Seorang Ibu Membagikan Permen Kepada 5 Orang Anaknya

KlikBelajar.com – Seorang Ibu Membagikan Permen Kepada 5 Orang Anaknya

Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret


Barisan dan Deret


  1. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah … buah


    A. 60C. 70

    E. 80


    B. 65D. 75



    PEMBAHASAN :


    u2 = a + b = 11 … (i)


    u4 = a + 3b = 19 … (ii)


    substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), maka diperoleh :


    (11 – b) + 3b = 19


               2b = 8 => b = 4


    Kemudian substitusi nilai b tersebut salah satu persamaan (misal persamaan (i)) sehingga menjadi :


    a = 11 – b = 11 – 4 = 7


    Setelah nilai a dan b kita peroleh, kemudian substitusi nilai tersebut ke rumusnya :



    Sn = (2a + (n – 1)b)


    S5 =\frac{5}{2} (2(7) + (5 – 1)4)


      =\frac{5}{2}(14 + (4)4)


      =\frac{5}{2} (14 + 16)


      =\frac{5}{2}(30) = 75




    JAWABAN : D



  2. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan keduaRp.55.000,00, bulan ketigaRp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah …


    A. Rp. 1.315.000,00


    B. Rp. 1.320.000,00


    C. Rp. 2.040.000,00


    D. Rp. 2.580.000,00


    E. Rp. 2.640.000,00



    PEMBAHASAN :


    u1 = a = Rp. 50.000,00


    u2 = Rp. 55.000,00


    u3 = Rp. 60.000,00


    b = u2 – u1 = Rp. 55.000,00 – Rp. 50.000,00 = Rp. 5.000,00


    2tahun = 24 bulan, jadi n = 24



    Sn = (2a + (n – 1)b)


    S24 =\frac{24}{2} (2(50.000) + (24 – 1)5.000)


       = 12 (100.000 + 23(50.000))


       = 12 (100.000 + 115.000)


       = 12 (215.000) = 2.580.000




    JAWABAN : D



  3. Dari suatu deret aritmetika diketahui u3= 13 dan u7= 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah …


    A. 3.250C. 1.625

    E. 1.225


    B. 2.650D. 1.325



    PEMBAHASAN :


    u3= a + 2b = 13 … (i)


    u7= a + 6b = 29 … (ii)


    substitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :


    (13 – 2b) + 6b = 29


                4b = 16 => b = 4


    Kemudian nilai b disubstitusi ke salah satu persamaan (misal persamaan (i)), sehingga diperoleh :


    a = 13 – 2b = 13 – 2(4) = 5



    Sn = (2a + (n – 1)b)


    S25 =\frac{25}{2} (2(5) + (25 – 1)4)


       =\frac{25}{2} (10 + (24)4)


       =\frac{25}{2} (10 + 96)


       =\frac{25}{2} (106)


       = 25.53 = 1.325




    JAWABAN : D



  4. Suku ke – n suatu deret aritmetika un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah …


    A. Sn =n/2 (3n – 7)


    B. Sn =n/2 (3n – 5)


    C. Sn =n/2 (3n – 4)


    D. Sn =n/2 (3n – 3)


    E. Sn =n/2 (3n – 2)



    PEMBAHASAN :


    Rumus untuk jumlah suku pertama ke-n barisan aritmatika adalahSn = (2a + (n – 1)b)atauSn = (a + un). Karena suku ke-n atau un diketahui, maka kita gunakan rumus yang kedua untuk mencari rumu jumlah suku pertama ke-n.


    un = 3n – 5


    a = u1 = 3(1) – 5 = -2



    Sn = (a + un)


       = (-2 + 3n – 5)


       = (3n – 7)




    JAWABAN : A



  5. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn =

     (5n – 19). Beda deret tersebut adalah …


    A. -5
    C. -2

    E. 5


    B. -3D. 3


    PEMBAHASAN :


    S1 =\dfrac{1}{2} (5(1) – 19) = -7


    S1 = u1 = a = suku pertama


    S2 =\dfrac{2}{2} (5(2) – 19) = -9


    S2 = u1 + u2 = a + (a + b)


       = -7 + (-7 + b) = -9


                     b = -9 + 14 = 5




    JAWABAN : E



  6. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmatika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …


    A. 49C. 60

    E. 98


    B. 50D. 95



    PEMBAHASAN :


    u1.u4 = a(a + 3b) = a2 + 3ab = 46 … (i)


    u2.u3 = (a + b)(a + 2b) = a2 + 3ab + 2b2 = 144 … (ii)


    subsitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :


    a2 + 3ab + 2b2 = 46 + 2b2 = 144


               2b2 = 98


                b2 = 49 => b = 7


    substitusi nilai b ke persamaan (i) :


    a2 + 3a(7) = 46


    a2 + 21a – 46 = 0


    (a + 23)(a – 2) = 0


    a = -23 atau a = 2


    untuk a = -23


    S4 =\frac{4}{2} (2(-23) + (4 – 1)7)


       = 2(-46 + 21)


       = 2(-25) = -50


    untuk a = 2


    S4 =\frac{4}{2} (2(2) + (4 – 1)7)


       = 2(4 + 21)


       = 2(25) = 50




    JAWABAN : B






  7. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah $S_n = n^2+\dfrac{5}{2}n$. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah …


    A. -11/2C. 2

    E. 11/2


    B. -2D. 5/2



    PEMBAHASAN :



    S_n = n^2+\dfrac{5}{2}n



    S_1 = 1^2+\dfrac{5}{2} \cdot 1 = \dfrac{7}{2}



    S_1 = u_1 = a



    S_2 = 2^2+\dfrac{5}{2} \cdot 2 = 9



    S_2 = u_1 + u_2 = a + (a + b)



    9 = \dfrac{7}{2} + \left( \dfrac{7}{2} + b \right)


    9 – 7 = b


        2 = b




    JAWABAN : C



  8. Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah …


    A. 17C. 21

    E. 25


    B. 19D. 23



    PEMBAHASAN :


    ut = ½(a + un) = 32


    a + un = 32(2)


    a + un = 64



    Sn = (a + un)


    672 = (64)


    672 = n (32)


    21 = n




    JAWABAN : C



  9. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan     ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah …


       A. 840C. 640

    E. 315


       B. 660D. 630



    PEMBAHASAN :




    un = a + (n – 1)b


    u3 = a + 2b = 36 … (i)


    u5 + u7 = 144


    (a + 4b) + (a + 6b) = 144


    2a + 10b = 144 (kalikan ½)


    a + 5b = 72 … (ii)


    dari (i) dan (ii) diperoleh :


    a + 5b = 72


    (36 – 2b) + 5b = 72


    3b = 36 => b = 12


    Kemudian substitusi nilai b ke salah satu persamaan (misal persamaan (i)), sehingga diperoleh :


    a = 36 – 2b = 36 – 2(12) = 12


    Setelah nilai a dan b kita dapatkan, kemudian kita mencari nilai dari S10:



    Sn = (2a + ( n – 1 )b)


    S10 =\frac{10}{2} (2(12) + ( 10 – 1 )12)


       = 5 (24 + (9)12)


       = 5 (24 + 108)


       = 5 (132) = 660



    JAWABAN : B




  10. .  UN 2003

    Jumlah deret geometri tak hingga

    √2 + 1 +


    1
    2



    √2 +


    1
    2



     + … adalah …

    A.


    2
    3



    (√2 + 1)

    B.


    3
    2



    (√2 + 1)

    C.   2(√2 + 1)

    D.   3(√2 + 1)

    E.   4(√2 + 1)


    Pembahasan
     :


    Jumlah deret geometri tak hingga dengan a = √2  dan  r = 1 / √2 adalah






    S




    =


    2


    1


    1

    2







    2


    2








    =

    2


    2


    1








    =

    2


    2


    1






    2

    +
    1



    2

    +
    1








    =


    2

    (


    2

    +
    1

    )



    2

    1








    =
    2

    (


    2

    +
    1

    )













    Jawaban : C







  11. UN 2004

    Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan hari kedua adalah 2 cm dan pada hari keempat adalah 3


    5
    9



     cm, maka tinggi tanaman tersebut pada hari pertama pengamatan adalah …

    A.   1 cm

    B.   1


    1
    3



     cm

    C.   1


    1
    2



     cm

    D.   1


    7
    9



     cm

    E.   2


    1
    4



     cm

    Pembahasan
     :

    U
    2
     = ar = 2   →   r = 2/a

    U
    4
     = ar
    3
     = 3


    5
    9



     = 32/9






    a

    r

    3






    =

    32
    9






    a


    (

    2
    a

    )


    3






    =

    32
    9







    8

    a

    2







    =

    32
    9







    a

    2






    =


    8

    9

    32







    a

    2






    =

    9
    4






    a




    =

    3
    2








    Jawaban : C









  12. Seorang ibu mempunyai 5 orang anak yang usianya membentuk suatu barisan aritmatika. Jika sekarang usia si bungsu 15 tahun dan si sulung 23 tahun, maka jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang adalah …

    A.   95 tahun



    C.   110 tahun






    E.   145 tahun




    B.   105 tahun




    D.   140 tahun


    Pembahasan
     :

    Karena umur ke-5 anak tersebut membentuk barisan aritmatika, maka 10 tahun kemudian umur mereka juga akan membentuk barisan aritmatika dengan beda yang sama.

    Usia si bungsu 10 tahun kemudian = 15 + 10 = 25

    Usia si sulung 10 tahun kemudian = 23 + 10 = 33

    U
    1
     = a = 25

    U
    5
     = 33

    S
    5
     =



    5
    2




    (a + U
    5
    )

    S5

     =



    5
    2




    (25 + 33)

    S5

     = 145

    Jawaban : E












  13. UN 2013


    Umur Razan, Amel dan Icha membentuk barisan geometri. Jumlah usia mereka 14 tahun. Perbandingan usia Icha dan Amel adalah 2 : 1. Razan berumur paling muda. Usia Razan adalah …

    A.   2 tahun




    C.   4 tahun








    E.   8 tahun





    B.   3 tahun




    D.   6 tahun



    Pembahasan
     :

    Misalkan :

    U
    1
     = a = usia Razan

    U
    2
     = ar = usia Amel

    U
    3
     = ar
    2
     = usia Icha

    r = U
    3
     / U
    2
     = 2/1 = 2

    U
    1
     + U
    2
     + U
    3
     = 14

    a + ar + ar
    2
     = 14

    a + a(2) + a(2)
    2
     = 14

    a + 2a + 4a = 14

    7a = 14

    a = 2

    Jadi, usia Razan adalah 2 tahun


    Jawaban : A













  14.  UN 2014


    Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah…

    A.   1.200 kursi

    B.   800 kursi

    C.   720 kursi

    D.   600 kursi

    E.   300 kursi

    Pembahasan
     :

    Pandang ke-15 baris kursi sebagai suku-suku barisan aritmatika, dengan jumlah kursi baris terdepan sebagai suku pertama dan selisih jumlah kursi tiap baris yang berdekatan sebagai beda barisan.

    n = 15

    a = 20

    b = 4

    Kapasitas gedung adalah jumlah kursi pada ke-15 baris tersebut, yaitu







    S

    15






    =

    15
    2


    (

    2

    20
    +
    (
    15

    1
    )
    4

    )







    =

    15
    2


    (

    40
    +
    56

    )







    =
    720









    Jawaban : C

















  15.   UN 2015


    Suatu bola dijatuhkan dari ketinggian 9 meter. Setiap memantul, bola mencapai ketinggian 2/3 dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah …

    A.   36 meter

    B.   38 meter

    C.   45 meter

    D.   47 meter

    E.   51 meter

    Pembahasan
     :

    Kasus diatas dapat diselesaikan dengan rumus :







    S = panjang lintasan

    a = ketinggian awal bola



    b
    c




     = rasio dari ketinggian bola pada pantulan ke-n dengan ketinggian bola pada pantulan sebelumnya.

    Dari soal diketahui a = 9 dan



    b
    c

    =

    2
    3




    . Jadi,






    S

    =


    9
    (
    3
    +
    2
    )


    3

    2


    =


    9
    (
    5
    )

    1

    =
    45





    Jawaban : C







  16.   UN 2016


    Seutas tali dipotong-potong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanjang 320 cm, panjang tali sebelum dipotong adalah …

    A.   310 cm

    B.   470 cm

    C.   550 cm

    D.   630 cm

    E.   650 cm

    Pembahasan
     :

    Pandang ke-enam potongan tali sebagai suku-suku barisan geometri, dengan potongan terpendek adalah suku pertama dan potongan terpanjang adalah suku terakhir.

    n = 6

    U
    1
     = a = 10

    U
    6
     = ar
    5
     = 320   …………………..(*)

    Substitusi a = 10 ke persamaan (*) diperoleh

    10r
    5
     = 320   ⇔   r
    5
     = 32   ⇔   r = 2

    Panjang tali sebelum dipotong adalah jumlah dari ke-enam potongan tali tersebut, yaitu







    S


    6


    =


    10
    (
    1


    2

    6


    )


    1

    2


    =


    10
    (
    1

    64
    )



    1


    =
    630






    Jawaban : D















  17.   UN 2017


    Suatu barisan geometri 16, 8, 4, 2, …, maka jumlah n suku pertama adalah …

    A.   2
    n-5
     – 32

    B.   2
    5-n
     – 32

    C.   32 – 2
    5-n

    D.   32 – 2
    n-5

    E.   32 – (1/2)
    5-n

    Pembahasan
     :

    Diketahui barisan geometri :

    a  =16

    r = 8/16 = 1/2

    Jumlah n suku pertama adalah







    S

    n






    =



    16
    (
    1

    (
    1

    /

    2

    )

    n


    )


    1

    (
    1

    /

    2
    )









    =

    32
    (
    1

    (
    1

    /

    2

    )

    n


    )







    =

    32

    32
    (
    1

    /

    2

    )

    n









    =

    32


    2

    5




    2


    n









    =

    32


    2

    5

    n









    Jawaban : C















  18.   UN 2017


    Seorang kakek membagikan permen kepada 6 orang cucunya, menurut aturan deret aritmatika. Semakin muda usia cucu semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diperoleh cucu kedua sebanyak 9 buah dan cucu kelima sebanyak 21 buah, jumlah seluruh permen adalah …

    A.   80 buah

    B.   90 buah

    C.   100 buah

    D.   110 buah

    E.   120 buah

    Pembahasan
     :

    n = 6

    U
    2
     = a + b = 9     ……………………(1)

    U
    5
     = a + 4b = 21   ………………….(2)

    Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

    a = 5  dan  b = 4

    Jumlah seluruh permen adalah

    S
    6
     =


    6
    2



    (2

    5 + (6 – 1)4)

    S6

     = 3(10 + 20)

    S6
    = 90






    Jawaban : B















  19.   UN 2017


    Adit menabung setiap bulan di sebuah bank. Pada bulan pertama Adit menabung sebesar Rp80.000,00 dan pada bulan-bulan berikutnya uang yang ditabung selalu Rp5.000,00 lebih besar dari uang yang ditabung pada bulan sebelumnya. Jumlah uang tabungan Adit selama satu tahun adalah …

    A.   Rp1.015.000,00

    B.   Rp1.050.000,00

    C.   Rp1.290.000,00

    D.   Rp1.320.000,00

    E.   Rp1.340.000,00

    Pembahasan
     :

    a = 80  (dalam ribuan rupiah)

    b = 5   (dalam ribuan rupiah)

    Jumlah tabungan dalam 1 tahun (12 bulan) adalah

    S
    12
     =


    12
    2



    (2.80 + (12 – 1)5)

    S12

     = 6(160 + 55)

    S12

     = 1.290   (dalam ribuan rupiah)


    Jawaban : C















  20.   UN 2017


    Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 2 jam. Jika pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 adalah…

    A.   100 gram

    B.   50 gram

    C.   25 gram

    D.   12,5 gram

    E.   6,25 gram

    Pembahasan
     :

    06.00   →   1.600 gram

    08.00   →   800 gram





    10.00   →   400 gram

    12.00   →   200 gram

    14.00   →   100 gram








    atau U
    5
     = 1600 (1/2)
    5-1
     = 100







    Jawaban : A









  21.   UN 2017


    Suatu virus berkembang biak dua kali lipat setiap 2 jam. Bila jumlah virus pada pukul 07.00 banyaknya 5 spesies, perkembangbiakan virus tersebut pada pukul 15.00 adalah…

    A.   160 spesies

    B.   100 spesies

    C.   80 spesies

    D.   50 spesies

    E.   40 spesies

    Pembahasan
     :

    07.00   →   5 spesies

    09.00   →   10 spesies

    11.00   →   20 spesies

    13.00   →   40 spesies

    15.00   →   80 spesies



    atau U
    5
     = 5 (2)
    5-1
     = 80


    Jawaban : C



NOTE :
silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

Seorang Ibu Membagikan Permen Kepada 5 Orang Anaknya

Sumber: http://santhyroditasidabutar.blogspot.com/2018/12/barisan-dan-deret.html

Baca :   Ciri Ciri Mata Minus 0 25

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …