Rumus Perkalian Akar

Kali ini yang akan dibahas adalah mengenai penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat yang bisa diperoleh langsung dari bentuk umum persamaan kuadrat tanpa mencari akarnya terlebih dahulu.

Hasil penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat sebenarnya bisa kita peroleh dengan cara mencari akarnya terlebih dahulu, kemudian jumlahkan dan kalikan hasil yang diperoleh. Namun, hal tersebut akan sulit dilakukan apabila persamaan kuadratnya sulit untuk dicari akarnya. Berikut ini rumus dari penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat apabila diketahui bentuk umum persamaan kuadratnya.

Jika persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 memiliki akar-akar 10₁
dan x_two
maka berlaku:

x₁+ten₂=-b/a

ten_i.x₂=c/a

Rumus tersebut diperoleh dari rumus untuk menentukan akar persamaan kuadrat. Berikut ini penjelasan bagaimana mendapatkan rumus tersebut.

Akar persamaan kuadrat

ax²+bx+c=0 adalah



atau

Penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus di atas adalah sebagai berikut.

Sedangkan Perkalian akar-akarnya

Pada soal kadang-kadang tidak langsung ditanyakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tapi bentuk lainnya. Misalnya jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat atau penjumlahan dari kebalikan akar-akarnya. Cara untuk menyelesaikannya adalah dengan membuat bentuk yang ditanyakan ke dalam bentuk penjumlahan dan hasil kali akar-akarnya.

Misalnya jika ditanyakan jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut.

x₁
ⁱⁱ
+ x₂
²

Bentuk tersebut bisa diubah dengan cara sebagai berikut.

x_one
^two
+ ten₂
²
= (x_one
+ x_ii)ⁱⁱ
– 2x_anex_two

Bentuk tersebut diperoleh dengan cara menguraikan bentuk (10_ane
+ ten₂)ⁱⁱ.

(x₁
+ ten₂)²
= ten₁
²
+ 2x₁10_two
+ x₂
²

sehingga diperoleh 10_ane
²
+ x₂
²
= (x_i
+ x₂)²
– 2x_ix₂

Bentuk-bentuk lainnya adalah sebagai berikut.

Contoh soal dan pembahasannya

Diketahui persamaan kuadrat x²
– 2x + iii = 0 yang mempunyai akar-akar x₁
dan x₂, tentukan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita tidak perlu mencari akar-akar persamaan kuadratnya terlebih dahulu. Cukup kita ketahui dari persamaan kuadrat tersebut a = 1, b = -2, dan c = 3. Gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang dijelaskan di atas.

---

Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat xⁱⁱ
– 8x + k = 0. Jika p = 3q, tentukan nilai grand.

Untuk menyelesaikan soal ini, cukup menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Kita mulai dari yang diketahui.

p = 3q

tambahkan ruas kiri dan ruas kanan dengan q, sehingga diperoleh

p + q = 3q + q

Gunakan rumus penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat untuk mengubah p + q di ruas kiri.

8 = 4q

Diperoleh q = viii/4 = 2

Karena q adalah salah satu akar persamaan kuadrat, jika disubstitusi ke persamaan kuadrat yang diketahui di soal, akan menghasilkan nol.

2^two
– 8(2) + yard = 0

-12 + k = 0

one thousand = 12