Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Bentuk-bentuk 9 = 3
2
. 4x
2
 = (2x)
2
, (x + 1)
2
 dan (2x
–
 3)
2
 merupakan beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna. Pada hakikatnya, tiap bentuk kuadrat dapat dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Manipulasi aljabar yang diperlukan dalam proses pengubahan itu adalah dengan menambah atau mengurangi bagian-bagian suku tetapan. Coba kalian perhatikan contoh berikut ini.

(x
–
 5)
2
 = 4

Dengan menyelesaikan ruas kiri, kita bisa mendapatkan sebuah persamaan kuadrat.

(x
–
 5)
2
 = 4

⇔
 x
2

–
 10x + 25 = 4

⇔
 x
2

–
 10x + 25
–
 4 = 0

⇔
 x
2

–
 10x + 21 = 0

Apabila alur untuk memperoleh persamaan kuadrat di atas kita balik, maka akan diperoleh cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang disebut sebagai melengkapkan kuadrat sempurna. Perhatikan sekali lagi penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.

x
2

–
 10x + 21 = 0

⇔
 x
2

–
 10x =
–
21

⇔
 x
2

–
 10x
+ 25
 =
–
21
+ 25

⇔
 x
2

–
 10x + 25 = 4

⇔
 (x
–
 5)
2
 = 4

Sampai pada tahap ini, kita bisa dengan mudah memperoleh akar-akar persamaan kuadrat di atas yaitu sebagai berikut.

(x
–
 5)
2
 = 4

⇔
 x
–
 5 =
√
4

⇔
 x = 5 ±
√
4

Namun, ada satu hal yang perlu kalian perhatikan, yaitu angka 25 yang dicetak tebal bewarna merah dimana angka tersebut ditambahkan pada baris ketiga. Angka 25 ini, diperoleh dengan membagi koefisien x dengan dua kali koefisien x
2
, kemudian hasilnya dikuadratkan. Secara matematis ditulis (b/2a)
2
.

Pada persamaan x
2

–
 10x + 21 = 0, memiliki nilai a = 1 dan b = -10, sehingga

(b/2a)
2
 = (-10/2.1)
2
 = (-5)
2
 = 25

Berdasarkan proses di atas, kita bisa menyimpulkan langkah-langkah dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Misalnya terdapat sebuah persamaan berbentuk ax
2
 + bx + c = 0 dengan a, b, c
∈
 R dan a
≠
 0. Maka dengan melengkapkan kuadrat sempurna, akar-akarnya dapat dicari langkah-langkah berikut.

#1 Tentukan nilai a, b dan c

#2 Bagi kedua ruas dengan a

#3 Kurangi kedua ruas dengan nilai c

Jika a = 1, maka pakai nilai c dari persamaan kuadrat lama

Jika a
≠
 1, maka pakai nilai c dari persamaan kuadrat baru dan berlaku untuk langkah berikutnya

#4 Tambahkan (b/2a)
2
 pada kedua ruas

#5 Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna

Bentuk persamaan kuadrat sempurna yang dimaksud adalah sebagai berikut.

#6 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat

Akar persamaan kuadrat ditentukan sesuai dengan bentuk persamaan yang terakhir. Adapun akar dari persamaan tersebut dapat dicari dengan rumus berikut ini.

Agar kalian dapat memahami cara menerapkan langkah-langkah di atas, coba pahami beberapa contoh soal tentang cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapi kuadrat sempurna berikut ini.

Contoh Soal #1

Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, tentukanlah akar-akar dari persamaan x
2
 + 8x + 12 = 0

Jawab

1) Persamaan  x
2
 + 8x + 12 = 0 memiliki nilai a = 1, b = 8 dan c = 12

2) Karena a = 1, maka kita langsung menuju langkah 3

3) Kurangi kedua ruas dengan nilai c

⇔
 x
2
 + 8x + 12 = 0

⇔
 x
2
 + 8x + 12
–
 12 = 0
–
 12

⇔
 x
2
 + 8x =
–
12

4) Tambahkan (b/2a)
2
 = (8/2.1)
2
 = 16 pada kedua ruas.

⇔
 x
2
 + 8x =
–
12

⇔
 x
2
 + 8x + 16 =
–
12 + 16

⇔
 x
2
 + 8x + 16 = 4

5) Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)
2
 = q

⇔
 x
2
 + 8x + 16 = 4

⇔
 (x + 4)
2
 = 4

6) Langkah terakhir menentukan akar dengan rumus (x + p) = ±
√
q

⇔
 (x + 4)
2
 = 4

⇔
 x + 4 =
±

√
4

⇔
 x + 4 =
±

2

⇔
 x
1
 =
–
4 + 2 =
–
2 atau x
2
 =
–
4
–
 2 =
–
6

Jadi, akar-akarnya adalah x
1
 =
–
2 atau x
2
 =
–
6 ditulis HP = {
–
6,
–
2}

Contoh Soal #2

Carilah akar-akar persamaan x
2

–
 6x
–
 7 = 0 dengan cara melengkapi kuadrat sempurna.

Jawab

1) Persamaan  x
2

–
 6x
–
 7 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -6 dan c = -7.

2) Karena a = 1, maka kita langsung menuju langkah 3

3) Kurangi kedua ruas dengan nilai c

⇔
 x
2

–
 6x
–
 7 = 0

⇔
 x
2

–
 6x
–
 7
–
 (
–
7) = 0
–
 (
–
7)

⇔
 x
2

–
 6x
–
 7 + 7 = 7

⇔
 x
2

–
 6x = 7

4) Tambahkan (b/2a)
2
 = (-6/2.1)
2
 = 9 pada kedua ruas.

⇔
 x
2

–
 6x = 7

⇔
 x
2

–
 6x + 9 = 7 + 9

⇔
 x
2

–
 6x + 9 = 16

5) Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)
2
 = q

⇔
 x
2

–
 6x + 9 = 16

⇔
 (x
–
 3)
2
 = 16

6) Langkah terakhir menentukan akar dengan rumus (x + p) = ±
√
q

⇔
 (x
–
 3)
2
 = 16

⇔
 x
–
 3 =
±

√
16

⇔
 x
–
 3 =
±

4

⇔
 x
1
 = 3 + 4 = 7 atau x
2
 = 3
–
 4 =
–
1

Jadi, akar-akarnya adalah x
1
 = 7 atau x
2
 =
–
1 ditulis HP = {
–
1, 7}

Contoh Soal #3

Tentukan akar-akar persamaan x
2

–
 8x + 7 = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.

Jawab

1) Persamaan  x
2

–
 8x + 7 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -8 dan c = 7.

2) Karena a = 1, maka kita langsung menuju langkah 3

3) Kurangi kedua ruas dengan nilai c

⇔
 x
2

–
 8x + 7 = 0

⇔
 x
2

–
 8x + 7
–
 7 = 0
–
 7

⇔
 x
2

–
 8x =
–
7

4) Tambahkan (b/2a)
2
 = (-8/2.1)
2
 = 16 pada kedua ruas.

⇔
 x
2

–
 8x =
–
7

⇔
 x
2

–
 8x +16 =
–
7 + 16

⇔
 x
2

–
 8x +16 = 9

5) Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)
2
 = q

⇔
 x
2

–
 8x +16 = 9

⇔
 (x
–
 4)
2
 = 9

6) Langkah terakhir menentukan akar dengan rumus (x + p) = ±
√
q

⇔
 (x
–
 4)
2
 = 9

⇔
 x
–
 4 =
±

√
9

⇔
 x
–
 4 =
±

3

⇔
 x
1
 = 4 + 3 = 7 atau x
2
 = 4
–
 3 = 1

Jadi, akar-akarnya adalah x
1
 = 7 atau x
2
 = 1 ditulis HP = {1, 7}

Contoh Soal #4

Carilah akar-akar persamaan x
2
 + 3x
–
 10 = 0 dengan melengkapi kuadrat sempurna.

Jawab

1) Persamaan  x
2
 + 3x
–
 10 = 0 memiliki nilai a = 1, b = 3 dan c = -10.

2) Karena a = 1, maka kita langsung menuju langkah 3

3) Kurangi kedua ruas dengan nilai c

⇔
 x
2
 + 3x
–
 10 = 0

⇔
 x
2
 + 3x
–
 10
–
 (
–
10) = 0
–
 (
–
10)

⇔
 x
2
 + 3x
–
 10 + 10 = 10

⇔
 x
2
 + 3x = 10

4) Tambahkan (b/2a)
2
 = (3/2.1)
2
 = 9/4 pada kedua ruas.

⇔
 x
2
 + 3x = 10

⇔
 x
2
 + 3x + 9/4 = 10 + 9/4

⇔
 x
2
 + 3x + 9/4 = 49/4

5) Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)
2
 = q

⇔
 x
2
 + 3x + 9/4 = 49/4

⇔
 (x + 3/2)
2
 = 49/4

6) Langkah terakhir menentukan akar dengan rumus (x + p) = ±
√
q

⇔
 (x + 3/2)
2
 = 49/4

⇔
 x + 3/2 =
±

√
(49/4)

⇔
 x + 3/2 =
±

7/2

⇔
 x
1
 =
–
3/2 +
7/2
 = 4/2 = 2 atau x
2
 =
–
3/2
–

7/2
 =
–
10/2 =
–
5

Jadi, akar-akarnya adalah x
1
 = 2 atau x
2
 =
–
5
ditulis HP = {1, 7}

Contoh Soal #5

Dengan melengkapi kuadrat sempurna, tentukan akar-akar dari persamaan 2x
2
 + 4x
–
 6 = 0

Jawab

1) Persamaan 2x
2
 + 4x
–
 6 = 0 memiliki nilai a = 2, b = 4 dan c = -6.

2) Karena a
≠
 1, maka kita bagi kedua ruas dengan nilai a

⇔
 2x
2
 + 4x
–
 6 = 0

⇔
 (2x
2
 + 4x
–
 6)/2 = 0/2

⇔
 x
2
 + 2x
–
 3 = 0

Dari persamaan kuadrat yang baru, kita peroleh nilai a = 1, b = 2 dan c = -3

3) Kurangi kedua ruas dengan nilai c

⇔
 x
2
 + 2x
–
 3 = 0

⇔
 x
2
 + 2x
–
 3
–
 (
–
3) = 0
–
 (
–
3)

⇔
 x
2
 + 2x
–
 3 + 3 = 3

⇔
 x
2
 + 2x = 3

4) Tambahkan (b/2a)
2
 = (2/2.1)
2
 = 1 pada kedua ruas.

⇔
 x
2
 + 2x = 3

⇔
 x
2
 + 2x + 1 = 3 + 1

⇔
 x
2
 + 2x + 1 = 4

5) Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)
2
 = q

⇔
 x
2
 + 2x + 1 = 4

⇔
 (x + 1)
2
 = 4

6) Langkah terakhir menentukan akar dengan rumus (x + p) = ±
√
q

⇔
 (x + 1)
2
 = 4

⇔
 x + 1 =
±

√
4

⇔
 x + 1 =
±

2

⇔
 x
1
 =
–
1 +
2
 = 1 atau x
2
 =
–
1
–

2
 =
–
3

Jadi, akar-akarnya adalah x
1
 = 1 atau x
2
 =
–
3
ditulis HP = {
–
3
, 1}

Demikianlah artikel tentang cara mudah menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna beserta rumus, contoh soal dan pembahasannya. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda.
Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.