Seorang Pedagang Menjual Buah Mangga Dan Pisang Dengan Menggunakan Gerobak

ten Contoh Kasus

Pemrograman Linier dalam Bidang Pertanian

Pembahasan :

Misalkan, :

Jenis Tanaman	Tanaman yang Akan ditanam (Ha)	Biaya ( Rp ) Xi,Xii
Padi ( Xi )	2-half-dozen
Jagung ( Tentwo )	4-6
Padi + Jagung	10
		400.000,200.000

Fungsi Tujuan :

F(x,y) = 400.000x + 200.000y

Batasan :

X₁


≥

2

—>
paling sedikit 2 hektar padi

X_i


≤

6

—>

paling banyak six hektar padi

Ten₂


≥
4

—>

paling sedikit iv hektar jagung

X₂

≤

6

—>
paling banyak six hektar padi

Ten_ane
+ Ten₂

≥

x

—>

tanah tidak kurang x hektar

Dari batasan-batasan yang ada maka disapatka grafiknya sebagai berikut :

Dari grafik diketahui :

Titik pojok :

A(4,6),

B(6,6),

C(6,4).

Substitusi ke :

Fungsi tujuan F(x,y) = 400.000x + 200.000y

Maka diperoleh :

A(4,six) —>

F(x,y) = 400.000(4) + 200.000(half-dozen) = 2.800.000

B(6,6) —>


F(x,y) = 400.000(6) + 200.000(half dozen) = 3.600.000

C(vi,iv) —> F(x,y) = 400.000(half-dozen) + 200.000(iv) = 3.200.000

Jadi agar biaya tanam minimum, petani sebaiknya menanam 4 hektar
padi dan 6 hektar jagung.

Pembahasan :

Karena ditanya laba maksimum, maka fungsi tujuannya adalah keuntungan dari menjual buah mangga dan buah pisang perkilonya.

Berikut untung penjualan :

mangga =

nine.200 – eight.000
=

1.200

pisang
=

7.000 – 6000
=

i.000

Misalkan, :

jumlah mangga = X_one

jumlah pisang = Ten₂

Harga Buah (/Kg)		Modal
Mangga ( Ten1 )	Pisang ( X2 )
Xane	102	180 Kg
8.000	6.000	Rp ane.200.000,-

Fungsi tujuannya adalah :

F(x,y) = ane.200x + one.000y

Batasan :

10 + y ≤ 180

viii.000x + six.000y ≤ one.200.000 —> 4x + 3y ≤ 600

x ≥ 0

y ≥ 0

Titik potong masing-masing garis terhadap sumbu x dan sumbu y :

Garis x + y = 180

untuk x = 0 , y = 180 —> (0, 180)

untuk y = 0, x = 180 —> (180,0)

Garis 4x + 3y = 600

untuk x = 0, y = 200 —> (0, 200)

untuk y = 0, x = 150 —> (150, 0)

Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah :

Dari grafik diketahui ada tiga titik pojok yaitu, :

A, B, dan C. Titik C merupakan perpotongan antara garis x + y = 180 dengan 4x + 3y = 600.

Substitusi titik pojok pada fungsi objektif F(x,y) i.200x + 1.000y :

A (0, 180) —> F(x,y) =1.000(180) = 180.000

B (threescore, 120) —> F(ten,y) = 1.200(60) + 1.000(120) = 192.000

C (150,0) —> F(10,y) = 1.200(150) = 180.000

Jadi laba maksimum yang diperoleh pedagang buah adalah Rp 192.000,00.

	Harga/kg (Rp)	Persentase untuk ukuran (%)
		Besar	Sedang	kecil
Petani 1	five.000	xl	40	twenty
Petani ii	4.000	xxx	35	35
Petani 3	3.000	20	xx	sixty

Kebutuhan minimum pedagang tsb akan masing-masing kualitas buah setiap bulannya adalah ukuran besar 500 kg, ukuran sedang 300 kg, dan ukuran kecil 300 kg. modal perusahaan itu saat ini hanya mampu untuk membeli maksimum 500 kg dari masing-masing petani.

Pembahasan :

Definisi Variabel sbb :

	Jumlah Buah yang dibeli (Kg)
	Besar	Sedang	kecil
Petani 1
Petani 2
Petani iii

Fungsi tujuan :

Minimumkan :

Batasan :

Jenis Bunga	Pupuk	Air	Biaya per unit of measurement (ribu rupiah)
Anggrek	2	ii	100
Mawar	1	3	80
Minimum kebutuhan	8	12

Bagaimana
menentukan
kombinasi
kedua jenis
makanan

agar meminimumkan biaya produksi.

Pembahasan :

Misalkan, :

X_ane
= Anggrek

X₂
= Mawar

Fungsi tujuan :

Zmin = 100X₁
+ 80X₂

Fungsi kendala :

one) 2X₁+Ten₂
≥ viii (pupuk)

2) 2X_one
+ 3X₂
≥12 (air)

3) 10_one
≥two

4) X_ii
≥ 1

Maka didapat Grafiknya adalah :

1) 2X₁+ X₂
= 8

    X_ane= 0, X_ii= 8

    X_two= 0, X_ane= iv

two) 2X₁
+ 3X₂
= 12

    X₁
= 0, 10₂
= 4

    X_two
= 0, 10₁
= 6

3) X₁
= two

4) 10₂
= one

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu persilangan garis kendala (1) dan (2).

2X1 + X2 = 8

2X1 + 3X2 = 12

-2X2 = -4   -> X2 = 2 (metode eliminasi)

masukkan X2 ke kendala (one)

2X1 + X2 = 8

2X1 + 2 = 8

2 X1 = 6 -> X1 = 3

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

Z min = 100X1 + 80X2

= 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 =460

Kesimpulan :

Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan

X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.

Pembahasan :

Misalkan, :

pupuk

(10

_i

)

pestisida

(10

₂

)

Proses	Jam kerja untuk membuat one unit of measurement produk		Full waktu tersedia per minggu
	Pupuk	Pestisida
Pembuatan	iv	2	240
P ackaging	2	1	100
Profit per Unit	seven	five

Fungsi Tujuan

:

Profit = ($ seven x jml

pupuk

yang diproduksi) + ($ 5 x jml

pestisida

yang


diproduksi)

Secara matematis dapat ditulis :

Maksimisasi : Z = 7 X₁ + v Ten₂

Fungsi Kendala

:

1

kilogram


pupuk

memerlukan iv jam untuk pembuatan




->         4 Ten₁

i

kilogram


pestisida

memerlukan 3 jam untuk pembuatan     ->         3 X_two

Total waktu yang tersedia per minggu untuk pembuatan




->    240 Jam

Dirumuskan dalam pertidaksamaan matemati
s :

4 10_i+ iii 10₂ £240

1

kilogram


pupuk

memerlukan 2 jam untuk


packaging


->         ii X₁

1

kilogram


pestisida

memerlukan ane jam untuk



packaging





->         1 10_ii

Total waktu yang tersedia per minggu untuk


packaging



->          100 Jam

Dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis

2 Ten₁+  Ten_ii £ 100

Formulasi masalah secara lengkap :

Fungsi Tujuan : Maks.  Z = seven X₁ + 5 X₂

Fungsi Kendala :          4 X₁+ 3 X_two £ 240

   2 Ten₁+    10₂  £ 100

                                           10_one  , X_ii ≥


0                     (kendala non-negatif)

Kendala I :

four X₁ + 3 X₂ = 240

memotong sumbu 10₁ pada saat X_ii = 0

4 X₁+ 0 = 240

X₁ = 240 / iv

Ten₁ = 60.

memotong sumbu X2 pada saat X_i = 0

0 + 3 X₂ = 240

X_two = 240/three

X_ii = 80

Kendala I memotong sumbu X₁ pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X₂ pada titik (0, 80).

Kendala Two :

two X₁ + 1 Ten₂ = 100

memotong sumbu X₁ pada saat X₂ = 0

2 Ten₁ + 0 = 100

Ten₁ = 100/2

Ten₁ = 50

memotong sumbu X_ii pada saat X₁ =0

0 + X_two = 100

Ten_two = 100

Kendala I memotong sumbu X_ane pada titik (fifty, 0) dan memotong sumbu 10₂ pada titik (0, 100).

Titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi

2 Ten₁ + 1 Ten₂ = 100         ->         X_two = 100 – 2 Ten_one

iv X_ane + 3 Ten₂ = 240                                                         X₂ = 100 – 2 X_ane

4 Ten₁ + iii (100 – 2 10_one) = 240                                          Ten₂ = 100 – 2 * thirty

4 X_one + 300 – six X₁ = 240                                               X₂ = 100 – 60

– 2 X_ane = 240 – 300                                                        X_ii = 40

– 2 X₁ = – sixty

X₁ = -60/-2 = 30.

Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (xxx, xl).

Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala.Viable region(area layak) meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0; 80), B (thirty; 40), dan C (60; 0).

Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka vii (koefisien 10₁) dan 5 (koefisien X₂) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = seven X₁ + five X₂. Garis ini akan memotong sumbu X₁ pada titik (v, 0) dan memotong sumbu X_two pada titik (0, 7).

Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga ane, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0).

Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 10 0) + (5 x 0) = 0.

Keuntungan pada titik A (0; eighty) adalah (vii ten 0) + (5 10 80) = 400.

Keuntungan pada titik B (xxx; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410.

Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x l) + (5 10 0) = 350.

Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi

pupuk

sebanyak 30 unit of measurement dan

pestisida

sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh keuntungan optimal sebesar 410.

Pembahasan :

Misalkan, :

10 = makanan jenis P

Y = makanan jenis Q

	Makanan jenis P (satuan)	Makanan jenis Q (satuan)	jumlah
Unsur A	i	three	27
Unsur B	i	1	21
Unsur C	2	1	30
Harga	3000	5000

Fungsi tujuan:

Meminimumkan biaya,

Z = 3000x + 5000y

Fungsi kendala:

x + 3y ≥27

x + y  ≥21

2x + y  ≥30

x,y≥  0

Maka, :

       Kendala I : 10 + 3y = 27

      Memotong sumbu 10 pada saat y = 0

Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala I memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

Kendala II: 10 + y = 21

Memotong sumbu x pada saat y = 0

Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala 2 memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

Kendala Iii: 2x + y = xxx

Memotong sumbu ten pada saat y = 0

Memotong sumbu y pada saat ten = 0

Kendala Three memotong sumbu ten pada titik  memotong sumbu y pada titik

Titik potong kendala I (x+3y 27) dengan kendala 2 ( x+y 21)

Sehingga kedua kendala akan berpotongan di titik C

   Titik potong kendala III (2x + y   30) dan kenadala II ( ten+y 21)

Sehingga kedua kendala akan berpotongan di titik  B.

(x,y)	Z=3000x + 5000y
A (0,thirty)	150000
B (ix,12)	27000+60000=97000
C (18,3)	54000+15000=69000
D (27,0)	81000

Ternyata nilai z pada titik C (18,3) lebih kecil daripada titik yang lain. Dengan demikian titik B adalah titik optimal.

Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan seorang petani modernistic yang akan memberikan biaya minimal adalah sebanyak 18 makanan jenis P dan iii makanan jenis Q dan seorang petani mod akan mengalokasikan biaya sebesar Rp 69.000,00

Pembahasan :

Misalkan, :

	Jumlah ha tanah (ha)		Batasan
	Jagung (	Gandum (
Hasil/ha (Ton/ha)	10	25	–
Jam-orang/minggu	4	10	40
Harga (Rp.)	thirty	forty	–
Batasan	–	30

Fungsi tujuan :

Batasan :

Solusi :

Dari hasil perhitungan reckoner didapatkan bahwa untuk menggarap tanah yang optimal dengan berbagai kendala di atas maka petani hanya perlu menggarap four ha tanahnya untuk ditanami Gandum.

Daerah	Luas tanah (hektar)	Alokasi air irigasi (m3)
one	400	600
2	600	800
3	300	375

Jenis tanaman yang dapat dikembangkan di daerah-daerah ini meliputi tebu, kapas, dan gandum, yang satu sama lain berbeda dalam hal hasil bersih per hektar serta jumlah air yang di konsumsinya. Di samping itu, ada ketentuan dari materi pertanian mengenai jatah lahan maksimum yang dapat digunakan untuk masing-masing jenis tanaman. Data ketiga hal di atas diperlihatkan pada tabal:

Jenis Tanaman	Jatah Lahan Maksimum (ha)	Konsumsi Air (m3)	Hasil Bersih (ribu rp/ha)
Tebu	600	3	400
Kapas	500	ii	300
Gandum	325	1	100

Pembahasan :

Tanaman\Daerah	Alokasi (Hektar)
	1	2	3
Tebu
Kapas
Gandum

Model persamaan linier untuk persoalan di atas adalah :

Pembatas-pembatas :

Solusi :

Dari hasil perhitungan computer di atas di dapatkan solusi optimum untuk persoalan di atas adalah :

Tanaman\Daerah	Alokasi Terbaik (Hektar)
	1	2	3
Tebu	133,3333	100	25
Kapas	100	250	150
Gandum

Jenis Bahan Baku dan Tenaga Kerja	Kg Bahan Baku dan jam Tenaga Kerja		Maksimum Penyediaan
	Kotoran Hewan	Dekomposer
Pupuk Kandang	2	3	60 Kg
Pupuk Kompos	–	2	30 Kg
Tenaga Kerja	2	1	40 Jam

Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp.40 juta untuk Pupuk Kandang dan Rp.30 juta untuk Pupuk Kompos.
Masalahnya
adalah
bagaimana menentukan
jumlah
unit of measurement
setiap
jenis
pupuk
yang
akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.

Pembahasan :

Misalkan, :

X₁=

Pupuk Kandang


X₂=

Pupuk Kompos

Fungsi tujuan :

Zmax= 40X_i
+ 30X₂

Fungsi kendala / batasan :

one.
2X₁
+ 3X₂_60

(
Pupuk Kandang
)

ii.
2X₂
_30
(
Pupuk Kompos
)

3.
2X_i
+ X_ii_40


(Tenaga Kerja)

Membuat grafik :

one.
2X₁
+ 3X₂= lx

X₁= 0, X₂
= 60/3 = xx

X₂= 0, Ten₁
= sixty/2 = xxx

2.
2X₂_30

X₂
= 30/2 = 15

three.
ii Ten₁
+ X₂_40

Ten_one= 0, 10_two
= forty

Ten₂= 0, X_i
= xl/ii = xx

Maksimasi

Titik A

X₁
= 0, X₂
= 0

masukkan nilai 10₁
dan 10₂
ke Z

Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0

Titik B

10_i=20, 10₂
=0

masukkan nilai Ten₁
dan 10₂
ke Z

Z = xl . xx + thirty . 0 = 800

Titik C

Mencari titik potong (ane) dan (3)

2 X_i
+ three 10₂
= 60

two Ten₁
+ X₂
= forty

2 X₂
=xx
Ten₂
=ten

Masukkan X₂
ke kendala (1)

2 X₁
+ 3 10_two
= 60

2 Ten₁
+ 3 . 10 = 60

2 10_i
+ 30 = threescore

2 X₁
= 30
X_ane
= 15

masukkan nilai X_one
dan X_ii
ke Z

40 10₁
+ thirty X₂
= 40 . xv + 30 . x = 600 + 300 = 900 (optimal)

Titik D

two X₂
= thirty

10_two
= fifteen

masukkan X₂
ke kendala (ane)

ii Ten_i
+ three . 15 = lx

2 X_i
+ 45 = 60

ii X₁
= 15
X_i
= 7,5

masukkan nilai 10_i
dan X₂
ke Z

Z = 40 . 7,5 + xxx . xv = 300 + 450 = 750

Titik E

X_ii
= 15

10₁
= 0

masukkan nilai X_one
dan X_ii
ke Z

Z = forty . 0 + 30 .15 = 450

Kesimpulan :

untuk memperoleh keuntungan optimal, maka Ten₁
= 15 dan X₂
= 10 dengan keuntungan sebesar Rp.900 juta.

Jenis Beras	Besar (30 kg)	Sedang (x kg)	Biaya / Buah
Naga Kisar	two	ii	100.000
Harapan Tani	one	3	eighty.000
Jumlah Karyawan	viii	12