Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut


Contoh 1


Tentukan nilai eksak dari sin 75°
Jawab :
sin 75° = sin (30° + 45°)
sin 75° = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°
sin 75° = ½ . ½√2 + ½√3 . ½√2
sin 75° = ¼√2 + ¼√6
sin 75° = ¼(√2 + √6)

cos (α + β) dan cos (α – β)

Rumus cos (α + β) dan cos (α – β) dapat kita tentukan dengan cara yang hampir sama seperti rumus sinus diatas. Namun, karena rumus sinus sudah kita peroleh, akan lebih mudah jika kita gunakan konsep sudut relasi kuadran I.

cos (α + β) = sin (90° – (α + β))
cos (α + β)
= sin ((90° – α) – β)
cos (α + β)
= sin (90° – α) cos β – cos (90° – α) sin β
cos (α + β)
= cos α cos β – sin α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka
cos (α + (-β)) = cos α cos (-β) – sin α sin (-β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β – sin α (-sin β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β + sin α sin β

Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi cosinus sebagai berikut

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β


Contoh 2


Tentukan nilai eksak dari cos 105°
Jawab :
cos 105° = cos (60° + 45°)
cos 105° = cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45°
cos 105° = ½ . ½√2 – ½√3 . ½√2
cos 105° = ¼√2 – ¼√6
cos 105° = ¼(√2 – √6)

Baca :   Warna Warna Planet Dalam Tata Surya

tan (α + β) dan tan (α – β)

Berdasarkan identitas rasio, tan θ = \(\mathrm{\frac{sin\,\theta }{cos\,\theta }}\), akibatnya

tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{sin\,(\alpha +\beta )}{cos\,(\alpha +\beta )}}\)
tan (α + β)
= \(\mathrm{\frac{sin\,\alpha \,cos\,\beta \,+\,cos\,\alpha \,sin\,\beta }{cos\,\alpha \,cos\,\beta \,-\,sin\,\alpha \,sin\,\beta }\times { \frac{ \frac{1}{cos\,\alpha \,cos\,\beta} }{ \frac{1}{cos\,\alpha \,cos\,\beta }}}}\)
tan (α + β)
= \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)

Jika β diganti dengan -β, maka
tan (α + (-β)) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,(-\beta) }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,(-\beta) }}\)
tan (α + (-β)) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)

Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi tangen sebagai berikut

tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)

tan (α – β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)


Contoh 3


Tentukan nilai eksak dari tan 15°
Jawab :
tan 15° = tan (45° – 30°)
tan 15° = \(\mathrm{\frac{tan\,45^{\circ}\,-\,tan\,30^{\circ}}{1\,+\,tan\,45^{\circ}\,tan\,30^{\circ}}}\)
tan 15° = \(\mathrm{\frac{1\,-\,\frac{\sqrt{3}}{3}}{1\,+\,1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\color{Red} \;\;\times \frac{3}{3}}}\)
tan 15° = \(\frac{3\,-\,\sqrt{3}}{3\,+\,\sqrt{3}}\;\; {\color{Red}\times \frac{3\,-\,\sqrt{3}}{3\,-\,\sqrt{3}}}\)
tan 15° = \(\frac{12\,-\,6\sqrt{3}}{6}\)
tan 15° = 2 – √3

Kesimpulan

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)

tan (α – β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)

Latihan Soal

Berikut beberapa contoh soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.


Latihan 1


Diketahui
cos α = 3/5
dan
sin β = 5/13. Jika α adalah sudut lancip dan β sudut tumpul, tentukan nilai dari
sin (α – β)
!

Baca :   Bagaimana Baling Baling Kincir Angin Dapat Berputar

Jawab :
α lancip berarti α berada di kuadran I.
β tumpul berarti β berada di kuadran II.

cos α = 3/5  →sin α =
4/5

sin α bernilai positif karena α berada di kuadran I.

sin β = 5/13  →cos β
= -12/13

cos β bernilai negatif karena β berada di kuadran II.

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
sin (α – β)
= 4/5 . (-12/13) – 3/5 . 5/13
sin (α – β)
= -48/65 – 15/65
sin (α – β)
= -63/65

Latihan 2

Diketahui A, B dan C adalah sudut-sudut suatu segitiga. Jika
tan A = 1/3
dan
tan B = 1/2, tentukan nilai dari
cos C
!

Jawab :

tan A = 1/3  →sin A = 1/√10
dan
cos A = 3/√10

tan B = 1/2  →sin B = 1/√5
dan
cos B = 2/√5

A + B + C = 180°
C = 180° – (A + B)

cos C = cos (180° – (A + B))
cos C
= -cos (A + B)
cos C
= -(cos A cos B – sin A sin B)
cos C
= -(3/√10 . 2/√5 – 1/√10 . 1/√5)
cos C
= -(6/√50 – 1/√50)
cos C
= -5/√50
cos C
= -\(\frac{1}{2}\)√2

Latihan 3

Segitiga PQR siku-siku di P. Jika
cos (P + Q) = 2/3, tentukan nilai dari
sin Q + cos R !

Jawab :
Karena sudut P siku-siku, maka P = 90°

cos (P + Q) = 2/3
cos (90° + Q) = 2/3
cos 90° cos Q – sin 90° sin Q = 2/3
0 . cos Q – 1 . sin Q = 2/3
0 – sin Q = 2/3
sin Q = -2/3

P + Q + R = 180°
90° + Q + R = 180°
R = 90° – Q

cos R = cos (90° – Q) = sin Q
diperoleh cos R = sin Q = -2/3

Jadi, sin Q + cos R = -2/3 + (-2/3) = -4/3

Latihan 4

DiketahuiA – B = 30°
dengan sudut A dan B lancip. Jikasin A cos B = 7/10, tentukan nilaisin (A + B) !

Jawab :
Karena A – B = 30°, maka
sin (A – B) = sin 30° = 1/2

Baca :   Seorang Pedagang Membeli 1 Karung Beras

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
1/2 = 7/10 – cos A sin B
cos A sin B = 7/10 – 1/2 = 1/5

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A + B)
= 7/10 + 1/5
sin (A + B)
= 9/10

Jadi, sin (A + B) = 9/10

Latihan 5

Diketahui α, β dan γ adalah sudut-sudut suatu segitiga. Jika
cos γ = -4/√65
dan
tan α + tan β = 7/6, tentukan
tan α tan β
!

Jawab :
γ = 180° – (α + β)
cos γ = cos(180° – (α + β)) = -cos (α + β)
Jadi, cos (α + β) = -cos γ = -(-4/√65) = 4/√65

cos (α + β) = 4/√65  →  sin (α + β) = 7/√65

tan (α + β) = sin (α + β) / cos (α + β)
tan (α + β)
= (7/√65) / (4/√65)
tan (α + β)
= 7/4

tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
(1 – tan α tan β) . tan (α + β) = tan α + tan β
(1 – tan α tan β) . 7/4 = 7/6
(1 – tan α tan β) = 2/3
tan α tan β = 1 – 2/3 = 1/3

Jadi, tan α tan β = 1/3

Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

Sumber: https://smatika.blogspot.com/2017/08/rumus-trigonometri-jumlah-dan-selisih.html

Check Also

Harga Beras 10 Kg Di Pasar

Harga Beras 10 Kg Di Pasar 4 menit Kamu pasti sudah sering sekali mendengar ungkapan, …