Rumus Kontraksi Panjang

Sekarang kita kaji sejumlah implikasi dari persamaan transformasi Lorentz. Pertama akan kita bahas fenomena yang dinekak dengan kontraksi Lorentz.

Kontraksi Lorentz adalah penyusutan panjang benda akibat gerak relatif benda itu terhadap pengamat. Misalnya, panjang keerata api menurut orang di tanah (yang bergerak relatif terhadap kereta) lebih pendek daripada menurut penumpang kereta (diam terhadap kereta). Hubungan panjang menurut dua pengamatan tersebut dapat diturunkan sebagai berikut.

Misalkan panjang kereta menurut pengamat di kereta (diam terhadap kereta) adalah \( L_0 \) maka

\( x’ = L_0 \)

Barapa panjang yang diukur oleh pengamat di tanah (bergerak terhadap kereta)?

Pengamat di tanah harus mencatat secara serentak posisi dua ujung kereta
. Jika tidak dicatat serentak maka panjang kereta yang diukur salah. Misalnya sekarang mencatat posisi ekor kereta dan diperoleh nilai \( 10 = 100 \) m.

Beberapa menit kemudian dicatat posisi hidung kereta dan diperoleh nilai 3100 m. Maka pengamat tersebut mengatakan panjang keketa adalah 3100-100 = 3000 thousand. Jelas ini hasil yang salah karena setelah menunggu beberapa menit, kereta sudah bergerak maju dan pada saat hidung kereta pada posisi 3100 m mungkin ekornya sudah berada pada posisi yang lain (bukan 100 g lagi). Hasil yang tepat akan diperoleh jika dua posisi diukur dalam waktu yang sama sehingga selisih kedua posisi tersebut benar-benar merupakan panjang kereta. Dengan kata lain, pengamat di tanah harus mengukur panjang kereta dengan menerapkan \( t = 0 \). Misalkan panjang yang tercatat adalah \( 50 \) maka

\( 10 = L \)

Dengan memasukkan \( t = 0 \) pada persamaan transfromasi Lorentz untuk waktu

\( t = \gamma \left ( {t’ + {{u ten’} \over c^two}} \right ) \)

maka kita peroleh

\( 0 = \gamma \left ( {t’ + {{u x’} \over c^2}} \right ) \)

yang menghasilkan

\( t’ =- {{u ten’} \over c^2} \)

Substitusi persamaan ini ke persamaan transformali Lorenzt untuk posisi

\( ten = \gamma (x’ + u (-u x’/c^2)) \)

\( = {x’ \over \gamma} \)

Karena \( x’ = L_0 \) dan \( x = L \) maka

\( L = {L_0 \over \gamma} =L_0 \sqrt{ one- {v^2 \over c^ii}} \quad \quad \quad \quad \quad \quad (260.1)\)

Panjang menurut pengamatan yang bergerak = panjang menurut pengamat yang diam/gamma

Yang dimaksud pengamat bergerak adalah pengamat yang bergerak terhadap benda yang sedang diamati. Dan yang dimaksud pengamat diam adalah pengamat yang diam terhadap benda yang diamati.

1. Jika yang diamati adalah panjang gedung maka yang menjadi pengamat diam adalah pengamat yang ada di tanah dan pengamat bergerak adalah pengamat yang sedang naik kereta api, mobil, atau pesawat.
2. Jika yang diamati adalah panjang pesawat jet yang sedang terbang maka yang dimaksud pengamat diam adalah pilot, pramugari, atau penumpang pesawat. Dan pengamat bergerak misalnya adalah orang di tanah.

Untuk lebih memahami kontraksi Lorentz, mari kita bahas kasus berikut ini. Misalkan ada terowongan dan kereta api. Misalkan dalam keadaan diam kereta lebih panjang daripada terowongan. Ini berarti, jika kereta ditempatkan di dalam teowongan maka ujung depan dan ujung belakan kereta berada di luar terowongan. Sekarang kita misalkan ada pengamat yang berada di dalam kereta dan pengamat lain berdiri di sisi terowongan. Misalkan kereta bergerak dari jauh menuju terowongan dengan kecepatan mendekati laju cahaya.

Karena terjadi kontraksi Lorentz maka pengamat di terowongan melihat panjang kereta mengkerut dan bisa lebih pendek daripada panjang terowongan. Ketika memasuki terowongan maka kereta tersembunyi di dalam terowongan seperti diilustrasikan pada Gambar 260.1

Kasus yang berbeda diamati oleh pengamat di dalam kereta. Seperti diilustrasikan pada Gambar 260.2, pengamat di dalam kereta melihat bahwa yang bergerak adalah terowongan sehingga panjang terowongan mengkerut. Dalam keadaan diam pun terowongan sudah lebih pendek daripada kereta, maka saat bergerak terowongan menjadi lebih pendek lagi. Menurut pengamat di dalam kereta, ujung depan dan ujung belakang kereta berada jauh di luar terowongan. Artinya kereta tidak pernah tersembunyi di dalam terowongan. Kesimpulan ini jelas bertentangan dengan kesimpulan pengamat di tanah. Dan tidak mengapa. Kedua pengamat sama-sama benar.

————————–

Contoh 260.one

Menurut airplane pilot, panjang pesawat adalah xx m. Berapa panjang pesawat tersebut menurut orang di bumi jika pesawat bergerak dengan laju 0,6c?

Jawab

Di sini airplane pilot berfungsi sebagai pengamat diam dan orang di bumi sebagai pengamat bergerak. Jadi \( L_0 = 20 \) m dan \( u = 0,vi c \). Dengan menggunakan persamaan (260.1) maka

\( L = {L_0 \over \gamma} \)

\( = L_0 \sqrt{ ane- {v^ii \over c^ii}} \)

\( = 20 \times \sqrt{ 1- {(0,six c)^2 \over c^ii}} = xvi \) thousand

——

Contoh 260.two

Sebuah kereta api supercepat memiliki panjang 150 m. Kereta tersebut bergerak dengan kecepatan 360 km/jam melintasi sebuah stasiun. Berapa panjang kereta menurut pengamat yang duduk di stasiun?

Jawab

Pengamat di stasiun adalah pengamat yang bergerak terhadap kereta. Jadi yang dia ukur adalah \( Fifty \). Panjang kereta dalam soal adalah panjang menurut pengamat diam, yaitu \( L_0 = 150 \) g. Kecepatan kereta \( five = 360 \) km/jam = \( 100 [/la m/s. Dengan demikian

[latex] 50 = L_0 \sqrt{ 1- {v^ii \over c^ii}} \)

\( = 150 \sqrt{ ane- {100^2 \over (3 \times ten^8)^2}} \)

\( = 150 \) meter

Pengamat di stasiun juga mengamati panjang kereta yang hampir sama dengan menurut pengamat di kereta. Selisihnya hanya sekitar \( 8,3 times 10^{12} \) grand. Nilai yang sama ini terjadi karena kacepatan kereta jauh lebih kecil daripada kecepatan cahaya. Perubahan panjang baru teramati jika kecepatan benda mendekati kecepatan cahaya.

Sumber gambar fitur: Universe Today