Rumus Trigonometri Sudut Ganda

Rumus Trigonometri Sudut Ganda.

Blog Koma
– Pada artikel kali ini kita akan mempelajari materi
Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda.
Sudut ganda
yang dimaksud adalah $ 2\alpha \, $ dan juga bentuk $ \frac{1}{two} \alpha $ . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaik baca juga materi “Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut”.

Rumus Trigonometri Sudut Ganda untuk $ \sin two\blastoff , \, \cos 2\alpha , \, \tan 2\blastoff $

Berikut rumus-rumus trigonometri sudut ganda :

$ \sin 2\alpha = 2 \sin \blastoff \cos \alpha $

$ \cos 2\alpha = \cos ^two \alpha – \sin ^2 \alpha $

$ \cos ii\alpha = 2\cos ^2 \alpha – 1 $

$ \cos 2\alpha = one – ii\sin ^two \blastoff $

$ \tan two\alpha = \frac{2\tan \alpha }{ane – \tan ^ii \alpha } $

Pembuktian rumus trigonometri sudut ganda :

$\clubsuit $ Rumus $ \sin 2\alpha = two \sin \alpha \cos \alpha $

*). Ingat rumus sinus jumlah sudut : $ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $

$ \begin{align} \sin 2\alpha & = \sin ( \alpha + \alpha ) \\ & = \sin \alpha \cos \blastoff + \cos \alpha \sin \alpha \\ & = two \sin \alpha \cos \blastoff \cease{marshal} $

Sehingga terbukti : $ \sin two\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha – \sin ^2 \alpha $

*). Ingat rumus $ \cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B $

$ \brainstorm{marshal} \cos 2\alpha & = \cos (\alpha + \alpha ) \\ & = \cos \blastoff \cos \alpha – \sin \alpha \sin \alpha \\ & = \cos ^2 \alpha – \sin ^two \alpha \end{align} $

Sehingga terbukti : $ \cos ii\alpha = \cos ^2 \alpha – \sin ^two \alpha $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \cos 2\alpha = ii\cos ^2 \alpha – i $

*). Ingat rumus identitas : $ \sin ^2 A + \cos ^two A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = ane – \cos ^2 A $

$ \begin{align} \cos two\alpha & = \cos ^2 \alpha – \sin ^two \alpha \\ & = \cos ^ii \alpha – (1 – \cos ^2 \blastoff ) \\ & = 2\cos ^2 \blastoff – 1 \finish{align} $

Sehingga terbukti : $ \cos 2\blastoff = 2\cos ^ii \alpha – one $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \cos 2\blastoff = 1 – two\sin ^2 \alpha $

*). Ingat rumus identitas : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = ane \rightarrow \cos ^2 A = 1 – \sin ^2 A $

$ \begin{align} \cos 2\alpha & = \cos ^ii \alpha – \sin ^2 \alpha \\ & = ( i – \sin ^ii \blastoff ) – \sin ^2 \alpha \\ & = ane – two\sin ^2 \alpha \end{marshal} $

Sehingga terbukti : $ \cos 2\alpha = 1 – 2\sin ^two \blastoff $

Baca :   Unsur Yang Memiliki Elektron Valensi Terbanyak Adalah

$ \clubsuit $ Rumus : $ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{i – \tan ^2 \alpha } $

*). Ingat rumus : $ \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 – \tan A \tan B} $

$ \begin{align} \tan two\alpha & = \tan ( \alpha + \alpha ) \\ & = \frac{\tan \alpha + \tan \alpha }{ane – \tan \alpha \tan \alpha } \\ & = \frac{two\tan \blastoff }{i – \tan ^2 \alpha } \end{marshal} $

Sehingga terbukti : $ \tan 2\blastoff = \frac{2\tan \blastoff }{one – \tan ^2 \alpha } $

Contoh :

one). Diketahui nilai $ \sin A = – \frac{iii}{5} \, $ dengan A di kuadran Three. Tentukan nilai $ \sin 2A, \, \cos 2A, \, $ dan $ \tan 2A $ ?
Penyelesaian :

*). Menentukan nilai $ \cos A, \, $ dan $ \tan A $

diketahui $ \sin A = – \frac{3}{5} \rightarrow \sin A = – \frac{3}{five} = \frac{de}{mi} $

artinya sisi depan adalah 3 dan sisi miring adalah 5, berdasarkan pythagoras diperoleh sisi sampingnya adalah iv.

Sehingga, nilai $ \cos A = \frac{sa}{mi} = – \frac{4}{five} \, $ dan $ \tan A = \frac{de}{sa} = \frac{3}{four} $

Catatan : di kuadran III, nilai sin negatif, nilai cos negatif, dan nilai Tan positif.

*). Menentukan hasilnya ,

$ \begin{align} \sin 2A & = 2 \sin A \cos A \\ & = 2 . (- \frac{3}{5}) . (- \frac{four}{5} ) \\ & = \frac{24}{25} \\ \cos 2A & = 2 \cos ^2 A – 1 \\ & = 2. ( – \frac{4}{v} )^two – 1 \\ & = two. \frac{16}{25} – 1 \\ & = \frac{32}{25} – \frac{25}{25} \\ & = \frac{vii}{25} \\ \tan 2A & = \frac{2\tan A}{1 – \tan ^2 A} \\ & = \frac{2. \frac{three}{4} }{1 -( \frac{3}{4} )^2 } \\ & = \frac{ \frac{six}{4} }{ane – \frac{nine}{sixteen} } \\ & = \frac{ \frac{six}{4} }{ane – \frac{9}{16} } . \frac{16}{16} \\ & = \frac{ 24}{16 – 9 } \\ & = \frac{ 24}{vii } \finish{marshal} $

Jadi, diperoleh : $ \sin 2A = \frac{24}{25} , \, \cos 2A = \frac{vii}{25}, \, $ dan $ \tan 2A = \frac{ 24}{seven } $

Pembuktian Rumus sudut $ \frac{1}{2} A $ :

Misalkan $ 2\blastoff = A \rightarrow \alpha = \frac{1}{2} A $

Substitusi bentuk permisalan di atas ke persamaan yan digunakan.

$\spadesuit $ Rumus : $ \sin \frac{ane}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} $

*). gunakan rumus : $ \cos two \alpha = 1 – two\sin ^2 \blastoff $

$ \begin{marshal} \cos 2 \alpha & = 1 – 2\sin ^2 \blastoff \\ \cos A & = 1 – 2\sin ^ii \frac{1}{2} A \\ ii\sin ^two \frac{one}{2} A & = ane – \cos A \\ \sin ^2 \frac{1}{two} A & = \frac{1 – \cos A}{ii} \\ \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 – \cos A}{2} } \cease{align} $

Sehingga terbukti : $ \sin \frac{i}{ii} A = \sqrt{\frac{one- \cos A}{ii}} $

$\spadesuit $ Rumus : $ \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{ii}} $

*). gunakan rumus : $ \cos 2 \alpha = two\cos ^2 \alpha – 1 $

$ \begin{align} \cos two \alpha & = 2\cos ^ii \alpha – 1 \\ \cos A & = 2\cos ^ii \frac{1}{two}A – 1 \\ 2\cos ^ii \frac{1}{ii}A & = 1 + \cos A \\ \cos ^two \frac{1}{2}A & = \frac{i + \cos A}{2} \\ \cos \frac{ane}{two}A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2} } \end{align} $

Sehingga terbukti : $ \cos \frac{ane}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $

$\spadesuit $ Rumus : $ \tan \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{one – \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{one- \cos A}{\sin A } $

*). gunakan rumus : $ \tan \frac{ane}{ii}A = \frac{\sin \frac{1}{two}A }{\cos \frac{i}{2}A } , \, \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{two}} , \, \cos \frac{i}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $

*). Rumus Pertama :

$ \begin{align} \tan \frac{i}{2} A & = \frac{\sin \frac{1}{ii}A }{\cos \frac{one}{2}A } \\ & = \frac{ \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} }{ \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} } \\ \tan \frac{ane}{ii}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{one + \cos A} } \\ \end{marshal} $

*). Rumus kedua :

$ \begin{align} \tan \frac{one}{ii}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{one + \cos A} } \\ \tan \frac{i}{2}A & = \sqrt{ \frac{i- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 + \cos A}{1 + \cos A} } \\ & = \sqrt{ \frac{1- \cos ^2 A}{(1 + \cos A)^2} } \\ & = \sqrt{ \frac{\sin ^2 A }{(1 + \cos A)^2} } \\ & = \frac{\sin A}{1+ \cos A} \\ \finish{align} $

*). Rumus ketiga :

$ \brainstorm{align} \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{one – \cos A}{1 – \cos A} } \\ & = \sqrt{\frac{(1- \cos A)^two}{ane – \cos ^2 A} } \\ & = \sqrt{\frac{(1- \cos A)^two}{\sin ^2 A } } \\ & = \frac{1- \cos A}{\sin A } \finish{align} $

Sehingga terbukti : $ \tan \frac{one}{ii} A = \sqrt{\frac{1 – \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{ane- \cos A}{\sin A } $

Baca :   Operasi Hitung Penjumlahan Dan Pengurangan Pecahan

Contoh :

2). Hitunglah nilai dari :

a). $ \sin 15^\circ $

b). $ \cos 67,5^\circ $

c). $ \tan 22,5^\circ $

Penyelesaian :

a). $ \frac{ane}{2}A = 15^\circ \rightarrow A = thirty^\circ $

$ \begin{marshal} \sin \frac{1}{ii} A & = \sqrt{\frac{1 – \cos A}{2} } \\ \sin xv^\circ & = \sqrt{\frac{1 – \cos thirty^\circ}{ii} } \\ & = \sqrt{\frac{1 – \frac{1}{2} \sqrt{iii} }{2} } \\ & = \sqrt{\frac{2 – \sqrt{3} }{4} } \\ & = \frac{one}{two} \sqrt{2 – \sqrt{iii} } \end{align} $

Jadi, nilai $ \sin fifteen^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{two – \sqrt{iii} } $

b). $ \frac{1}{2}A = 67,5^\circ \rightarrow A = 135^\circ $

nilai $ \cos 135^\circ = \cos ( 180^\circ – 45^\circ ) = -\cos 45^\circ = -\frac{1}{two} \sqrt{ii} $

Lihat materi ” Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi ”

$ \begin{align} \cos \frac{i}{2} A & = \sqrt{\frac{ane + \cos A}{two} } \\ \cos 67,5^\circ & = \sqrt{\frac{1 + \cos 135^\circ}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{ane + (-\frac{ane}{ii} \sqrt{2} )}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{ii – \sqrt{2} }{4} } \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2 – \sqrt{2} } \finish{align} $

Jadi, nilai $ \cos 67,v^\circ = \frac{ane}{2} \sqrt{2 – \sqrt{2} } $

c). $ \frac{1}{two}A = 22,v^\circ \rightarrow A = 45^\circ $

$ \brainstorm{align} \tan \frac{one}{2} A & = \frac{\sin A}{1+ \cos A} \\ \tan 22,5^\circ & = \frac{\sin 45^\circ}{i+ \cos 45^\circ} \\ & = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{2} }{1+ \frac{1}{2} \sqrt{2} } \\ & = \frac{ \sqrt{ii} }{2+ \sqrt{2} } \\ & = \frac{ \sqrt{ii} }{ii+ \sqrt{2} } \times \frac{two – \sqrt{2} }{2 – \sqrt{2} } \\ & = \frac{ 2\sqrt{two} – two }{4 – ii} \\ & = \frac{ two\sqrt{2} – ii }{2} \\ & = \sqrt{2} – 1 \terminate{align} $

Jadi, nilai $ \tan 22,5^\circ = \sqrt{2} – 1 $

Rumus Trigonometri Sudut rangkap tiga untuk $ \sin three\alpha , \, \cos 3\alpha , \, \tan 3\alpha $

Berikut rumus-rumus trigonometri sudut rangkap tiga :

$ \sin iii\alpha = 3 \sin \alpha – iv\sin ^three \alpha $

$ \cos iii\blastoff = 4\cos ^three \alpha – 3\cos \blastoff $

$ \tan 3 \blastoff = \frac{3\tan \alpha – \tan ^3 \alpha}{1 – 3 \tan ^2 \alpha } $

Untuk pembuktiannya, coba sendiri dengan cara :

$ \sin 3 \alpha = \sin (2\alpha + \blastoff ) $

$ \cos 3 \alpha = \cos (two\alpha + \blastoff ) $

$ \tan 3 \alpha = \tan (2\alpha + \alpha ) $

Rumus Trigonometri Sudut Ganda

Source: https://www.konsep-matematika.com/2015/11/rumus-trigonometri-untuk-sudut-ganda.html

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …