Sudut Antar Vektor

Jika $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\  a_{2}\\  a_{3} \terminate{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\  b_{ii}\\  b_{3} \end{pmatrix}$, rumus perkalian skalar dua vektor adalah sebagai berikut.

Pada vektor bangun datar jika $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{ii}\terminate{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{two}\end{pmatrix}$, maka $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_{1}.b_{1}+a_{ii}.b_{two}.$

Jika vektor $a$
 dan vektor $b$ membentuk sudut
ß

, perkalian skalar kedua vektor tersebut dirumuskan sebagai berikut.

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left | a \right |.\left | b \right |.cos\beta $

dengan |a| adalah panjang/ besar vektor a yang di hitung dengan $\left | a \right |=\sqrt{x^{ii}+y^{ii}+z^{ii}}$

Contoh soal 1

Besar vektor $a$ dan $b$ berturut-turut adalah half dozen satuan dan 5 satuan. Jika kedua vektor tersebut membentuk sudut 60°, hitung perkalian skalar antara vektor $a$ dan $b$.

Penyelesaian

Dari soal diatas, kalian tinggal masuk kedalam rumus:

$\begin{marshal*}a.b&=\left | a \right |.\left | b \correct |.cos\beta  \\ &=6.5.cos60^{o} \\ &= 30.\frac{1}{ii}=15\end{align*}$

Contoh soal ii

Diketahui vektor $a=\begin{pmatrix}iii\\ -three\\ 2\end{pmatrix}$ dan $b=\begin{pmatrix}two\\ i\\ iii\terminate{pmatrix}$. Hitung nilai dari $a.b$ dan $b.a$

Penyelesaian

$a.b=3.2+(-3).1+2.3=half-dozen+(-3)+vi=9$

$b.a=2.3+one.(-3)+3.two=6+(-3)+half-dozen=9$

Berdasarkan hasil tersebut, diperoleh bahwa $a.b=b.a$ -> sifat komutatif.

Contoh soal 3

Diketahui vektor $a=\begin{pmatrix}1\\ -ii\\ 4\cease{pmatrix}$ dan $b=\begin{pmatrix}3\\ 2p\\ 2\end{pmatrix}$. Jika $a.b=iii$ tentukan nilai dari p.

Penyelesaian

Dari soal diketahui bahwa $a.b=3$, maka dapat diselesaikan dengan cara perkalian antara dua vektor:

$\begin{align*}a.b &=3 \\ \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 4\end{pmatrix}.\brainstorm{pmatrix}3\\ 2p\\ two\finish{pmatrix}&=three \\ one.3+(-ii).2p+four.two &= 3\\ 3-4p+eight &=3 \\ -4p&= 3-iii-8 \\-4p&=-viii \\p&=\frac{-8}{-iv}=2\cease{align*}$

Jika $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_{i}\\  a_{2}\\  a_{3} \end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}=\brainstorm{pmatrix} b_{1}\\  b_{2}\\  b_{three} \end{pmatrix}$ adalah vektor-vektor pada bangun ruang dan sudut yang dibentuk oleh vektor $a$ dan $b$ adalahß, besar cosß dapat ditentukan dengan rumus berikut:

Contoh soal 4

Jika diketahui $a=\begin{pmatrix}2\\ -iv\\ -2\end{pmatrix}$ dan $b=\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -two\end{pmatrix}$ adalah vektor pada bangun ruang, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Penyelesaian

Terlebih dahulu, kalian dapat menentukan nilai dari $a.b$ dan panjang vektor $a$ dan $b$

$\brainstorm{marshal*}a.b &= \begin{pmatrix}2\\ -4\\ -2\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-1\\ -i\\ -ii\finish{pmatrix}\\  &=2(-1)+(-4).(-i)+(-ii).two \\  &= -two+4+4\\&=6\end{marshal*}$

$\begin{marshal*}\left | a \correct | &=\sqrt{2^{two}+(-4)^{2}+(-ii)^{2}}\\  &=\sqrt{4+16+4} \\  &=\sqrt{24} \\ \left | b \right | &=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-ii)^{2}} \\&=\sqrt{1+i+four} \\&=\sqrt{6}\stop{align*}$

Setelah itu, kalian dapat menentukan sudut antara dua vektor tersebut dengan rumus berikut:

$\begin{align*}cos\beta  &=\frac{a.b}{\left | a \right |.\left | b \correct |} \\  &=\frac{half-dozen}{\sqrt{24}.\sqrt{6}} \\  &= \frac{half dozen}{\sqrt{144}}\\  &= \frac{6}{12}\\ cos\beta  &= \frac{one}{ii}\\\beta &=threescore^{o}\end{align*}$

cos yang bernilai $\frac{1}{2}$ adalah cos 60°

Contoh soal 5

Diketahui vektor $a=\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 0\end{pmatrix}$ dan $b=\begin{pmatrix}-ii\\ 4\\ 2\end{pmatrix}$ adalah vektor pada bangun ruang, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Penyelesaian

Sama seperti contoh 4, terlebih dahulu kalian dapat menentukan nilai dari $a.b$ dan panjang vektor $a$ dan $b$

$\begin{marshal*}a.b &= \brainstorm{pmatrix}-three\\ 3\\ 0\finish{pmatrix}.\begin{pmatrix}-2\\ four\\ 2\terminate{pmatrix}\\  &=-3(-2)+(iii).(4)+(0).2 \\  &= half dozen+12+0\\&=18\end{align*}$

$\begin{align*}\left | a \correct | &=\sqrt{(-iii)^{2}+(three)^{2}+(0)^{2}}\\  &=\sqrt{ix+9+0} \\  &=\sqrt{18}\\&=iii\sqrt{2} \\ \left | b \correct | &=\sqrt{(-2)^{ii}+(iv)^{2}+(2)^{2}} \\&=\sqrt{4+xvi+4} \\&=\sqrt{24}\\&=ii\sqrt{half dozen}\stop{align*}$

Setelah itu, kalian dapat menentukan sudut antara dua vektor tersebut dengan rumus berikut:

$\brainstorm{marshal*}cos\beta  &=\frac{a.b}{\left | a \correct |.\left | b \right |} \\  &=\frac{18}{iii\sqrt{2}.2\sqrt{6}} \\  &= \frac{eighteen}{six\sqrt{12}}\\ &=\frac{eighteen}{6.two\sqrt{three}}\\ &=\frac{18}{12\sqrt{3}} \\ &=\frac{iii}{2\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{iii}}\\ &=\frac{2}{6}\sqrt{3} \\ cos\beta &= \frac{1}{two}\sqrt{iii} \\ \beta &=30^{0}\ \end{align*}$

cos yang bernilai $\frac{1}{2}\sqrt3 $ adalah cos thirty°

Demikian materi perkalian skalar dua vektor dan cara menentukan besar sudut antara dua vektor yang dapat kalian pelajari. Jika ada pertanyaan, silakan tulis di komentar.