Pertidaksamaan Kuadrat Satu Variabel

Artikel ini membahas contoh soal pertidaksamaan kuadrat dan pembahasannya. Pertidaksamaan kuadrat adalah persamaan kuadrat dengan notasi kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari sama dengan (≤) ataupun lebih dari sama dengan (≥).

Cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat sebagai berikut:

• Tentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat. Caranya bisa menggunakan metoden pemfaktoran ataupun dengan rumus ABC.
• Buat garis bilangan
• Berdasarkan garis bilangan kita tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal pertidaksamaan kuadrat dan pembahasannya dibawah ini.

Contoh soal 1

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat xii
– 8x + 15 ≤ 0 untuk x ∈ R adalah…

A. {x|-v ≤ x ≥ -iii}

B. {ten|three ≤ 10 ≤ 5}

C. {x|x ≤ -five atau x ≥ -3}

D. {x|x ≤ -3 atau ten ≥ 5}

East. {10|10 ≤ -three atau 10 ≥ -5}

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita faktorkan pertidaksamaan diatas dengan cara:

→ xtwo
– 8x + 15 ≤ 0

→ (10 – 3) (x – v) ≤ 0

→ 10one
= 3 atau x2
= 5

Lalu kita buat garis bilangan. Untuk menentukan tanda (+) atau (-) kita subtitusikan angka < 3 (misalkan x = 2) ke 10ii
– 8x + 15 = 22
– eight . 2 + 15 = +3. Karena hasilnya positif berarti tanda garis bilangan positif (+, – , +) seperti gambar dibawah ini.

Karena notasi pertidaksamaan kurang dari sama dengan (≤) maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan bertanda negatif atau pada interval 3 ≤ x ≤ five. Jadi soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal 2

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat xtwo
– 5x – 6 > 0 untuk x ∈ R adalah …

A. {10|x < -1 atau x > vi}

B. {x|x < 2 atau x > three}

C. {x|-3 < x < ii}

D. {10|ten < -6 atau x > vi}

E. {ten|-6 < ten < 1}

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

→ x2
– 5x – half-dozen > 0

→ (x – 6)(ten + one) > 0

→ x1
= vi atau 102
= -1

Untuk menentukan tanda garis bilangan kita subtitusikan angka yang lebih kecil dari -1 (misalkan x = – 2) ke pertidaksamaan kuadrat x2
– 5x – 6 = (-two)2
– v (-2) – half dozen = 4 + 10 – six = + 9. Hasilnya positif sehingga tanda garis bilangan diawali positif (+ , – , +):

Karena notasi pertidaksamaan lebih dari (>) maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan dengan tanda positif atau pada interval {x|x < -1 atau 10 > vi}. Jadi soal ini jawabannya A.

---

Contoh soal 3

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tenii
– 3x – ten < 0 adalah…
A. x< -two atau x > 5
B. x < 5

C. -two < x < 5

D. -5 < x < 2

Eastward. ii < ten < 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

→ xii
– 3x – ten < 0

→ (10 – 5) (10 + two) < 0

→ xi
= 5 atau ten2
= – 2

Untuk membuat garis bilangan kita subtitusikan angka yang lebih kecil dari – 2 (misalkan x = -three) ke xtwo
– 3x – 10 = (-iii)ii
– three . (- 3) – ten = + 8. Hasilnya positif sehingga tanda garis bilangan diawali positif (+ , – , +):

Karena notasi pertidaksamaan kuadrat kurang dari (<) maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan dengan tanda negatif atau pada interval -2 < 10 < 5. Soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 4

Himpunan penyelesaian dari 3x2
+ 4x > seven adalah …
A. x < – 1/four atau x > 0

B. ten < – 1/ii atau x > 1

C. x < -ane atau x > ane

D. x < -7/3 atau 10 > 1

Due east. x < -1/iii atau x > 0

Pembahasan / penyelesaian soal

Pertidaksamaan diatas diubah bentuknya menjadi 3x2
+ 4x – 7 > 0. Jadi kita ketahui a = iii, b = four dan c = -seven. Selanjutnya kita tentukan akar-akar dari pertidaksamaan dengan menggunakan rumus ABC:

→ 10ane,ii
=

-b ± √
b
2–
4 . a . c

two . a

→ tenane,two
=

-four ± √
4
ii–
iv . 3 . -7

ii . iii

→ xi,2
=

– 4 ±

√ 100

6

=

– iv ± 10

6

→ x1
=

-four + 10

6

= 1

→ xtwo
=

-iv – 10

6

=

-14

6

= –

7

iii

Selanjutnya kita buat garis bilangan dengan cara subtitusi angka yang lebih kecil dari -7/3 (misalkan ten = -3) ke 3two
+ 4x – 7 = 3 . (-three)2
+ 4 (-3) – seven = + viii. Hasilnya positif sehingga tanda garis bilangan +, -, + atau:

Karena notasi pertidaksamaan kuadrat > maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan dengan tanda positif ten < -7/three atau 10 > ane. Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal v

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2
+ 4x – 21 ≤ 0 adalah…
A. {10|x ≤ 3 atau x ≥ 7, x ∈ R }

B. {x|x ≤ -3 atau x ≥ seven, x ∈ R }

C. {x|iii ≤ x ≤ 7, x ∈ R}

D. {x|-7 ≤ x ≤ 3, 10 ∈ R}

East. {10|-three ≤ ten ≤ 7, x ∈ R}

Pembahasan / penyelesaain soal

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

102
+ 4x – 21 ≤

(x + seven)(x – three) ≤ 0

xone
= -7 atau xii
= 3

Berdasarkan garis bilangan diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 5 adalah {10|-7 ≤ x ≤ iii, ten ∈ R}. Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 6

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2xii
+ 6x – 8 ≥ 0 adalah…
A. {ten|x ≤ -4 atau ten ≥ 1, ten ∈ R }

B. {x|x ≤ -4 atau x ≥ -1, x ∈ R }

C. {x|one ≤ x ≤ 4, x ∈ R}

D. {x|-4 ≤ x ≤ -1, x ∈ R}

E. {x|-4 ≤ 10 ≤ 1, 10 ∈ R}

Pembahasan / penyelesaian soal

2ii
+ 6x – 8 ≥ 0 :ii

102
+ 3x – 4 ≥ 0

(x + 4)(x – 1) ≥ 0

x1
= -4 ataun x2
= i

Berdasarkan garis bilangan diatas kita peroleh himpunan penyelesaian {x|ten ≤ -four atau x ≥ one, x ∈ R }. Jadi soal ini jawabannya A.