Rumus Selisih Akar Persamaan Kuadrat

(i). $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

(ii). $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $

(three). $ x_1 – x_2 = \pm \frac{\sqrt{D}}{a} $

dengan $ D = b^two – 4ac $

1. Jumlah kuadrat : $ x_1^2+x_2^ii = (x_1 + x_2)^ii – 2x_1.x_2 $

ii. Kuadrat jumlah : $ (x_1+x_2)^2 $

three. Selisih kuadrat : $ x_1^2 – x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 – x_2) $

four. Kuadrat selisih : $ (x_1 – x_2 )^two $

v. Jumlah pangkat tiga :

$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_3)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) $

six. Selisih pangkat tiga :

$ x_1^iii – x_2^three = (x_1-x_3)^3+3x_1x_2(x_1-x_2) $

vii. Jumlah pangkat empat : $ x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^two)^ii – 2(x_1x_2)^2 $

8. Selisih pangkat empat : $ x_1^4 – x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)(x_1^ii-x_2^2) $

Contoh i.

Persamaan kuadrat $ x^2 – 3x -7 = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Tentukan nilai dari :

a. $ x_1 + x_2 \, \, \, $ b. $ x_1^3 + x_2^3 $

Penyelesaian :

Jika kita menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, maka akan sulit. Hal ini karena PK $ ten^two – 3x -7 = 0 \, $ sulit untuk difaktorkan. Sehingga kita langsung menggunakan operasi akar-akarnya.

$\spadesuit \, $ PK $ x^2 – 3x -seven = 0 \rightarrow a = ane, \, b = -iii, \, c = -seven $

a. $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{one} = 3 \, $

sehingga nilai $ x_1 + x_2 = 3 $

b. $ x_1^3 + x_2^3 $

$\brainstorm{align} x_1^three + x_2^3 & = (x_1+x_3)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) \\ & = (\frac{-b}{a})^3-3.\frac{c}{a}.(\frac{-b}{a}) \\ & = (\frac{-(-3)}{1})^3-3.\frac{-7}{1}.(\frac{-(-3)}{1}) \\ & = (3)^iii-iii.(-7).(3) \\ & = 27 + 63 = 90 \end{align}$

sehingga nilai $ x_1^3 + x_2^3 = xc $

Contoh 2.

Persamaan kuadrat $ x^2 +px +q = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Tentukan nilai dari jumlah kuadrat akar-akar dikalikan dengan selisih kuadrat akar-akarnya?

Penyelesaian :

$\spadesuit \, $ PK $ 10^2 +px +q = 0 \rightarrow a = 1, \, b = p, \, c = q $

yang ditanyakan adalah $ (x_1^two+x_2^ii)(x_1^2-x_2^2) $

$\spadesuit \, $ Menyelesaiakan soalnya

$\begin{align} & (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^ii) \\ & = [(x_1 + x_2)^2 – 2x_1.x_2].[(x_1 + x_2)(x_1 – x_2)] \\ & = [(\frac{-b}{a})^2 – 2.\frac{c}{a}].[(\frac{-b}{a})(\pm \frac{\sqrt{D}}{a})] \\ & = [(\frac{-b}{a})^ii – 2.\frac{c}{a}].[(\frac{-b}{a})(\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a})] \\ & = [(\frac{-p}{i})^two – 2.\frac{q}{1}].[(\frac{-p}{1})(\pm \frac{\sqrt{p^2-4.one.q}}{1})] \\ & = [p^2 – 2q].[(-p)(\pm \sqrt{p^ii-4q})] \\ & = (2pq-p^three).(\pm \sqrt{p^ii-4q}) \\ & = (\pm \sqrt{p^2-4q}) (2pq-p^3) \stop{align}$

Jadi, nilai $ (x_1^ii+x_2^ii)(x_1^2-x_2^two) = (\pm \sqrt{p^2-4q}) (2pq-p^3) $

Contoh 3.

Jika jumlah akar-akar PK $ 10^two – px +5 =0 \, $ sama dengan jumlah kebalikan akar-akar PK $ x^2 – 3x + (p+ii) = 0 \, $ . Tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi kasus ini?

Penyelesaian :

$\spadesuit \, $ PK1 $ 10^2 – px +five =0 \, $ misalkan akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $

$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{i} = p $

$\spadesuit \, $ PK2 $ x^two – 3x + (p+two) = 0 \, $ misalkan akar-akarnya $ y_1 \, $ dan $ y_2 $

$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{ane} = 3 $

$ y_1 . y_2 = \frac{c}{a} = \frac{p+ii}{1} = p+2 $

$\spadesuit \, $ Jumlah akar-akar PK1 sama dengan jumlah kebalikan akar-akar PK2, dapat ditulis : $ x_1 + x_2 = \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} $

$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p $

$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{one}{y_1} + \frac{1}{y_2} \\ x_1 + x_2 & = \frac{y_1 + y_2}{y_1.y_2} \\ p & = \frac{3}{p+2} \\ p (p+2) & = 3 \\ p^two + 2p – 3& = 0 \\ (p+3)(p-one) & = 0 \\ p = -3 \vee p & = 1 \terminate{align}$

Jadi, nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah $ p = -three \vee p = 1 $ .