Rumus Pusat Massa

Semua benda yang ada di permukaan bumi dipengaruhi oleh percepatan yang mengarah ke pusat bumi yang disebut gravitasi (disimbolkan g). Percepatan inilah yang menyebabkan benda bermassa mengalami gaya berat yang arahnya ke pusat bumi.

Gaya Berat (Due west) = grand ten g

Sebuah benda dapat sobat anggap tersusun atas partikel-partikel berukuran kecil yang mempunyai berat. Resultan dari berat partikel-partikel kecil itu membentuk resultan gaya berat yang mempunyai titik tangkap. Titik tangkap dari resultan gaya tersebut disebut titik berat benda. Dengan demikian dapat didefinisikan bahwa titik berat suatu benda merupakan titik tangkap resultan semua gaya berat yang bekerja pada setiap partikel penyusun benda tersebut.

Bagaimana Menetukan Titik Berat Suatu Benda?

Coba sobat perhatikakan gambar di bawah di atas. Misalkan ada sebuah benda tegar yang sobat bagi-bagi menjadi beberapa bagian-bagian yang lebih kecil. Bagian-bagian tersebut kemudian kita sebut dengan partikel. Jika kita namakan partikel tersebut partikel one,2,iii,…, northward dan masing-masing memiliki berat Due west_one, W₂, Due west₃, …, Wn dan masing-masing memiliki titik tangkap gaya berat di (x_i,y₁),(x₂,y₂),(x_three,y_three),….,(x_north,y_n). Setiap partikel akan menghasilkan suatu momen gaya terhadap titik asal koordinat yang besarnya sama dengan perkalian gaya berat (massa x chiliad) dikali dengan lengan momennya (10).

τ1 = Due west₁
. 10_one

τ2 = Westward₂
. x_ii

τ3 = W_three
. x₃

τn = W_{due north}
. 10_{due north}

Sekarang kita akan coba menentukan koordinat gaya berat (W) yang akan menghasilkan efek yang sama dengan semua pada semua partikel-partikel yang menyusunnya. Dari momen gaya total yang dihasilkan oleh Due west yang bekerja pada titik berat (misal 10_o) dirumuskan

τo = W. xo = W_i
. x₁
+  W₂
. ten₂
+ W_iii
. 10_iii
+ … + W_n
. ten_n

karena Due west =  Due west₁+ Westward₂+ W₃+ … + Wn maka didapat rumus titik berat benda

seandainya benda dan sumbu-sumbu pembandinganya (sumbu ten dan sumbu y) diputar xc derajat maka gaya gravitasi akan berputar 90 derajat pula. Tidak ada perubahan sedikitpun pada berat total benda. Tetapi besarnya momen gaya dari tiap partikel akan berubah karena lengan momennya bukan lagi jark x dari titik pusat melainkn jarak y dari titik pusat. Jika titik berat benda pada sumbu y adalah y_o
maka cara menentukan posisi y_o
bisa menggunakan rumus

Dari kedua rumus di atas, sobat bisa perhatikan kalau dari rumus
W = one thousand.m sehingga
W₁
= m₁.g₁, W₂
= m₂.g₂, dan seterusnya dengan demikian variable 1000 dapat kita coret sehingga kita bisa mencari titik berat benda dari massa partikel dengan menggunakan rumus

Keterangan Rumus
x_o
= absis (x) dari titik berat benda
y_o
= ordinat (y) dari titik berat benda
k_i
= massa partikel ke-i
x_i
= absis titik tangkap dari partikel ke-i
y_i
= ordinat titik tangkap dari partikel ke-i

Titik Berat Benda Homogen Berdimensi Tiga

Ada hubungan antar massa dan volume m = ρV dengan ρ adalah massa jenis benda. Dengan demikian untuk setiap partikel m1 = ρ1 . v1, m2 = ρ2 . v2, dan seterusnya, sehingga absis dari titik berat benda dapat dihitung dengan rumus

karena ρ (rho) benda sama, maka bisa dicoret, menghasilkan persamaan:

Untuk memudahkan sobat mencari titik berat dari benda ruang (dimensi tiga) berikut tabel rumus

Titik berat benda pejal homogen berdimensi tiga

Silinder Pejal	yo = i/2 t five = i/2 πR2 t	t = tinggi silinder R = jari-jari lingkaran (alas)
Prisma Pejal Beraturan	Letak titik berat z pada titik tengah garis zane dan z3 yo = ane/2 l V = luas alas ten tinggi	z1 = titik berat bidang alas z2 = titip berat bidang atas l = panjang sisi tegak v = volume prisma
Limas Pejal Beraturan	yo = 1/4 TT’ = i/4 t Five = ane/3 x luas alas x tinggi	TT’ = t = tinggi limas beraturan
Kerucut Pejal	yo = 1/four t V = 1/three πR2 t	t = tinggi kerucut R = jari-jari alas
Setengah Bola	yo = 3/8 R V = 4/six πR3	R = jari-jari bola

Contoh Soal

Misal sobat punya sebuah benda pejal yang tersusun dari 2 buah bangun yaitu sebuah balok dan sebuah limas segi empat dengan bentuk seperti gambar di bawah ini

Bangun I = kubus homogen dengan rusuk ten thou
Bandun II = limas pejal homogen dengan tinggi 8 m dana alas sesuai gambar

Pertanyaannya, dimana letak titik berat dari benda pejal tersebut?

 Jawab
Kita uraikan masing-masing bangun
Bangun I : Kubus

y1 = 1/2 10 panjang rusuk
y1 = 1/2 10 10 = 5 thousand

Volume = ten 10 10 x 10 = 1000m3

Bangun II : Limas

Karena titik berat kita hitung berdasarkan suatu acuan tetap (titik 0,0) dan ditanyakan titik berat dari bawah alas kubus maka,
y2 = ten + one/4 tinggi limas (lihat gambar)
y2 = ten + i.4 . 12
y2 = 12 m
Book = 1/three x ten x x x 8 = 800/3 = 266,67 m3
Titik berat dari alas bawah kubus
yo = (5₁.y_i
+ V_ii.y₂)/(V_i+V_ii)
yo = (5000 + 3200)/(1000+266,67)
yo = 8200/1266,67 = half-dozen,47 m
Jadi letak titik berat benda adalah 6,47 meter dari alas bawah kubus.
Okey sobat, lain kesempatan kita akan bahas juga mengenai titik berat benda untuk benda homogen dua dimensi, benda beruang, dan juga kurva homogen.