Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Pengertian Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD) Dua Lingkaran

Rumus dan Cara Menghitung Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD) dua lingkaran serta Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap. Perhatikan gambar di bawah!

Lingkaran besar A panjang jari-jari R dan lingkaran kecil B panjang jari-jari r. Garis AP dan garis BQ tegak lurus terhadap garis PQ, sehingga garis PQ menyinggung kedua lingkaran (jari-jari selalu tegak lurus garis singgung di titik singgung). Dengan demikian garis PQ merupakan Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD) lingkaran A dan lingkaran B. Jarak antara pusat lingkaran besar A dengan pusat lingkaran kecil B adalah AB = d. Panjang garis PT sama dengan panjang garis BQ dan garis PT sejajar garis BQ, sehingga PT = BQ = r. Garis PQ sejajar dan sama panjang dengan garis BT, sehingga PQ = BT = m.

Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD) Dua Lingkaran

Segitiga ABT merupakan segitiga siku-siku dan siku-siku di T, sehingga berlaku rumus Pythagoras:

$AB^2 = AT^2 + BT^2$
$BT^2 = AB^2 – AT^2$
Karena panjang garis BT sama dengan panjang garis PQ, mka:
$PQ^2 = AB^2 – AT^2$

Perhatikan gambar!
$\begin{align}
AT &= AP + PT\\
&= R + r\\
AB &= d\\
PQ &= m
\end{align}$
Sehingga:
$m^2 = d^2 – (R + r)^2$
$m = \sqrt{d^2 – (R + r)^2}$

m = PQ adalah panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran.
d = AB adalah jarak pusat lingkaran besar dengan pusat lingkaran kecil.
R adalah jari-jari lingkaran besar.
r adalah jari jari lingkaran kecil.
R > r.

Pelajari contoh soal dan pembahasan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berikut!

Contoh Soal dan Pembahasan Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD) Dua Lingkaran

Contoh Soal nomor 1:

Dua buah lingkaran berjari-jari masing-masing 2 cm dan 7 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran 15 cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah . . . . cm.
A. 12
B. 10
C. 9
D. 8
[Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD)]

Pembahasan:

$d = AB = 15$ → Jarak pusat kedua lingkaran.
$R = 7$ → Jari-jari lingkaran besar.
$r = 2$ → Jari-jari lingkaran kecil.

$\begin{align}
m &= \sqrt{d^2 – (R + r)^2}\\
&= \sqrt{15^2 – (7 + 2)^2}\\
&= \sqrt{15^2 – 9^2}\\
&= \sqrt{225 – 81}\\
&= \sqrt{144}\\
&= 12\\
\end{align}$
jawab: A.

Cara cepat:

Karena d, m, dan (R + r) membentuk segitiga siku-siku, kita bisa memperhatikan sisi-sisi segitiga apakah merupakan tripel Pythagoras atau tidak. Dari soal diketahui d = AB = 15 cm (sisi miring atau sisi terpanjang), (R + r) = 2 + 7 = 9 cm (salah satu sisi siku-siku). Dengan begitu kita bisa tahu bahwa m = PQ (sisi siku-siku yang lain) adalah 12 cm, karena angka 9, 12, dan 15 merupakan tripel Phytagoras.

Contoh Soal nomor 2:

Perhatikan gambar berikut! Jika panjang PQ = 20 cm, maka jarak antara pusat lingkaran A dengan pusat lingkaran B adalah . . . . cm.

A. 20
B. 25
C. 27
D. 30
[Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD)]

Pembahasan:

$R = 9\ cm$ → Jari-jari lingkaran besar.
$r = 6\ cm$ → Jari-jari lingkaran kecil.
$m = PQ = 20\ cm$ → Panjang garis persekutuan dalam.

$m^2 = d^2 – (R + r)^2$
$\begin{align}
d^2 &= m^2 + (R + r)^2\\
&= 20^2 + (9 + 6)^2\\
&= 20^2 + 15^2\\
&= 400 + 225\\
&= 625\\
d &= \sqrt{625}\\
&= 25\ cm\\
\end{align}$
jawab: B.

Cara cepat:

(R + r), m, dan d merupakan sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku. (R + r) = 9 + 6 = 15 cm (salah satu sisi siku-siku), m = PQ = 20 cm (salah satu sisi siku-siku), dengan mudah kita bisa tahu bahwa panjang d = AB (sisi miring atau sisi terpanjang) adalah 25 cm, karena angka 15, 20, dan 25 merupakan tripel Pythagoras.

Contoh Soal nomor 3:

Diketahui jarak dua pusat lingkaran adalah 34 cm, dan panjang jari-jari lingkaran A sama dengan dua kali panjang jari-jari lingkaran B. Jika panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 16 cm, maka selisih panjang jari-jari kedua lingkaran tersebut adalah . . . . cm.
A. 10
B. 12
C. 13
D. 15
[Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD)]

Pembahasan:

$d = AB = 34\ cm$ → Jarak pusat kedua lingkaran.
$R = 2r$
$m = 16\ cm$ → Panjang garis singgung persekutuan dalam.

$m^2 = d^2 – (R + r)^2$
$16^2 = 34^2 – (2r + r)^2$
$256 = 1156 – (3r)^2$
$(3r)^2 = 1156 – 256$
$9r^2 = 900$
$r^2 = 100$
$r = \sqrt{100}$
$r = 10$

$R = 2r = 2.10 = 20$
$\begin{align}
Selisih &= R – r\\
&= 20 – 10\\
&= 10\ cm\\
\end{align}$
jawab: A.

Cara cepat:

d = AB = 34 cm (sisi miring atau sisi terpanjang), m = PQ = 16 cm (salah satu sisi siku-siku), dengan demikian panjang (R + r) adalah 30 cm, karena angka 16, 30, dan 34 merupakan tripel Phytagoras.
R + r = 30
2r + r = 30
3r = 30
r = 10 cm
R = 2r = 2.10 = 20 cm.
Selisih = R – r = 20 -10 = 10 cm.

Contoh Soal nomor 4:

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua buah lingkaran 24 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran 6 cm, dan jarak titik pusat kedua lingkaran 26 cm, maka panjang jari-jari lingkaran lainnya adalah . . . .
A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm

D. 8 cm
[Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD)]

Pembahasan:

$m = PQ = 24\ cm$ → Panjang garis singgung persekutuan dalam.
$d = AB = 26\ cm$ → Jarak titik pusat kedua lingkaran.

$m^2 = d^2 – (R + r)^2$
$24^2 = 26^2 – (R + r)^2$
$(R + r)^2 = 26^2 – 24^2$
$(R + r)^2 = 676 – 576$
$(R + r)^2 = 100$
$R + r = \sqrt{100}$
$R + r = 10$
$6 + r = 10$
$r = 10 – 6$
$r = 4\ cm$
jawab: B.

Cara cepat:

d = AB = 26 cm (sisi miring atau sisi terpanjang), m = PQ = 24 cm (salah satu sisi siku-siku), maka (R + r) = 10. Perlu diketahui bahwa angka 10, 24, dan 26 merupakan tripel Pythagoras.
R + r = 10
6 + r = 10
r = 10 – 6
r = 4 cm.

Contoh Soal nomor 5:

Pada gambar di bawah, panjang AB = 52 cm, PQ = 48 cm, dan AP lebih panjang 8 cm dari BQ. Panjang jari-jari lingkaran B adalah . . . .

A. 4 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. 10 cm
[Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD)]

Pembahasan:

d = AB = 52 cm → Jarak titik pusat kedua lingkaran.
m = PQ = 48 cm → Panjang garis singgung persekutuan dalam.
R lebih panjang 8 cm dari r, berarti r harus ditambah 8 cm biar sama panjang dengan R. Dengan demikian:
R = r + 8 . . . . (*)

$m^2 = d^2 – (R + r)^2$
$48^2 = 52^2 – (R + r)^2$
$(R + r)^2 = 52^2 – 48^2$
$(R + r)^2 = 2704 – 2304$
$(R + r)^2 = 400$
$(R + r) = \sqrt{400}$
$R + r = 20$ . . . . (**)
Dari persamaan (*) dan (**):
$r + 8 + r = 20$
$2r + 8 = 20$
$2r = 20 – 8$
$2r = 12$
$r = 6\ cm$
jawab: B.

Cara cepat:

Perhatikan bahwa (R + r), m, dan d merupakan segitiga siku-siku dimana (R + r) dan m merupakan sisi siku-siku dan d merupakan sisi miring, maka dengan pemahaman tripel Pythagoras kita tahu bahwa panjang dari (R + r) adalah 20 cm. Hal ini dikarenakan angka 20, 48, dan 52 adalah tripel Pythagoras.
R + r = 20
r + 8 + r = 20
2r + 8 = 20
2r = 20 – 8
2r = 12
r = 6 cm.

Demikianlah ulasan tentang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, semoga bermanfaat.

BACA JUGA:

Teorema dan Tripel Pythagoras

SHARE THIS POST

www.maretong.com