Sin 210 Senilai Dengan

Perbandingan trigonometri sudut berelasi merupakan perluasan dari definisi dasar trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang hanya memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 − xc°).

Dengan menggunakan sudut-sudut relasi, kita dapat menghitung nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut pada kuadran lainnya, bahkan untuk sudut yang lebih dari 360°, termasuk juga sudut-sudut negatif.

Sudut Relasi Kuadran I

Untuk setiap α lancip, maka (90° − α) akan menghasilkan sudut-sudut kuadran I. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :

sin (ninety° − α) = cos α

cos (xc° − α) = sin α

tan (xc° − α) = cot α

Sudut Relasi Kuadran II

Untuk setiap α lancip, maka (ninety° + α) dan (180° − α) akan menghasilkan sudut-sudut kuadran Ii. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° + α) = cos α

cos (90° + α) = -sin α
tan (90° + α) = -cot α

sin (180° − α) = sin α

cos (180° − α) = -cos α
tan (180° − α) = -tan α

Sudut Relasi Kuadran III

Untuk setiap α lancip, maka (180° + α) dan (270° − α) akan menghasilkan sudut kuadran III. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :

sin (180° + α) = -sin α
cos (180° + α) = -cos α
tan (180° + α) = tan α

sin (270° − α) = -cos α
cos (270° − α) = -sin α
tan (270° − α) = cot α

Sudut Relasi Kuadran Iv

Untuk setiap α lancip, maka (270° + α) dan (360° − α) akan menghasilkan sudut kuadran Four. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :

sin (270° + α) = -cos α
cos (270° + α) = sin α

tan (270° + α) = -cot α

sin (360° − α) = -sin α
cos (360° − α) = cos α

tan (360° − α) = -tan α

Jika kita perhatikan, rumus-rumus diatas memiliki pola yang hampir sama, oleh karenanya sangatlah tidak bijak jika kita harus menghapalnya satu per satu. Ada 2 hal yang perlu diperhatikan, yaitu
sudut relasi yang digunakan
dan
tanda untuk tiap-tiap kuadran.

Untuk relasi  (ninety° ± α) atau (270° ± α), maka :
sin → cos
cos → sin
tan → cot

Untuk relasi (180° ± α) atau (360° ± α), maka :
sin = sin
cos = cos
tan = tan

Tanda untuk masing-masing kuadran :
Kuadran I (0 − 90°) : semua positif
Kuadran Two (xc° − 180°) : sinus positif
Kuadran III (180° − 270°) : tangen positif.
Kuadran IV (270° − 360°) : cosinus positif

Contoh 1


Untuk setiap perbandingan trigonometri berikut, nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya !
sin 20°
tan 40°
cos 53°

Jawab :

sin 20° = sin (90° − 70°)
sin twenty°
= cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
tan twoscore°
= cot l°

cos 53° = cos (90° − 37°)
cos 53°
= sin 37°

Jika kita perhatikan sin berubah menjadi cos, tan berubah menjadi cot dan cos berubah menjadi sin dikarenakan relasi yang digunakan adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri diatas bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

Contoh ii


Nyatakan setiap perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°

Jawab :

Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilainegatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
tan 143°
=
–tan 37°

Sudut 233° terletak pada kuadran Three, sehingga sinus bernilai
negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
tan 233°
=
–cos 37°
Perhatikan bahwa sin berubah menjadi cos karena relasi yang digunakan (270° −  α)

Sudut 323° terletak pada kuadran 4, sehingga cosinus bernilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
cos 323°
= cos 37°

Contoh 3


Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan nilai dari \(\mathrm{\frac{sin\,100^{\circ}-cos\,190^{\circ}}{cos\,350^{\circ}-sin\,260^{\circ}}}\)

Jawab :

sin 100° = sin (ninety° + ten°) = cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°) = -cos 10°
cos 350° = cos (360° − 10°) = cos 10°
sin 260° = sin (270° − 10°) = -cos x°

Sehingga :
\(\mathrm{\frac{sin\,100^{\circ}-cos\,190^{\circ}}{cos\,350^{\circ}-sin\,260^{\circ}}=\frac{cos\,10^{\circ}-(-cos\,x^{\circ})}{cos\,10^{\circ}-(-cos\,10^{\circ})} =\frac{ii\,cos\,10^{\circ}}{two\,cos\,x^{\circ}}=1 }\)

Contoh iv


Jika (x + xx°) adalah sudut lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{\frac{tan\,(x+110^{\circ})}{2\,cot\,(10+20^{\circ})}}\)

Jawab :

tan (x + 110°) = tan (90° + (10 + 20°))
Karena (10 + 20°) lancip, maka (90° + (x + 20°)) adalah sudut kuadran II, sehingga tangen bernilai negatif.
tan (90° + (ten + twenty°)) = -cot (ten + twenty°)

akibatnya
\(\mathrm{\frac{tan\,(x+110^{\circ})}{ii\,cot\,(x+20^{\circ})}=\frac{-cot\,(x+xx^{\circ})}{2\,cot\,(ten+20^{\circ})}=-\frac{one}{2}}\)

Contoh 5


Diketahui cot (x + 36°) = tan 2x. Jika 2x adalah sudut lancip, tentukan nilai ten !

Jawab :

cot (x + 36°) = tan 2x
Karena 2x sudut lancip, pastilah 2x terletak dikuadran I. Dengan menggunakan relasi sudut kuadran I, maka :
tan 2x = cot (90° − 2x)

Sehingga
cot (x + 36°) = cot (ninety° − 2x)
x + 36 = 90° − 2x
3x = 54
x = 18

Contoh half dozen


Tentukan nilai dari setiap perbandingan trigonometri berikut !

a.  cos 135°
Jawab :

Sudut 135° terletak di kuadran Two, sehingga cosinus bernilai
negatif.
cos 135° = cos (180 − 45°)
cos 135°
=
–cos 45°
cos 135°
= -\(\frac{ane}{2}\)√2

b.  tan 120°
Jawab :

Sudut 120° terletak di kuadran II, sehingga tangen bernilainegatif.
tan 120° = tan (180 − 60°)
tan 120° =–tan lx°
tan 120° = -√3

c.  sin 210°
Jawab :

Sudut 210° terletak di kuadran Iii, sehingga sinus bernilai
negatif.
sin 210° = sin (180° + 30°)
sin 210°
=
–sin 30°
sin 210°
= -\(\frac{1}{2}\)

d.  tan 225°
Jawab :

Sudut 225° terletak di kuadran Iii, sehingga tangen bernilai positif.
tan 225° = tan (180° + 45°)
tan 225°
= tan 45°
tan 225°
= 1

east.  cos 315°
Jawab :

Sudut 315° terletak di kuadran IV, sehingga cosinus bernilai positif.
cos 315° = cos (360° − 45°)
cos 315° = cos 45°
cos 315° = \(\frac{one}{2}\)√two

f.  sin 300°
Jawab :

Sudut 300° terletak di kuadran IV, sehingga sinus bernilainegatif.
sin 300° = sin (360° − sixty°)
sin 300°
=
–sin threescore°
sin 300°
=
–\(\frac{1}{ii}\)√3

thousand.  sin 150° dan csc 150°
Jawab :

Sudut 150° terletak di kuadaran II, sehingga sinus bernilai positif.
sin 150° = sin (180 − thirty°)
sin 150° = sin 30°
sin 150° = \(\frac{1}{2}\)

csc 150° = \(\mathrm{\frac{1}{sin\,150^{\circ}}}\)
csc 150° = \(\frac{1}{\frac{ane}{ii}}\)
csc 150° = 2

h.  cos 240° dan sec 240°
Jawab :

Sudut 240° terletak di kuadran III, sehingga cosinus bernilainegatif.
cos 240° = cos (180° + 60°)
cos 240°=–cos 60°
cos 240° = -\(\frac{1}{2}\)

sec 240° = \(\mathrm{\frac{i}{cos\,240^{\circ}}}\)
sec 240° = \(\frac{1}{-\frac{1}{ii}}\)
sec 240° = -ii

i.  tan 330° dan cot 330°
Jawab :

Sudut 330° terletak di kuadran IV, sehingga tangen bernilai
negatif.
tan 330° = tan (360° − 30°)
tan 330°
=
–tan xxx°
tan 330°
= -\(\frac{ane}{3}\)√3

cot 330° = \(\mathrm{\frac{1}{tan\,330^{\circ}}}\)
cot 330°
= \(\mathrm{\frac{one}{-\frac{1}{3}\sqrt{3}}}\)
cot 330°
= -√iii

Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif

sin (-α) = -sin α

cos (-α) = cos α

tan (-α) = -tan α

Contoh 7

Tentukan nilai dari :
sin (-xxx°)
cos (-135°)
tan (-330°)

Jawab :

sin (-30°) = -sin 30°
sin (-30°)
= -\(\frac{ane}{2}\)

cos (-135°) = cos 135°  (K.II cos negatif)
cos (-135°)
= cos (180° − 45°)
cos (-120°)
=
–cos 45°
cos (-120°)
= -\(\frac{1}{2}\)√2

tan (-330°) = -tan 330°  (K.IV tan negatif)
tan (-330°)
= -{tan (360° − xxx°)}
tan (-300°)
= -{–tan 30°}
tan (-300°)
= tan xxx°
tan (-300°)
= \(\frac{i}{3}\)√3

Perbandingan Trigonometri Sudut > 360°

Untuk due north bilangan bulat maka :
sin (α + due north.360°) = sin α

cos (α + n.360°) = cos α

tan (α + due north.360°) = tan α

Contoh 8

Tentukan nilai dari sin 780°
Jawab :

sin 780° = sin (sixty° + two. 360°)
sin 780°
= sin 60°
sin 780°
= \(\frac{1}{ii}\)√3

Contoh ix

Tentukan nilai dari tan 690°
Jawab :

tan 690° = tan (330° + 1. 360°)
tan 690°
= tan 330°  (M.IV tan negatif)
tan 690° = tan (360° − xxx°)
tan 690° =–tan 30°
tan 690° = -\(\frac{1}{3}\)√3

atau

tan 690° = tan (-xxx° + 2. 360°)
sin 405°
= tan (-30°)
sin 405° = -tan 30°
sin 405°
= -\(\frac{1}{3}\)√3

Contoh 10

Tentukan nilai dari cos 1200°
Jawab :

cos 1200° = cos (120° + three. 360°)
cos 1200°
= cos 120° (K.II cos negatif)
cos 1200°
= cos (180° − 60°)
cos 1200°
=–cos 60°
cos 1200°
= -\(\frac{1}{2}\)