Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya Adalah 3 Dan 1/3 Adalah

Matematika123.com- Dari sebuah persamaan kuadrat dapat ditentukan akar-akarnya yaitu x₁
dan x₂. Nama lain kadang diberikan untuk x₁
dan x₂
ini seperti α dan β atau p dan q bisa juga yang lain. Dari akar-akar yang telah diketahui ini dapat dibentuk suatu persamaan kuadrat yang baru yang berhubungan dengan kedua akar sebelumnya. Proses ini dinamakan menyusun persamaan kuadrat yang baru.

Soal No. 1


Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar 3 dan 4. Tentukan persamaan kuadrat tersebut!

Pembahasan



Jika x₁
dan x₂
adalah akar-akarnya, maka persamaan kuadrat tersebut dapat dicari dengan rumus berikut ini:
x²
-(x₁
+ x₂)x + x₁x₂
= 0

Dari soal x₁
= 3 dan x₂
= 4 maka persamaan kuadrat tersebut adalah:
x²
– (3 + 4)x + (3)(4) = 0
x²
– 7x + 12 = 0

Bagaimana jika anda lupa rumus ini? Ingat saja prinsip dalam penentuan akar pada pemfaktoran.
x = 3 tentu berasal dari faktor (x – 3)
x = 4 tentu berasal dari faktor (x – 4)
Sehingga jika disusun persamaan kuadrat itu dengan mengalikan kedua faktornya:
(x – 3)(x – 4) = 0
x²
-4x – 3x + 12 = 0
x²
-7x + 12 = 0

Soal No. 2


Suatu persamaan kuadrat akar-akarnya adalah 2 dan 1/3. Tentukan persamaan kuadrat tersebut!

Pembahasan



x₁
= 2
x₂
= 1/3
Masukkan rumus menyusun persamaan kuadrat:
x²
-(x₁
+ x₂)x + x₁x₂
= 0

x²
– (2 + 1/3)x + (2)(1/3) = 0
x²
– 7/3 x + 2/3 = 0
Kalikan semua suku dengan 3 untuk menghilangkan bentuk pecahan yang ada menjadi
3x²
– 7x + 2 = 0

Bagaimana mengerjakannya dengan kembali ke faktor-faktornya?
x = 2 tentu berasal dari faktor (x – 2)
x = 1/3 tentu berasal dari faktor (x – 1/3)
Kalikan:

(x – 2)(x – 1/3) = 0
x²
-1/3 x – 2x + 2/3 = 0
Kalikan 3 semua menjadi:
3x²
– 1 x – 6x + 2 = 0
3x²
– 7x + 2 = 0

Diperoleh hasil yang sama

Soal No. 3


Diketahui α dan β adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x²
– 2x – 15 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah α + 2 dan β + 2 !

Pembahasan



Jika PK yang ada bisa difaktorkan dengan mudah faktorkan saja dahulu.
x²
– 2x – 15 = 0
(x – 5)(x + 3) = 0
x = 5 atau x = -3
Sehingga α = 5 dan β = -3

Persamaan kuadrat baru yang minta dibentuk memiliki akar-akar:
x₁
= α + 2 = 5 + 2 = 7
x₂
= β + 2 = -3 + 2 = -1
Sehingga dengan rumus menyusun persamaan kuadrat:
x²
-(x₁
+ x₂)x + x₁x₂
= 0
x²
-(7 + (-1))x + (7)(-1) = 0
x²
-6x -7 = 0

Soal No. 4


Diberikan persamaan kuadrat:
2x²
+ 5x -7 = 0
Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat di atas, tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya α + 1 dan β + 1 !

Pembahasan



Untuk PK yang susah difaktorkan, gunakan sifat jumlah dan hasil kali akar-akar saja. Meski belum diketahui besarnya masing-masing akar, namun soal tetap dapat diselesaikan.

Jumlah dan hasil kali akar-akar PK:
x₁
+ x₂
= -b/a
x₁x₂
= c/a

Sehingga:
α + β = -b/a = -5/2
αβ = c/a = -7/2

Menyusun persamaan kuadrat yang diminta dengan akar-akar α +1 dan β + 1
x²
-(x₁
+ x₂)x + x₁x₂
= 0
x²
-(α + 1 + β + 1)x + (α + 1)(β + 1) = 0
x²
-(α + β + 2)x + αβ + α + β + 1 = 0
x²
-(-5/2 + 2)x + (-7/2) + (-5) + 1 = 0

Kalikan 2
2x²
+ x – 7 – 5 + 1 = 0
2x²
+ x – 11 = 0

Soal No. 5


Diketahui α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat 2x²
+ 5x – 7 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1/α dan 1/β!

Pembahasan



Dari jumlah dan hasil kali akar:
α + β = -b/a = -5/2
αβ = c/a = -7/2

Persamaan kuadrat yang diminta: