Rumus Panjang Proyeksi

Diberikan dua buah vektor

OA

dan

OB
, dengan θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Misalkan

h

adalah sebuah garis lurus yang melalui
OB

dan
P
adalah sebuah titik pada

h

sedemikian sehingga

AP

tegak lurus

h
, seperti pada gambar (
i
) atau (
ii
).

Proyeksi ortogonal vektor
OA

pada

OB
 atau cukup kita sebut proyeksi vektor

OA

pada

OB

adalah proyeksi tegak lurus

OA

pada sebuah garis lurus yang melalui (sejajar)
OB
.

Jadi, proyeksi vektor

OA

pada

OB

adalah

OP
.

Apabila θ lancip maka

OP

akan searah dengan

OB

dan apabila θ tumpul maka

OP

akan berlawanan arah dengan

OB
, seperti pada gambar diatas.

Dengan demikian, vektor proyeksi

OA

pada

OB
, yaitu

OP
 akan selalu kolinear dengan

OB
.

Panjang Proyeksi Vektor

Misalkan

OA
=

a

,

OB
=

b

, dan

OP
=

p

, dengan |
a
| , |
b
| dan |
p
| berturut-turut adalah panjang dari vektor

a
,

b

dan

p
.

Dengan bantuan trigonometri, panjang proyeksi vektor

a

pada

b
, yaitu |
p
| dapat dinyatakan dalam bentuk :
|
p
| = |
a
| cos θ,     jika θ lancip
|
p
| = -|
a
| cos θ,    jika θ tumpul

Mengingat  \(\begin{marshal}
\mathrm{cos\,\theta} =\mathbf{\frac{a\cdot b}{|a|\,|b|}}
\end{align}\), maka

\(\begin{marshal}
|\mathbf{p}| &=|\mathbf{a}|\,\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}
=\mathbf{\frac{a\cdot b}{|b|}},\;\;\;\mathrm{\theta \;lancip}
\end{align}\)

\(\begin{align}
|\mathbf{p}| &=-|\mathbf{a}|\,\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}
=-\mathbf{\frac{a\cdot b}{|b|}},\;\;\;\mathrm{\theta \;tumpul}
\cease{marshal}\)

Walaupun persamaan terakhir bertanda negatif, namun nilainya tetap positif. Hal ini disebabkan, ketika θ tumpul, maka
a
‧
b
 < 0.

Secara umum, panjang proyeksi vektor
a

pada

b
, yaitu |
p
| kita rumuskan

dengan
|p| = panjang proyeksi vektora padab

|b| = panjangb

|
a
‧
b
| = nilai mutlak dari
a
‧
b

Contoh 1


Diketahui

a

= [viii, 4]  dan

b

= [iv, -three]. Tentukan panjang proyeksi vektor
a
 pada
b
 dan panjang proyeksi vektor
b
 pada
a

Jawab:
Panjang proyeksi vektor
a
 pada
b
 adalah

\(\begin{align}
\mathbf{|p|=\frac{|a\cdot b|}{|b|}}=\frac{|8(4)+4(-three)|}{\sqrt{four^{two}+(-3)^{2}}}=\frac{|xx|}{5}=4
\finish{marshal}\)

Panjang proyeksi vektor
b
 pada
a
 adalah

\(\begin{align}
\mathbf{|p|=\frac{|a\cdot b|}{|a|}}=\frac{|viii(4)+4(-3)|}{\sqrt{8^{2}+4^{2}}}=\frac{|20|}{\sqrt{80}}=\sqrt{5}
\stop{marshal}\)

Contoh 2


Panjang proyeksi vektor
a

= iiii
+ 4j
–
1000  pada vektor
b

=
i
– twoj
+
g  adalah …

Jawab:
a = [3, 4, -1]
b
 = [one, -2, 1]

Panjang proyeksi vektor
a
 pada
b
 adalah

\(\begin{align}
\mathbf{|p|}=\frac{|3(1)+4(-two)+(-1)one|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{two}+1^{2}}}=\frac{|-six|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}
\end{align}\)

Proyeksi Skalar

Proyeksi skalar

a

pada

b

adalah suatu skalar yang nilainya sama dengan panjang proyeksi vektor

a

pada

b
, namun bertanda negatif jika vektor proyeksinya berlawanan arah dengan

b
.

Apabila proyeksi skalar

a

pada

b
 kita notasikan dengan
s, maka

Contoh 3


Diketahui

a

= [3, 2, four]  dan

b

= [0, 3, -4]. Tentukan proyeksi skalara padab dan proyeksi skalar

b

pada

a
.

Jawab:
a = [three, 2, 4]
b
 = [0, 3, -4]

Proyeksi skalara padab adalah

\(\begin{align}
\mathrm{due south}=\mathbf{\frac{a\cdot b}{|b|}}=\frac{three(0)+2(3)+4(-4)}{\sqrt{0^{two}+3^{2}+(-4)^{ii}}}=-2
\end{align}\)

Proyeksi skalarb padaa adalah

\(\brainstorm{align}
\mathrm{s}=\mathbf{\frac{a\cdot b}{|a|}}=\frac{3(0)+2(iii)+4(-four)}{\sqrt{3^{2}+2^{two}+4^{2}}}=\frac{-x}{\sqrt{29}}
\stop{align}\)

Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor
a

padab, yaitup merupakan perkalian antara proyeksi skalar
a
 pada
b
 dengan vektor satuan dari
b
. Kita tulis,

\(\begin{align}
\mathbf{p}= \mathrm{s}\;\mathbf{\hat{b}}
= \mathbf{\frac{a\cdot b}{\left | b \correct |}\;\frac{b}{\left | b \right |}}
=\mathbf{\left ( \frac{a\cdot b}{\left | b \right |^{2}} \correct )b}
\end{align}\)

Dengan demikian, proyeksi vektor
a

pada

b
 dapat kita rumuskan menjadi

Contoh 4


Diketahui
a
 = [half-dozen, -4, 2]  dan
b
 = [4, two, -two]. Tentukan proyeksi vektora padab dan proyeksi vektor

b

pada

a
.

Jawab:

a
 = [6, -4, ii] b = [4, 2, -2]

Proyeksi vektora padab adalah

\(\begin{align}
\mathbf{p}&=\mathbf{\left (\frac{a\cdot b}{|b|^{2}}  \right )b}\\
&=\left ( \frac{6(four)+(-iv)two+2(-two)}{4^{2}+two^{two}+(-2)^{2}} \right )\left [ 4,2,-2 \right ]\\
&=\left ( \frac{1}{2} \correct )\left [ iv,2,-two \correct ]\\
&=[2,one,-1] \terminate{align}\)

Proyeksi vektorb padaa adalah

\(\begin{align}
\mathbf{p}&=\mathbf{\left (\frac{a\cdot b}{|a|^{2}}  \right )a}\\
&=\left ( \frac{half-dozen(four)+(-4)2+2(-2)}{vi^{2}+(-4)^{2}+2^{two}} \right )\left [ vi,-4,2 \right ]\\
&=\left ( \frac{3}{fourteen} \correct )\left [ 6,-4,2 \right ]\\
&=\left [ \frac{9}{7},-\frac{6}{7},\frac{3}{7} \right ] \end{align}\)

Berdasarkan uraian-uraian diatas, kita dapat menyimpulkan 2 hal berikut :

1. Proyeksi skalar akan menghasilkan skalar (bisa bernilai positif atau negatif), sedangkan proyeksi vektor akan menghasilkan vektor.
2. Panjang proyeksi vektor merupakan nilai mutlak dari proyeksi skalar.

Soal Latihan Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor

Latihan i


Diketahui iii titik A(4, -i, 2), B(4, 3, -2) dan C(1, iii, two). Tentukan panjang proyeksi vektor

AB

pada

BC

Jawab:

AB

= [4, 3, -two] – [4, -1, two] = [0, iv, -4]
BC

= [1, three, 2] – [4, 3, -ii] = [-3, 0, 4]

Panjang proyeksi vektor

AB

pada

BC

adalah

\(\begin{align}
\mathbf{|p|}&=\mathbf{\frac{\left |AB\cdot BC  \right |}{|BC|}}\\
&=\frac{\left |0(-3)+iv(0)+(-4)4  \right |}{\sqrt{(-iii)^{2}+0^{ii}+4^{2}}}\\
&=\frac{|-16|}{5}=\frac{16}{five}
\end{align}\)

Latihan ii


Dua vektor

u

= 2
i

+ 3
j

+ yard
1000
  dan

v

= 4
i

– 4
j
 + 2
g

membentuk sudut tumpul. Jika panjang proyeksi vektor

u

pada

v

adalah 2, maka nilai m adalah …

Jawab:

u

= [2, 3, thousand]
five

= [4, -4, two]

Misalkan vektor proyeksi

u

pada

v

adalah

p
, dengan panjangnya adalah |
p
| = 2

\(\brainstorm{align}
|\mathbf{p}|&=\mathbf{\frac{|u\cdot v|}{|v|}}\\
two&=\frac{|2(4)+3(-4)+\mathrm{grand}(2)|}{\sqrt{4^{2}+(-4)^{ii}+two^{2}}}\\
2&=\frac{|two\mathrm{m}-4|}{vi}\\
12&=|2\mathrm{1000}-4|
\terminate{align}\)

Dari persamaan nilai mutlak diatas, diperoleh
2m – iv = 12  atau  2m – 4 = -12
2m = 16  atau  2m = -eight
m = eight  atau  1000 = -4

Karena

u

dan

v

membentuk sudut tumpul, maka

u
‧
five
 < 0   ⇔   2m – 4 < 0   ⇔   m < ii

Jadi, nilai thousand yang memenuhi adalah yard = -4

Latihan 3


Diketahui

p

= [2, -1, seven] dan

q

= [3, 0, -4]. Tentukan proyeksi skalar (
p
+
q
) pada 2
q

Jawab:

p + q
 =  [2, -1, 7] + [iii, 0, -4] = [5, -1, 3] ii
q
 = 2[three, 0, -4] = [6, 0 -8]

Proyeksi skalar (
p

+

q
) pada two
q

adalah

\(\begin{align}
\mathrm{southward}&=\mathbf{\frac{(p+q)\cdot 2q}{|2q|}}\\
&=\frac{5(6)+(-1)0+three(-8)}{\sqrt{half-dozen^{2}+0^{2}+(-eight)^{2}}}\\
&=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}
\finish{align}\)

Latihan four


Diketahui
a
 = p
i
 – 2
j
 + 2
grand
 dan
b
 = 2
i
 + q
j
 + iv
thou
. Jika
c
 =

i
 – 3
j
 + r
thou
 adalah proyeksi vektor
a

pada

b
,  maka nilai p + q + r adalah …

Jawab:

a

= [p, -2, 2]
b

= [2, q, 4]
c

= [i, -three, r]

Proyeksi vektor

a

pada

b

adalah

c
. Dengan demikian,
b
 kolinear dengan
c
. Akibatnya, terdapat skalar

k

sehingga

b

=

k
c

\(\brainstorm{align}
\brainstorm{bmatrix}
2\\ \mathrm{q}
\\ 4
\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}
1\\ -3
\\ \mathrm{r}
\cease{bmatrix}
\end{align}\)

Dari persamaan diatas, diperoleh
2 = k(1)   ⇔   one thousand  = 2
q = k(-3)   ⇔   q = -6
iv = grand(r)   ⇔   r = 2

Proyeksi vektor

a

pada

b

kita tulis :

\(\begin{align}
\mathbf{c}&=\left (\frac{\mathbf{a\cdot b}}{|\mathbf{b}|^{2}}  \correct )\mathbf{b}\\
\brainstorm{bmatrix}
1\\ -3
\\ two
\end{bmatrix}&=\left ( \frac{\mathrm{p}(ii)+(-2)(-6)+two(4)}{2^{2}+(-six)^{2}+4^{2}} \right )\begin{bmatrix}
ii\\ -6
\\ 4
\cease{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
1\\ -3
\\ 2
\end{bmatrix}&=\left ( \frac{2\mathrm{p}+twenty}{56} \right )\begin{bmatrix}
two\\ -half-dozen
\\ 4
\cease{bmatrix}\\
\cease{align}\)

Diperoleh persamaan

\(\brainstorm{align}
1&=\left ( \frac{2\mathrm{p}+20}{56} \right )2\\
28&=2\mathrm{p}+twenty\\
8&=ii\mathrm{p}\\
\mathrm{p}&=four
\end{align}\)

Jadi, p + q + r = iv + (-6) + two = 0