga berbentuk barisan geometri.

Baca :   Contoh Soal Spldv Metode Eliminasi Dan Substitusi

Deret Geometri

Jumlah $ n \, $ suku pertama deret geometri

Deret geometri merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan geometri. Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga ($ n \, $ suku pertama). Simbol yang digunakan adalah $ s_n \, $ yang artinya jumlah $ n \, $ suku pertama.

Misalkan :

$ s_1 = u_1 \, $ (jumlah 1 suku pertama)

$ s_2 = u_1 + u_2 \, $ (jumlah 2 suku pertama)

$ s_3 = u_1 + u_2 + u_3 \, $ (jumlah three suku pertama)

$ s_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \, $ (jumlah iv suku pertama)

dan seterusnya.

Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ n \, $ suku pertama deret geometri.

Jumlah $ n \, $ suku pertama : $ s_n = \frac{a(r^n – 1)}{r-i} \, $ untuk $ -1 < r < ane $

Jumlah $ n \, $ suku pertama : $ s_n = \frac{a(1 – r^due north)}{1-r} \, $ untuk $ r < -one \, $ atau $ \, r > 1 $

Catatan :

Sebenarnya kedua rumus $ s_n \, $ di atas nilainya sama saja untuk semua jenis rasionya, sehingga cukup diingat salah satu saja.

Pembuktian : $ s_n = \frac{a(r^n – 1)}{r-1} = \frac{a(r^n – 1)}{r-i} \times \frac{-one}{-1} = \frac{a(1 – r^n)}{ane-r} $

Contoh :

one). Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan 1, two, 4, eight, ….?
Penyelesaian :

*). Dari barisan diperoleh $ a = 1 \, $ dan $ r = \frac{2}{i} = ii $

Jumlah 5 suku pertamanya :

$ \begin{align} s_n & = \frac{a(r^n – 1)}{r-1} \\ s_5 & = \frac{1.(2^5 – one)}{2-1} \\ & = \frac{(32 – 1)}{ane} \\ & = 31 \end{marshal} $

Jadi, jumlah five suku pertamanya adalah 31.

         Bisanya untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi, soal-soalnya langsung melibatkan barisan dan deret aritmetka dan geometri. Agar lebih menguasai materinya, sebaiknya kita lebih banyak latihan lagi mengerjakan soal-soal yang ada.

Suku Tengah Geometri

Source: https://www.konsep-matematika.com/2015/09/barisan-dan-deret-geometri.html

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …