Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel


Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Untuk setiap $f(x)$ adalah fungsi linear dan $a$ adalah bilangan real, berlaku beberapa sifat berikut.

$\bullet$ Jika $a \geq  0$ dan $|f(x)| \leq a $ maka $ -a \leq f(x) \leq a $

$\bullet$ Jika $a > 0$ dan $|f(x)| \geq  a $ maka $ f(x) \geq a $ atau $ f(x) \leq -a$

$\bullet$ Jika $a < 0$ dan $|f(x)| \leq a $ maka tidak ada bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan.

Selain beberapa sifat diatas, kasus pertidaksamaan linear nilai mutlak juga dapat diselesaikan dengan menggunakan hubungan $|x|=\sqrt{x^{2}}$ (dengan mengkuadratkan kedua ruas). Untuk lebih jelasnya, berikut ini contoh-contoh soalnya.

Contoh Soal 1

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-5|<7$



Jawab:

$|2x-5|<7$

$ \Leftrightarrow -7<2x-5<7 $ (semua sisi ditambah 5)

$ \Leftrightarrow -7+5<2x<7+5 $

$ \Leftrightarrow 2<2x<12 $ (semua sisi dikali $\frac{1}{2}$)

$ \Leftrightarrow \frac{2}{2}< \frac{2x}{2} < \frac{12}{2} $

$ \Leftrightarrow 1<x<6 $

Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $1<x<6$

Contoh Soal 2

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-5| \leq 7$



Jawab:

$|x-5| \leq 7$

$ \Leftrightarrow  -7 \leq x-5 \leq 7 $ (semua sisi ditambah 5)

$ \Leftrightarrow -7+5 \leq x  \leq7+5 $

$ \Leftrightarrow -2 \leq x \leq 12 $

Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-2 \leq x \leq 12$

Contoh Soal 3

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-1| \geq 13$



Jawab:

Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh

$\color{blue}{|2x-1| \geq 13}$ $ \rightarrow  2x-1 \geq 13 $ atau $ 2x-1 \leq -13$

Sehingga,

$2x-1 \geq 13$

$\Leftrightarrow 2x \geq 14$

$\Leftrightarrow x \geq 7$

atau

$ 2x-1 \leq -13$

$\Leftrightarrow 2x \leq -12$

$\Leftrightarrow x \leq -6$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x \geq 7$ atau $x \leq -6$

Baca :   Alat Untuk Mengukur Tekanan Udara Disebut

Contoh Soal 4

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-5| \geq x+1$



Jawab:

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh

$\color{blue}{|2x-5| \geq x+1}$ $ \rightarrow  2x-5 \geq x+1 $ atau $ 2x-5 \leq -(x+1)$

Sehingga,

$2x-5 \geq x+1$

$\Leftrightarrow 2x-x \geq 1+5$

$\Leftrightarrow x \geq 6$

atau

$ 2x-5 \leq -(x+1)$

$\Leftrightarrow 3x \leq 4$

$\Leftrightarrow x \leq \frac{4}{3}$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x \geq 6$ atau $x \leq \frac{4}{3}$

Atau bisa juga diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas. Sehingga bentuk penyelesaiannya sebagai berikut.

Ingat hubungan $|x|=\sqrt{x^{2}}$, sehingga

$|2x-5| \geq x+1$

$\Leftrightarrow (2x-5)^{2} \geq (x+1)^{2}$

$\Leftrightarrow (2x-5)^{2} – (x+1)^{2} \geq 0 $

$\Leftrightarrow ($ $\color{blue}{(2x-5)}$ $+$ $\color{red}{(x+1)}$ $) ($ $\color{blue}{(2x-5)}$ $-$ $\color{red}{(x+1)}$ $) \geq 0 $

$\Leftrightarrow (3x-4)(x-6) \geq 0 $

Pembuat nol: $x=\frac{4}{3}$ atau $x=6$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x \geq 6$ atau $x \leq \frac{4}{3}$

Contoh Soal 5

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x+5| \leq x+7$



Jawab:

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh

$\color{blue}{|2x+5| \leq x+7}$ $ \rightarrow -(x+7) \leq 2x+5 \leq x+7 $

$-(x+7) \leq 2x+5 \leq x+7 \Leftrightarrow  -(x+7) \leq 2x+5$ dan $2x+5 \leq x+7 $

Sehingga,

$-(x+7) \leq 2x+5$

$\Leftrightarrow -x-7 \leq 2x+5$

$\Leftrightarrow -3x \leq 12$

$\Leftrightarrow x \geq -4$

atau

$2x+5 \leq x+7$

$\Leftrightarrow x \leq 2$

Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-4 \leq x \leq 2$

Atau bisa juga diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas. Sehingga bentuk penyelesaiannya sebagai berikut.

$|2x+5| \leq x+7$

$\Leftrightarrow (2x+5)^{2} \leq (x+7)^{2}$

$\Leftrightarrow (2x+5)^{2} – (x+7)^{2} \leq 0 $

$\Leftrightarrow ($ $\color{blue}{(2x+5)}$ $+$ $\color{red}{(x+7)}$ $) ($ $\color{blue}{(2x+5)}$ $-$ $\color{red}{(x+7)}$ $) \leq 0 $

Baca :   Himpunan Penyelesaian Dari Pertidaksamaan X

$\Leftrightarrow (3x+12)(x-2) \leq 0 $

Pembuat nol: $x=2$ atau $x=-4$

Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-4 \leq x \leq 2$

Contoh Soal 6

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x+3| \leq |x-2|$



Jawab:

$|2x+3| \leq |x-2| $

$\Leftrightarrow (2x+3)^{2} \leq (x-2)^{2}$

$\Leftrightarrow (2x+3)^{2} – (x-2)^{2} \leq 0 $

$\Leftrightarrow ($ $\color{blue}{(2x+3)}$ $+$ $\color{red}{(x-2)}$ $) ($ $\color{blue}{(2x+3)}$ $-$ $\color{red}{(x-2)}$ $) \leq 0 $

$\Leftrightarrow (3x+1)(x+5) \leq 0 $

Pembuat nol: $x= -\frac{1}{3}$ atau $x=-5$

Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-5 \leq x \leq -\frac{1}{3}$

Contoh Soal 7

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x+3| \geq |x-3|$



Jawab:

$|2x+3| \geq |x-3|$

$\Leftrightarrow (2x+3)^{2} \geq (x-3)^{2}$

$\Leftrightarrow (2x+3)^{2} – (x-3)^{2} \geq 0 $

$\Leftrightarrow ($ $\color{blue}{(2x+3)}$ $+$ $\color{red}{(x-3)}$ $) ($ $\color{blue}{(2x+3)}$ $-$ $\color{red}{(x-3)}$ $) \geq 0 $

$\Leftrightarrow (3x)(x+6) \geq 0 $

Pembuat nol: $x=0$ atau $x=-6$

Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x \leq -6$ atau $x \geq 0$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi pertidaksamaan nilai mutlak. Semoga bermanfaat.


Baca juga :

Referensi

Sinaga, Bornok, dkk. 2017.Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Sumber: https://www.mathematic-inside.com/2021/02/contoh-soal-pertidaksamaan-nilai-mutlak.html

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …