Range Pemetaan Tersebut Adalah

Kalian tentunya sepakat, ketika sedang mengendarai sepeda motor, cepat atau lambatnya pergerakkan kendaraan bergantung dengan kehendak kita sendiri ya gak?

Gerakkan tersebut diatur oleh seberapa jauh diputar
handle
gas motor yang berada di stang. Kemudian motor merespon dengan gerakkan maju.

Dalam matematika, proses tersebut bisa dimodelkan dengan suatu hal bernama fungsi.

Analoginya seperti ini, jauhnya putaran
handle
gas merupakkan masukkan atau
input.

Lalu motor dianggap sebagai fungsi. Efek gerakkan maju yang dilakukan motor merupakan
keluaran atau
output
atas masukkan tersebut.

Berdasarkan ilustrasi sebelumnya, dapat dilihat bahwa fungsi merupakan represetansi matematika yang bertugas untuk memetakan suatu nilai.

Lebih spesifiknya lagi, jauh putaran
handle
gas tersebut
dipetakan
menjadi kelajuan yang dimiliki kendaraan tersebut.

Secara matematis, fungsi dilambangkan sebagai berikut:

Kalau di artikan, kurang lebih bisa dibaca sebagai
f
merupakan fungsi dari
10.

Contoh dari fungsi yang lebih sederhana lagi yaitu persamaan garis. Pastinya kalian semua telah mempelajarinya di jenjang sebelumnya.

Misalnya
y
= 2x
+ 1, tentu saat disubstitusikan nilai pada x, ekspresi matematis tersebut akan memberikan nilai pada
y.

Dalam hal ini, nilai hasil pemetaannya adalah dua kali lipat dari nilai
input-nya, kemudian ditambahkan satu.

Ada istilah tertentu yang digunakan pada suatu fungsi. Istilah tersebut berhubungan dengan masukkan serta keluaran dari fungsi itu.

Kelompok atau himpunan suatu bilangan yang “diperbolehkan” sebagai input suatu fungsi (secara umum gak harus bilangan) disebut sebagai
domain.

Sedangkan kelompok atau himpunan hasil pemetaan elemen dari
domain
merupakan
range.

Ada satu istilah lagi yaitu
co-domain
yang merupakan himpunan secara keseluruhan nilai hasil pemetaan oleh fungsi
f(x).

Catatan: Buat yang bingung apa bedanya antara
range
dengan
co-domain.

Coba bayangkan apakah
range
harus selalu menjadi himpunan sehingga hasil pemetaannya selalu berada di
co-domain?

Tentunya tidak, karena domain bisa diatur sedemikian rupa oleh kita secara bebas. Anggap
co-domainnya berisi semua bilangan bulat.

Misal saja, domainnya kita anggap hanya x bilangan bulat pertama, atau mungkin hanya bilangan yang bernilai negatif saja.

Prinsip
domain
sangat vital di sini, sebab dapat membatasi nilai-nilai yang menyebabkan suatu fungsi tidak terdefinisi.

Seperti misal fungsi berikut
f(x) = 1/10, semua nilai
x
bisa dipetakkan kecuali pada
x
= 0. Ingat bahwa 1/0 itu tidak terdefinisi, yang artinya nilai
ten
tidak boleh nol.

Domain mampu membantu membatasi suatu fungsi supaya selalu dapat terdefinisi nilainya.

Pada pembahasan kali ini, fokus pembahasannya ialah bagaimana menentukan
domain
dari suatu fungsi. Sebagai contoh, anggap terdapat suatu fungsi:

Asumsikan diinginkan hasil pemetaan
f(ten) tidak mencakup bilangan imajiner (akar dari bilangan negatif).

Maka tentunya
x
+ 7 ≥ 0, dan supaya terdefinisi penyebutnya juga tidak boleh bernilai nol, sehingga
x
– 1 ≠ 0.

Dengan mencari irisan dari kedua pertidaksamaan itu, akan didapat solusinya seperti di bawah ini.

Apabila domainnya dilambangkan oleh
, demikian himpunan bilangan yang diperbolehkan yaitu:

Kalau dibaca kurang lebih artinya,
10
harus lebih besar dari -vii tapi tidak termasuk
ten
= -ane.

Sebagai salah satu elemen dalam matematika, ternyata fungsi juga dapat dioperasikan layaknya suatu bilangan.

Namun jangan dibayangkan seutuhnya seperti bilangan. Operasi pada fungsi lebih ke bagaimana kita mengoperasikan domain dari dua fungsi.

Misalkan, terdapat dua buah fungsi
f(ten) dan
thou(10). Ingin dicari daerah-daerah nilai
10
sehingga hasil operasinya selalu terdefinisi.

Dari dua fungsi tersebut dapat dioperasikan seperti pertambahan, perkalian dan sebagainya.

• Perkalian:
  f(x) +
  g(ten)
• Pengurangan:
  f(x) –
  thousand(x)
• Perkalian:
  f(x) ×
  g(10)
• Pembagian:
  f(ten) /
  one thousand(x)

Atau dalam simbol lebih sederhananya (f
+
g)(x), (f
–
m)(x), (f
×
m)(ten), dan (f
/one thousand)(ten), secara berturut-turut.

Di sini gak bakal banyak berbicara mengenai operasi tersebut, karena fokus utamanya kita kali ini bukanlah hasil operasinya. Melainkan
domain
dari suatu fungsi hasil operasi di atas.

Sebagai contoh, kita punya dua fungsi
f(ten) = √(2x
²
– 8) dan
one thousand(x) = √(x
– iii). Terus ingin dicari tahu adalah bagaimana domain secara keseluruhan apabila dua fungsi teresbut dioperasikan.

Mengapa ini penting? Karena setiap fungsi mempunyai domainnya masing-masing.

Tujuannya untuk menghindari adanya
overlap
antar nilai yang tidak diperboleh pada kedua fungsi.

Pertama, kita tentukan terlebih dahulu
domain
dari masing-masing fungsi. Untuk
f(10) domainnya adalah:

Contoh pertama, coba operasikan pertambahan pada kedua fungsi, hasil dari operasinya yaitu:

Demikian, supaya kedua suku tersebut tidak menjadi bilangan imajiner, perlu dicari daerah di mana
f(10) = √(iix
²
– 8) dan
m(x) = √(x
– 3) sama-sama terpenuhi.

Artinya, perlu dicari daerah irisan dari
domain
dari masing-masing fungsi yang telah ditentukan, dalam hal ini yaitu:

Tips: Jika bingung kalian bisa memanfaatkan garis bilangan.

Lalu bagaimana dengan operasi pengurangan? Dalam hal ini kebetulan domainnya akan sama persis.

Sebab hasil operasinya tidak mempengaruhi wujud operasi terhadap kedua fungsinya.

Kemudian untuk dua fungsi yang dioperasikan dengan perkalian, hasil operasinya yaitu:

Coba perhatikan, tidak selalu suku

dan

harus positif.

Mengapa berlaku untuk tidak selalu positif? Ingat lagi konsep perkalian untuk dua buah bilangan supaya menghasilkan hasil positif.

Ada dua kemungkinan di sini, keduanya sama-sama negatif atau keduanya sama-sama positif.

Nah
jadi, saat kedua suku tersebut negatif secara tidak langsung berlaku kondisi di mana hasilnya tidak imajiner.

Interval di mana keduanya bernilai negatif adalah:

Kemudian kita cari daerah
domain
yang saling
overlap
antara keduanya. Sehingga menjadi:

Selanjutnya, untuk interval di mana keduanya bernilai positif yaitu:

Dengan demikian, domainnya dari hasil perkalian ini yakni sebagai berikut:

Terakhir, mari kita coba untuk dua fungsi yang dioperasikan pembagian, seperti ini hasil operasinya:

Sangat jelas bahwa,
domain-nya akan serupa dengan pada operasi perkalian (ingat konsep perkalian bilangan negatif).

Hanya saja sekarang
x
– 3 tidak boleh bernilai nol. Mengingat akan menyebabkan bentuk hasil pembagian tersebut tidak terdefinisi.

Oleh karena itu,
domain-nya adalah irisan antara domain pada hasil perkalian dengan syarat bahwa
x
≠ 3.

Perhatikan tanda x > 3, pada operasi perkalian intervalnya memuat angka 3 karena tandanya ≥.

Karena sekarang tidak boleh menyertakannya, artinya tandanya berubah menjadi lebih besar >.

Bisa gak kalau nilai hasil pemetaan dari fungsi, terus dipetakkan kembali oleh fungsi lainnya?

Nah
itu dia yang akan dijelaskan kali ini, konsep tersebut dinamakan sebagai
fungsi komposisi.

Misalnya ada dua buah fungsi
f(10) serta
g(10). Fungsi komposisi
f
dan
g
terhadap
x, akan menghasilkan fungsi lainnya, sebut saja
h, seperti ini:

Amati kalau hasil pemetaan fungsi
g
terhadap
x
dipetakkan lagi oleh
f. Bisa juga dituliskan dengan simbol ○ kayak gini:

Oke
langsung praktek aja, asumsikan
f
dan
1000
tadi wujud fungsinya adalah:

Pertama coba kita cari fungsi komposisi
f
dan
g
terhadap
x. Hasilnya yaitu:

Bentuk di atas merupakan wujud fungsi komposisi yang telah disederhanakan.

Dari sini dapat dilihat kalau proses pemetaan secara beruntun bisa diintegrasikan menjadi satu fungsi.

Buat lebih jelasnya lagi, coba liat perbandingan fungsi
f
ini:

Jadi sebenarnya, pemetaan fungsi itu tidak terbatas terhadap
10
semata. Bisa juga ekspresi-ekspresi lainnya.

Kira-kira, sama gak hasilnya antara
f(g(x)) dan
k(f(x))?

Cara membayangkannya gini, analogikan dengan sebuah sistem seperti di awal. Fungsi
f
dan
m
anggap aja dua sistem berbeda.

Masing-masing sistem mempunyai ciri khasnya tersendiri dalam melakukan pemetaan. Jadi, sekalipun
x
yang disubstitusikan sama, keduanya akan memberikan nilai berbeda.

Lalu nilai yang berbeda itu digunakan lagi sebagai masukkan kepada fungsi yang berbeda pula. Kemungkinan besar beda hasilnya.

Secara umum, komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, f ○ chiliad ≠ g ○ f.

Tapi di beberapa situasi, ketika
f(10) =
yard(x) atau saat salah satunya merupakan fungsi
x
itu sendiri, sifat komutatif ini berlaku.

Sifat asosiatif ini bisa ditunjukkan dengan menuliskannya seperti ini:

Pada fungsi komposisi, berlaku sifat asosiatif.

Sekarang gini, selama ini alur berpikirnya selalu maju. Kalau punya masukkan
10
maka keluarannya kayak gimana? Misalnya
y.

Coba cara berpikirnya dibalik, kalau punya keluaran
y, pengen diketahui nilai masukannya
tuh
seperti apa. Itulah kurang lebih maksud dari
fungsi invers.

Contohnya, ada fungsi pemetaan waktu (dalam hari) produksi kerajinan terhadap jumlah karya yang dihasilkan. Rumusnya seperti ini:

Tiba-tiba, ada orderan dari klien sebanyak 125 kerajinan. Kita pengen tahu, berapa hari yang dibutuhkan. Dengan itu, diperlukan fungsi inversnya:

Untuk ekspresi fungsinya linear, cara mencarinya relatif mudah. Cukup memanipulasinya seperti halnya sebuah persamaan pada bentuk aljabar:

Sehingga, untuk menghasilkan kerajinan sebanyak 125
unit, diperlukan waktu selama 5 hari.