Rumus Tan 2a

Blog Koma
– Pada artikel kali ini kita akan mempelajari materi
Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda.
Sudut ganda
yang dimaksud adalah $ 2\blastoff \, $ dan juga bentuk $ \frac{i}{2} \alpha $ . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaik baca juga materi “Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut”.

Pembuktian rumus trigonometri sudut ganda :

$\clubsuit $ Rumus $ \sin 2\blastoff = 2 \sin \alpha \cos \alpha $

*). Ingat rumus sinus jumlah sudut : $ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $

$ \begin{align} \sin 2\alpha & = \sin ( \blastoff + \alpha ) \\ & = \sin \alpha \cos \blastoff + \cos \blastoff \sin \alpha \\ & = 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{align} $

Sehingga terbukti : $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha – \sin ^2 \blastoff $

*). Ingat rumus $ \cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B $

$ \begin{align} \cos 2\alpha & = \cos (\alpha + \alpha ) \\ & = \cos \alpha \cos \alpha – \sin \alpha \sin \blastoff \\ & = \cos ^2 \blastoff – \sin ^2 \alpha \end{align} $

Sehingga terbukti : $ \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha – \sin ^2 \alpha $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \cos ii\alpha = ii\cos ^2 \alpha – 1 $

*). Ingat rumus identitas : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = one \rightarrow \sin ^two A = ane – \cos ^2 A $

$ \begin{align} \cos two\alpha & = \cos ^two \alpha – \sin ^ii \alpha \\ & = \cos ^2 \alpha – (1 – \cos ^2 \alpha ) \\ & = two\cos ^ii \blastoff – 1 \end{marshal} $

Sehingga terbukti : $ \cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha – 1 $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \cos 2\alpha = one – 2\sin ^ii \alpha $

*). Ingat rumus identitas : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos ^two A = 1 – \sin ^2 A $

$ \begin{align} \cos 2\blastoff & = \cos ^2 \blastoff – \sin ^2 \alpha \\ & = ( 1 – \sin ^2 \alpha ) – \sin ^2 \alpha \\ & = 1 – two\sin ^2 \alpha \terminate{align} $

Sehingga terbukti : $ \cos two\alpha = 1 – ii\sin ^two \alpha $

$ \clubsuit $ Rumus : $ \tan 2\alpha = \frac{ii\tan \blastoff }{1 – \tan ^ii \blastoff } $

*). Ingat rumus : $ \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 – \tan A \tan B} $

$ \begin{marshal} \tan two\alpha & = \tan ( \alpha + \alpha ) \\ & = \frac{\tan \alpha + \tan \alpha }{1 – \tan \alpha \tan \alpha } \\ & = \frac{2\tan \alpha }{1 – \tan ^2 \alpha } \end{align} $

Sehingga terbukti : $ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \blastoff }{1 – \tan ^2 \alpha } $

Contoh :

one). Diketahui nilai $ \sin A = – \frac{3}{v} \, $ dengan A di kuadran III. Tentukan nilai $ \sin 2A, \, \cos 2A, \, $ dan $ \tan 2A $ ?
Penyelesaian :

*). Menentukan nilai $ \cos A, \, $ dan $ \tan A $

diketahui $ \sin A = – \frac{3}{5} \rightarrow \sin A = – \frac{3}{5} = \frac{de}{mi} $

artinya sisi depan adalah three dan sisi miring adalah 5, berdasarkan pythagoras diperoleh sisi sampingnya adalah 4.

Sehingga, nilai $ \cos A = \frac{sa}{mi} = – \frac{four}{5} \, $ dan $ \tan A = \frac{de}{sa} = \frac{iii}{4} $

Catatan : di kuadran III, nilai sin negatif, nilai cos negatif, dan nilai Tan positif.

*). Menentukan hasilnya ,

$ \begin{align} \sin 2A & = 2 \sin A \cos A \\ & = ii . (- \frac{3}{five}) . (- \frac{4}{5} ) \\ & = \frac{24}{25} \\ \cos 2A & = 2 \cos ^2 A – 1 \\ & = 2. ( – \frac{iv}{5} )^2 – 1 \\ & = two. \frac{16}{25} – ane \\ & = \frac{32}{25} – \frac{25}{25} \\ & = \frac{vii}{25} \\ \tan 2A & = \frac{two\tan A}{1 – \tan ^two A} \\ & = \frac{2. \frac{3}{4} }{1 -( \frac{3}{4} )^2 } \\ & = \frac{ \frac{six}{4} }{1 – \frac{9}{xvi} } \\ & = \frac{ \frac{6}{4} }{1 – \frac{9}{xvi} } . \frac{16}{xvi} \\ & = \frac{ 24}{16 – 9 } \\ & = \frac{ 24}{7 } \end{marshal} $

Jadi, diperoleh : $ \sin 2A = \frac{24}{25} , \, \cos 2A = \frac{7}{25}, \, $ dan $ \tan 2A = \frac{ 24}{seven } $

Pembuktian Rumus sudut $ \frac{1}{2} A $ :

Misalkan $ 2\alpha = A \rightarrow \blastoff = \frac{1}{2} A $

Substitusi bentuk permisalan di atas ke persamaan yan digunakan.

$\spadesuit $ Rumus : $ \sin \frac{1}{ii} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} $

*). gunakan rumus : $ \cos two \alpha = ane – 2\sin ^ii \alpha $

$ \begin{align} \cos 2 \alpha & = 1 – two\sin ^2 \blastoff \\ \cos A & = i – 2\sin ^ii \frac{1}{2} A \\ two\sin ^2 \frac{1}{2} A & = 1 – \cos A \\ \sin ^two \frac{1}{2} A & = \frac{1 – \cos A}{2} \\ \sin \frac{i}{2} A & = \sqrt{\frac{1 – \cos A}{2} } \cease{align} $

Sehingga terbukti : $ \sin \frac{1}{ii} A = \sqrt{\frac{ane- \cos A}{2}} $

$\spadesuit $ Rumus : $ \cos \frac{1}{two} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{ii}} $

*). gunakan rumus : $ \cos 2 \blastoff = ii\cos ^ii \alpha – ane $

$ \begin{marshal} \cos 2 \alpha & = 2\cos ^2 \alpha – 1 \\ \cos A & = 2\cos ^2 \frac{one}{2}A – i \\ 2\cos ^2 \frac{1}{2}A & = ane + \cos A \\ \cos ^2 \frac{1}{two}A & = \frac{ane + \cos A}{2} \\ \cos \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{i + \cos A}{2} } \finish{align} $

Sehingga terbukti : $ \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{ane + \cos A}{ii}} $

$\spadesuit $ Rumus : $ \tan \frac{1}{ii} A = \sqrt{\frac{one – \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } $

*). gunakan rumus : $ \tan \frac{i}{2}A = \frac{\sin \frac{ane}{two}A }{\cos \frac{1}{2}A } , \, \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} , \, \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $

*). Rumus Pertama :

$ \begin{align} \tan \frac{one}{2} A & = \frac{\sin \frac{1}{two}A }{\cos \frac{1}{2}A } \\ & = \frac{ \sqrt{\frac{ane- \cos A}{two}} }{ \sqrt{\frac{i + \cos A}{2}} } \\ \tan \frac{i}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{i + \cos A} } \\ \terminate{marshal} $

*). Rumus kedua :

$ \begin{align} \tan \frac{i}{2}A & = \sqrt{ \frac{ane- \cos A}{one + \cos A} } \\ \tan \frac{1}{two}A & = \sqrt{ \frac{one- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 + \cos A}{one + \cos A} } \\ & = \sqrt{ \frac{1- \cos ^2 A}{(1 + \cos A)^two} } \\ & = \sqrt{ \frac{\sin ^ii A }{(i + \cos A)^2} } \\ & = \frac{\sin A}{ane+ \cos A} \\ \end{align} $

*). Rumus ketiga :

$ \begin{marshal} \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{ane- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \tan \frac{one}{2}A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 – \cos A}{1 – \cos A} } \\ & = \sqrt{\frac{(ane- \cos A)^two}{1 – \cos ^2 A} } \\ & = \sqrt{\frac{(i- \cos A)^2}{\sin ^2 A } } \\ & = \frac{1- \cos A}{\sin A } \stop{align} $

Sehingga terbukti : $ \tan \frac{1}{ii} A = \sqrt{\frac{1 – \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } $

Contoh :

2). Hitunglah nilai dari :

a). $ \sin 15^\circ $

b). $ \cos 67,5^\circ $

c). $ \tan 22,5^\circ $

Penyelesaian :

a). $ \frac{1}{two}A = 15^\circ \rightarrow A = 30^\circ $

$ \begin{marshal} \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{one – \cos A}{2} } \\ \sin 15^\circ & = \sqrt{\frac{1 – \cos thirty^\circ}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{1 – \frac{1}{2} \sqrt{3} }{2} } \\ & = \sqrt{\frac{ii – \sqrt{3} }{4} } \\ & = \frac{1}{two} \sqrt{2 – \sqrt{three} } \cease{marshal} $

Jadi, nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{two – \sqrt{three} } $

b). $ \frac{ane}{2}A = 67,five^\circ \rightarrow A = 135^\circ $

nilai $ \cos 135^\circ = \cos ( 180^\circ – 45^\circ ) = -\cos 45^\circ = -\frac{ane}{2} \sqrt{two} $

Lihat materi ” Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi ”

$ \begin{align} \cos \frac{one}{two} A & = \sqrt{\frac{one + \cos A}{2} } \\ \cos 67,5^\circ & = \sqrt{\frac{1 + \cos 135^\circ}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{i + (-\frac{1}{2} \sqrt{two} )}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{ii – \sqrt{2} }{iv} } \\ & = \frac{1}{two} \sqrt{2 – \sqrt{2} } \end{align} $

Jadi, nilai $ \cos 67,5^\circ = \frac{one}{2} \sqrt{ii – \sqrt{2} } $

c). $ \frac{1}{ii}A = 22,5^\circ \rightarrow A = 45^\circ $

$ \begin{align} \tan \frac{1}{2} A & = \frac{\sin A}{one+ \cos A} \\ \tan 22,5^\circ & = \frac{\sin 45^\circ}{i+ \cos 45^\circ} \\ & = \frac{\frac{i}{2} \sqrt{2} }{1+ \frac{1}{2} \sqrt{2} } \\ & = \frac{ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{2} } \\ & = \frac{ \sqrt{ii} }{2+ \sqrt{two} } \times \frac{2 – \sqrt{2} }{two – \sqrt{2} } \\ & = \frac{ 2\sqrt{ii} – ii }{4 – 2} \\ & = \frac{ 2\sqrt{two} – ii }{2} \\ & = \sqrt{2} – 1 \finish{align} $

Jadi, nilai $ \tan 22,5^\circ = \sqrt{two} – 1 $