Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Satu Variabel

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
2
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

NILAI MUTLAK
LINEAR SATU VARIABEL
MATEMATIKA UMUM KELAS X
PENYUSUN
Yenni Dian Anggraini
, S.Pd.,M.Pd.,MBA.
SMA Negeri 9 Kendari

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
3
DAFTAR ISI
PENYUSUN
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………….
2
DAFTAR ISI
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………
3
GLOSARIUM
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………..
4
PETA KONSEP
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……….
5
PENDAHULUAN
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……
6
A.

Identitas Modul
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………..
6
B.

Kompetensi Dasar
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……….
6
C.

Deskripsi

Singkat Materi
…………………………..
…………………………..
………………………….
6
D.

Petunjuk Penggunaan Modul
…………………………..
…………………………..
…………………….
6
E.

Materi Pembelajar
an
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……
7
KEGIATAN PEMBELAJARAN 1
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……….
8
KONSEP NILAI MUTLAK
…………………………..
…………………………..
…………………………..
………………….
8
A.
Tujuan Pembelajar
an
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…..
8
B.
Uraian Materi
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………..
8
C.
Rangkuman
…………………………..
…………………………..
…………………………..
………………
11
D.
Latihan Soal
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………..
11
E.
Penilaian Diri
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………
13
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……..
14
PERSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARI
ABEL
…………………………..
………………….
14
A.
Tujuan Pembelajaran
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…
14
B.
Uraian Materi
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………
14
C.
Rangkuman
…………………………..
…………………………..
…………………………..
………………
18
D.
Latihan Soal
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………..
18
E.
Penilaian Diri
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………
22
KEGIATAN PEMBELA
JARAN 3
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……..
23
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL
…………………………..
………
23
A.
Tujuan Pembelajaran
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…
23
B.
U
raian Materi
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………
23
C.
Rangkuman
…………………………..
…………………………..
…………………………..
………………
26
D.
Latihan Soal
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………..
26
E.
Penilaian Diri
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………
28
EVALUASI
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………….
29
DAFTAR PUSTAKA
…………………………..
…………………………..
…………………………..
………………………….
33

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
4
GLOSARIUM
Variabel
:
adalah lambang pengganti suatu bilangan y
ang belum diketahui

nilainya

dengan jelas,
variabel disebut juga peubah.
Kalimat terbuka
:
adalah sebuah kalimat yang memiliki variabel atau memuat

variabel.
Persamaan
:
adalah kalimat terbuka yang

memuat tanda sama dengan.
Pertidaksamaan
:
adalah

kalimat terbuka yang menggunakan
relasi tidak sama

(
>, <, ≤, atau ≥)
.
Persamaan linear
:
adalah

persamaan yang setiap sukunya mengandung konstanta

dengan variabel berderajat satu.
Pertidaksamaan

linear
:
adalah

pertidaksamaan yang setiap sukunya mengandung

konstanta dengan variabel berderajat satu atau

tunggal.
Nilai Mutlak
:
adalah nilai suatu bilangan rill atau asli tanpa tanda


.
Persamaan

linear

satu variabel
:
adalah

persamaan linear yang memiliki satu variabel.
Pertidaksamaan

linear satu variabel
:
adalah

pertidaksamaan linear yang memiliki

satu variabel.

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
5
PETA KONSEP
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL
Konsep Nilai Mutlak
Defenisi Nilai Mutlak
Menggambar Grafik Fungsi Nilai

Mutlak
Persamaan Nilai Mutlak

Linear Satu Variabel
Sifat
–
sifat Persamaan Nilai Mutlak

Linear Satu Variabel
Penerapan Persamaan Nilai Mutlak

Linear Satu Variabel
Pertidaksamaan Nilai

Mutlak Linear Satu

Variabel
Sifat
–
sifat Pertidaksamaan Nilai

Mutlak Linear Satu Variabel
Penerapan Pertidaksamaan Nilai

Mutlak Linear Satu Variabel

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
6
PENDAHULUAN
A.

Identitas Modul
Mata Pelajaran
: Matematika Umum
Kelas
: X (Sepuluh)
Alokasi Waktu
:

12
JP
Judul Modul
:

Persamaan

d
an Pertidaksamaan Nilai Mutla
k Linear Satu

Variabel

B
.

Kompetensi Dasar
3.1
Mengintepretasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk

linear satu variabel dengan persamaan dan pertidaksamaan linear Aljabar
lainnya.
4.1
Menyelesaikan

masalah

yang

berkaitan

dengan

pers
amaan

dan

pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu
variabel
.
C
.

Deskripsi Singkat Materi
Pada modul ini peserta didik akan mempelajari

konsep, penyelesaian dan penerapan

nilai mutlak.

Untuk mempelajari modul ini, para peserta didik diharapka
n telah

menguasai dasar
–
dasar

garis bilangan,

penjumlahan, pengurangan, perkalian,

dan

pembagian bilangan real. Selain penjelasan mengenai materi yang ditampilkan, modul

ini juga dilengkapi dengan latihan untuk menguji pemahaman dan penguasaan dari

pesert
a didik terhadap materi yang telah dipelajari. Modul ini disusun dengan bahasa

yang sede
rhana, contoh
–
contoh yang kontekstual, dan dibuat berurutan sesuai

dengan urutan materi yang terlebih dahulu perlu dikuasai. Setelah memahami materi

ini peserta didik d
iharapkan dapat menentukan penyelesaian

persamaan dan

pertidaksamaan nilai mutlak dari b
entuk linear satu variabel
dan menerapkan

pada permasalahan dalam kehidupan sehari
–
hari.

D.

Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini hal
–
hal yang perlu
dilakukan oleh peserta didik adalah

sebagai berikut.
1.
Baca pen
dahuluan
modul untuk mengetahui arah pengembangan modul.
2.
Membaca kompetensi dasar dan tujuan yang ingin dicapai melalui modul.
3.
Agar memperoleh gambaran yang utuh mengenai modul, maka pengguna pe
rlu

membaca dan memahami peta konsep.
4.
Mempelajari modul secara berurut
an agar memperoleh pemahaman yang utuh.
5.
Memahami contoh
–
contoh soal yang ada, dan mengerjakan semua soal latihan

yang ada.
6.
Jika dalam mengerjakan soal menemui kesulitan, kembalilah mempe
lajari materi

yang terkait.

7.
Ikuti semua tahapan dan petunjuk yang ada
pada modul ini.
8.
Mempersiapkan alat tulis untuk mengerjakan soal
–
soal latihan.
9.
Selamat belajar menggunakan modul ini, semoga bermanfaat.

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
7
E.
Materi Pembelajaran
Modul ini terbagi menja
di

3
kegiatan pembelajaran
dan
di dalam
nya

terdapat uraian

materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.
Pertama

:
Konsep Nilai Mutlak
Kedua

:

Persamaan Nilai Mutlak

Linear Satu Variabel
Ketiga
: Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variab
el

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
8
KEGIATAN

PEMBELAJARAN 1
KONSEP NILAI MUTLAK
A.
Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan
peserta didik mampu:
1.
Memahami konsep nilai mutlak.
2.
Menggambar grafik fungsi nilai mutlak.
B.
Uraian Mat
eri
1.
Konsep Nilai Mutlak
Peserta didik

sekalian, pernahkah kalian memikirkan berapa jarak antara rumah ke

sekolah? Pada saat kalian memikirkan jarak tersebut, pernahkah terlintas dalam pikiran

kalian bahwa jarak tersebut bernilai positif, negatif, atau mu
ngkin selalu positif
, atau

selalu negati
f
? Mengapa demikian? Tentu kalian penasaran bukan? Untuk menjawab rasa

penasaran kalian marilah menyimak konsep jarak

yang berkaitan
dengan nilai mutlak.

Simaklah ilustrasi berikut.
Gambar 1. Ilustrasi Jarak
(Sumb
er:

https://brainly.co.id/tugas/22118492
)
Seorang anak akan menempuh perjalanan pergi pulang dari rumah ke sekolah setiap hari
.

Untuk itu Ia harus menempuh jarak tertentu, baik itu searah maupun berlawa
nan ar
ah

dari rumah ke sekolahnya.

Kalian dapat memperhatikan

Gambar 1 di atas,

bahwa semua

jarak yang mungkin akan ditempuh oleh

anak tersebut
dinyatakan dalam bilangan postif.

Apakah kalian sudah mulai memahami konsep jarak?
Dalam kehidupan sehari
–
hari,
serin
gkali kita dihadapkan pada permasalahan yang

berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara
rumah denga
n

sekolah atau

kota yang satu dengan kota yang lainya. Dalam kaitannya dengan

pengukuran jarak antara dua tempat ini,

terlih
at
sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini

nilainya
selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat
nilainya

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
9
tidak pernah negatif.

Sehingga diperlukan konsep nilai mutlak, yaitu nilai non negatif dari

suatu bilangan
.
Definisi

di atas dapat diungkapkan dengan kalimat sehari
–
hari seperti berikut ini. Nilai

mutlak s
uatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak

dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu.
Berdasarkan defin
isi

tersebut maka:
a) |5| = 5, karena 5 > 0 (5 adalah bilangan positif).
b) |
–
3| =

–
(
–
3) = 3, karena

–
3 < 0 (
–
3 adalah bilangan negatif).
Contoh
1
:
Tentukan

|x + 2| untuk x bilangan real
dengan menggunakan definisi nilai mutlak
!
Alternatif Penyelesaian
:
Berdasarkan definisi nilai mutlak maka:
{
x
+
2
jika
x
+
2
≥

–
(
x
+
2
)
jika
x
+
2
<


{
x
+
2
jika
x
≥
−
2
–
x
−
2
jika
x
<
−
2
Contoh 2:
Pada musim penghujan beberapa waktu yang lalu, telah terjadi kenaikan debit air di

sungai Citarum.

A
mbang batas normal
debit air di sungai tersebut berkisar 400 m
3
/detik,

sebagai acuan untuk menentukan status kewaspadaan banjir di sungai itu
.

Tentukan

fungsi nilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan

dalam liter/detik.
Al
ternatif Penyelesaian:
Misalkan: x adalah debit air sungai, ambang bata
s normal debit air = 400 m
3
/detik. Maka

fungsi nilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan

dalam liter/detik adalah:

f
(x) = y = |x

–
400|.
Peserta didik
sekalian,

apakah kalian mulai memahami konsep

jarak? Apakah kalian tel
ah

mema
hami konsep nilai mutlak? Bagaimana pula pemahaman kalian tentang konsep jarak

yang berkaitan dengan nilai mutlak? Jika kalian belum memahami kosep
–
konsep tersebut

sepenuhnya sil
ahkan kalian membaca kembali materi ini, kalian juga dianjurkan untuk

m
embaca dari sumber bacaan lain. Selain bermanfaat untuk men
a
mbah wawasan dan

pengetahuan kalian, kegiatan tersebut juga akan meningkatkan kemampuan literasi

kalian.
2.
Menggambar Grafik F
ungsi Nilai Mutlak
Untuk lebih memperjelas konsep nilai mutlak dan mem
berikan gambaran secara

geometris, akan lebih baik jika kita dapat membuat gambar grafik fungsi nilai mutlak.

Sebelumnya kita buat tabel nilai
–
nilai fungsi nilai mutlak dari beberapa ti
tik bantu.

Silahkan mencermati tabel berikut.

Misalkan x bilangan real, |x| dibaca nilai mutlak x, dan didefinisikan

sebagai
|x|

=

{
𝑥
,
𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑥
≥

−
𝑥
,
𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑥
<

Definisi
Nilai Mutl
ak

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
10
Tabel 1. Koordinat titi
k bantu yang memenuhi fungsi y = |x|
Untuk x < 0
Untuk x ≥ 0
x
…
–
5

–
4
–
3
–
2
–
1

1
2
3
4
5
…
y
…
5
4
3
2
1

1
2
3
4
5
…
(x,y)
…
(
–
5,5)
(
–
4,4)
(
–
3,3)
(
–
2,2)
(
–
1,1)
(0,0)
(1,1)
(2,2)
(3,3)
(4,4)
(5,5)
…
Sebagaimana yang telah diuraikan sebelumnya, maka kita mengisi nilai y

= |x|

sesuai

denga
n definisi nilai mutlak. Titik
–
titik yang kita peroleh pada tabel, kemudian disajikan

dalam sistem koordinat kartesius sebagai berikut
.
Gambar 2.

Grafik Fungsi y
=

f(x)
= |x|
Bagaimana sekarang? Apakah kalian mulai memahami gambar grafik fungsi nilai m
utlak?

Apakah kalian mampu menggambarnya sendiri?
Untuk menambah kemampuan kalian

dalam menggambar grafik fungsi nilai mutlak, marilah cermati contoh selanjutnya.
Con
toh: Gambarlah grafik y = |x

–
2|.
Alternatif Penyelesaian:
Langkah pertama kalian harus
membuat tabel nilai fungsi mutlak y = |x

–
2| dari beberapa

titik bantu.
Tabel 2. Koordinat titik bantu yang memenuhi fungsi y = |x
–
2
|
Untuk x < 2
Untuk x ≥ 2
x
–
3
–
2
–
1

1
2
3
4
5
6
7
y =

|x

–
2|
5
4
3
2
1

1
2
3
4
5
(x,y)
(
–
3,5)
(
–
2,4)
(
–
1,3)
(0
,2)
(1,1)
(2,0)
(3,1)
(4,2)
(5,3)
(6,4)
(7,5)
Langkah kedua,

kita mengisi nilai y = |x

–
2| sesuai dengan definisi nilai mutlak.

Langkah

selanjutnya, t
itik
–
titik yang kita peroleh pada tabel, kemudian disajikan dalam sistem

koordinat kartesius sebagai be
rikut.

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
11
Gambar

3
.

G
rafik

F
ungsi y = f(x) = |x

–
2|
Gambar

3
di atas adalah gambar grafik fungsi y = |x

–
2| untuk interval nilai

–
3 ≤ x ≤ 7.

Bagaimana, mudah bukan? Jika kalian masih belum memahami, silahkan mengulang

kembali langkah
–
langkah menggambar

grafik fungsi ni
lai mutlak ini. Kalian pasti mam
pu

men
gerjakan
sendiri dengan baik dan benar.
Menurut kalian bagaimana penerapan materi

ini dalam kehidupan sehari
–
hari selain permasalahan jarak dan waktu?
C.
Rangkuman
1.
Nilai mutlak adalah nilai bilangan yang selalu positif. Nilai mutlak suatu bilangan

positif atau nol

adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu

bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu.
2.
Langkah
–
langkah untuk membuat grafik fungsi nilai mutlak adalah, (1) membuat

tabel

fungsi

nilai mutlak dari beberapa ti
tik bantu, (2) me
ngisi

tabel fungsi nilai

mutlak
sesua
i dengan definisi nilai mutlak, (3)
t
itik
–
titik yang

diperoleh pada tabel
kemudian disajikan dalam sistem koordinat kartesius.
D.
Latihan Soal
Soal Essay
1.
Tentukan |
–
2x + 5| untuk x bilangan real

dengan menggunakan de
finisi nilai mutlak!
2.
Tentukanlah nilai mutlak untuk bentuk

|
3
7
−
2
5
|
.
3.
Apakah nilai x ada untuk persamaan

–
5|3x

–
7| + 4 = 14? Jika ada jelaskan cara

mencarinya, jika tidak ada mengapa?

4.
|k| = k, untuk setiap k bilangan asli, apakah

pernyataan tersebut bernilai benar?

Mengapa? Berikanlah alasan yang logis atas jawab
an tersebut.
5.
Suatu grup musik merilis album, penjualan per minggu (dalam ribuan) dinyatakan

dengan model s(t) = |2t

–
3|, t waktu (dalam minggu).
(a)
Gambarkan grafik fungsi pe
njualan s(t).
(b)
Hitunglah total penjualan album selama 44 minggu pertama.

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
12
Pembahasan
Soal Latihan
1.
Alternatif Penyelesaian:
|
−
2x
+
5
|
=
{
−
2x
+
5
,
jika
−
2
x
+
5
≥

−
(
−
2x
+
5
)
,
jika
−
2
x
+
5
<

|
−
2
𝑥
+
5
|
=
{
−
2
𝑥
+
5
,
jika
𝑥
≥
5
2
2
𝑥
−
5
,
jika
𝑥
<
5
2
(Skor 15
)
2.
Alternatif Penyelesaian:
|
3
7
−
2
5
|
=
|
15
35
−
14
35
|
=
1
35
(Skor 15)
3.
Alternatif Penyelesaian:
–
5|3x

–
7| + 4 = 14
–
5|3x

–
7| = 14

–
4

–
5|3x

–
7| = 10
|3x

–
7| =

–
50
–
50 < 0, sesuai definisi nilai mutlak, jika c < 0 ma
ka persamaan tersebut tidak

memiliki penyelesaian.
(Skor 20)
4.
Alternatif Penyelesaian:
|k| = k, untuk setiap k bilangan asli a
dalah benar. Karena bilangan asli adalah

bilangan bulat positif yang dimulai dari angka 1.
(Skor 15)
5.
Alternatif Penyelesaian:
(
a)

Tabel 3. Koordinat titik bantu yang memenuhi fungsi s(t) = |2t

–
3|, t waktu

(dalam minggu)
t < 0
t ≥ 0
t
…
–
2
–
1

1
2
3
4
5
…
S(t)
…
2
5

1
2
3
4
5
…
(t, s(t))
…
(
–
2,2)
(
–
1,1)
(0,0)
(1,1)
(2,2)
(3,3)
(4,4)
(5,5)
…
Grafik fungsi s(t) = |2t

–
3|

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
13
(b).

Total penjualan album selama 44 minggu pertama:
s(t) = |2t

–
3|, t (dalam minggu) = 44
s
(44) = |2(44)

–
3|

s(44) = |88

–
3|
s(44) = |85| = 85
(Skor 35)
E.
Penilaian Diri
Jawablah pertanyaan
–
pertanyaan berikut dengan jujur dan bertanggungjawab!
No.
Pertanyaan
Jawaban
1
Apakah

Saya
telah memahami konsep nilai mutlak?
Ya
Tidak
2
Apakah

Saya
dapat

menerapkan definisi nilai mutlak

untuk menentukan variabel dari suatu fungsi nilai

mutlak ?
Ya
Tidak
3
Apakah

Saya
dapat

menggambar

grafik fungsi nilai

mutlak?
Ya
Tidak
4
Apakah

Saya
dapat

menyusun fungsi nilai mutlak

dari s
ebuah soal cerita?
Ya
Tidak
Bila ada jawaban “Tidak”, maka segeralah kalian lakukan review pembelajaran, terutama

pada bagian yang masih

“Tidak”
Nilai Latihan soal ini adalah
: jumlah semua skor dari setiap nomor

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
14
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2
PERSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL
A.
Tujuan Pem
belajaran
Setelah kegiatan pembelajaran

2
ini diharapkan

peserta didik mampu:
1.
m
emahami sifat
–
sifat suatu

persamaan
nilai mutlak
linear satu variabel
,
2.
m
enggunakan sifat
–
sifat nilai mutlak untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak

linear satu variabel
,
3.
m
e
lakukan operasi aljabar yang melibatkan

persamaan nilai mutlak linear satu

variabel
serta penggunaannya untuk menyelesaikan masa
lah kontekstual dalam

kehidupan sehari
–
hari
dengan terampil.
B.
Uraian Materi
1.
Sifat
–
sifat Nilai Mutlak

Peserta didik sekalian,
apakah kalian masih penasaran dengan penggunaan fungsi nilai

mutlak? Apakah kalian tertarik untuk memahami lebih lanjut tentang
fungsi nilai mutlak?

Baiklah kita akan melanjutkan kegiatan pembelajaran dengan membahas tentang sifat
–
sifat fungsi nilai mutla
k. Ada dua macam penerapan fungsi nilai mutlak linear satu

variabel, yaitu persamaaan dana pertidaksamaan. Kali ini kita akan me
mbahas tentang

sifat
–
sifat nilai mutlak linear satu variabel
yang sering digunakan untuk menyelesaikan

persamaan nilai mutlak li
near satu variabel
.

Selain dari definisi nilai mutlak yang sudah

kalian pelajari sebelumnya, terdapat b
eberapa sifat nilai mutlak yang sering digunakan

dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan

persamaan

nilai mutlak

linear satu

variabel

ialah
sebagai be
rikut.
1.
|x| =


x
2
2.
|a
.
b| = |a|
.
|b|
3.
|
𝑎
𝑏
|
=
|
𝑎
|
|
𝑏
|
,
𝑏
≠

Selain sifat
–
sifat di atas, ada hal lain yang perlu kalian ketahui pada bentuk persamaan

nilai mutlak linear satu variabel, yaitu persamaan tersebut dapat diperoleh dari

persamaan ata
u fungsi nilai mutlak yang diberikan. Misalnya, jika diketahui |ax + b| =
c,

untuk a, b, c

∈

R, maka menurut definisi nilai mutlak diperoleh persamaan ax + b = c atau

ax + b =

–
c.
Untuk lebih jelasnya bagaimana menerapkan sifat
–
sifat di atas, marilah mence
rmati

contoh soal berikut.
Contoh 1
.
Berdasarkan salah satu sifat nila
i mutlak, selesaikanlah persamaan

nilai mutlak linear satu

variabel

|2x

–
1| = 7.
sifat nilai mutlak yang melibatkan persamaan nilai mutlak linear satu variabel

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
15
Alternatif Penyelesaian:
Berdasarkan sifat (1) maka:
√
(
2
𝑥
−
1
)
2
=
7
(
√
(
2
𝑥
−
1
)
2
)
2
=
7
2
(
2
𝑥
−
1
)
2
=
7
2
4x
2
–
4x + 1 = 49
4x
2
–
4x

–
48 = 0
x
2
–
x

–
12 = 0, faktorkan
persamaan kuadrat di ruas kiri
(x

–
4)(x + 3) = 0, diperoleh
x = 4 atau x =

–
3

Jadi penyelesaiannya adalah x = 4 atau x =

–
3
Nah,

mudah bukan? Ternyata penerapan sala
h satu sifat nilai mutlak tidak terlalu sulit ya.

Tentu kalian dapat mencermati bahwa untuk menyelesaikan soal ini
kemampuan pra

syarat yang harus kalian kuasai adalah kemampuan operasi dasar perhitungan dan

pemfaktoran

persamaan kuadrat.

Bagaimana, apakah
masih diperlukan

contoh soal lain

untuk

memperjelas pemahaman k
alian? Baiklah, silahkan cermat
i contoh soal berikut.
Contoh 2
.
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |2x

–
1| = |x + 3|.
Alternatif Penyelesaian:
√
(
2
𝑥
−
1
)
2
=
√
(
𝑥
+
3
)
2
(
√
(
2
𝑥
−
1
)
2
)
2
=
(
√
(
𝑥
+
3
)
2
)
2
(
2
𝑥
−
1
)
2
=
(
𝑥
+
3
)
2
4x
2
–
4x + 1 = x
2
+ 6x + 9
x
2
–
10x

–
8 = 0, faktorkan persamaan kuadrat di ruas kiri
(x

–
4)(3x + 2)

= 0, diperoleh
x = 4 atau

x

=

–
2/3

Jadi penyelesaiannya adalah x = 4 atau x =

–
2/3
Bagaimana

dengan contoh kedua ini? Pasti kalian sudah lebih memahami penggunaan

sifat
–
sifat nilai mutlak untu menyelesaikan persamaan nilai mutlak linear satu variabel ya.

Jika pun kalian belum me
mahami dengan baik, jangan ragu untuk mengulang kembali

materi yang te
lah dipelajari sampai kalian betul
–
betul memahami dengan baik.
2.
Penerapan Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
Peserta didik sekalian, tahukah kalian bahwa persamaan nilai mutlak
sangat banyak

manfaat dan penerapannya dalam kehidupan sehari
–
hari.
T
entu saja penerapannya harus

menggunakan sifat
–
sifat nilai mutlak yang akan membantu menyelesaikan persamaan

nilai mutlak linear satu variabel.

Jadi sebelum kalian menggunakan persamaan

nilai

mutlak linear satu variabel untuk menyelesaikan permasalahan dal
am kehidupan sehari
–
hari, kalian harus memahami sifat
–
sifat nilai mutlak. Nah, bagaimana penerapan

persamaan nilai mutlak linear satu variabel dalam kehidupan sehari
–
hari? Marilah

mencer
mati contoh berikut.
Contoh

3
.
Waktu r
ata
–
rata yang diperlukan seorang siswa untuk menyelesaikan soal
–
soal

matematika adalah 3 menit.
Catatan waktu pengerjaan siswa lebih cepat atau lebih lambat

1 menit dari waktu rata
–
rata.
Tulislah sebuah persamaan untuk menampilkan situasi ini,

kemudian sel
esaikan persamaan itu untuk menentukan waktu tercepat dan waktu

terlamanya.
Semua ruas dibagi 4
, diperoleh:

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
16
Gambar 3. Ilustrasi Siswa

Belajar
(Sumber:

https://cerdasnurani.com/ppdb/cerdas
–
nurani
–
batujajar/waktu
–
jam
–
belajar
–
2/
)
Alternatif Penyelasaian:
Misalkan catatan waktu pengerjaan siswa adalah x menit
.

Karena catatan waktu siswa

bisa lebih cepat atau lebih lambat 1 menit dari waktu rata
–
rata, yaitu
3 menit, dan

lamanya waktu itu tidak mungkin bernilai

negatif, maka model dalam bentuk persamaan

nilai mutlak
adalah:
|x

–
3| = 1.
Untuk menentukan waktu tercepat dan waktu terl
ama, kita tinggal menyelesaikan

persamaan nilai mutlak tersebut.
Kuadratkan k
edua ruas d
ari persamaan

|x

–
3
| = 1

untuk

menghilangkan tanda nilai mutlak, sehingga diperoleh
|
x

–
3
| = 1
(
x

–
3
)² = 1²
x²

–
6x + 9 = 1
x²

–
6x + 9

–
1 = 0
x²

–
6x + 8 = 0
(x

–
2) (x

–
4) = 0
x

–
2 = 0
atau x

–
4 = 0
x = 2
x = 4
Dengan menguji s
etiap nilai x ke dalam persamaan |x

–
3| =
1, mak
a:
untuk x = 2
|x

–
3| = 1
|2

–
3| = 1
|
–
1| = 1
1 = 1 (benar)
untuk x = 4
|x

–
3| = 1
|4

–
3| = 1
|1| = 1
1 = 1 (benar)
Jadi catatan waktu tercepat siswa dalam mengerjakan soal adalah 2 menit dan waktu

terl
ama adalah 4 menit.
Jika kalian adalah seo
rang guru, apakah informasi ini penting?

Tindakan apakah yang dapat kalian lakukan dengan informasi tersebut untuk

meningkatkan prestasi siswa?

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
17
Contoh

4
.
Gamb
ar 4. Ilustrasi Jarak
(Sumber:

https://blog.ruangguru.com/menyelesaikan
–
persamaan

–
linear
–
mutlak
)
Sepulang sekolah, Rogu ingin ke rumah Rangga. Namun ia juga ingin membeli buku. Tapi,

Rogu lupa

letak toko bukunya. Ia han
ya tahu bahwa ada
toko buku di sekitar rumahnya.

Padahal jika toko bukunya lebih dekat dari rumah Rangga, Rogu pasti memilih membeli

buku terlebih dahulu. Rogu ingat, sewaktu jam istirahat, Rangga bercerita bahwa jarak

sekolah ke
rumahnya adalah 5 km. Ran
gga juga memberi tahukan bahwa memang ada

toko buku pada
jarak
1 km dari rumahnya. Tapi di mana tepatnya letak toko buku itu bila

dihitung dari sekolah?
Alternatif Penyelesaiannya:
Misalkan jarak toko buku dari sekolah adalah x,
maka persamaan linear mut
laknya yaitu:

| x

–
5 | = 1
(x

–
5)² = 1²
x
2
–
10x + 25 = 1
x
2
–
10x + 25
–
1

=

x
2
–
10x + 24

= 0
(x

–
6)(x

–
4) = 0

x =

6
atau
x = 4
Jadi, ada

dua kemungkinan letak toko buk
u. Pertama yaitu 6 km dari sekolah Rogu dan

yang kedua
yaitu 4 km dari sekolahnya.
Jika kalian sebagai Rogu, apa yang akan kalian

lakukan?
Mengapa?
Apakah kalian semakin memahami materi ini? Dapatkah kalian membuat penerapa
n

materi ini dalam permasalaha
n lain selain dari dua contoh di atas? Jika kalian masih

kesulitan untuk membuatnya cobalah mengulang kembali

mempelajari materi di atas.

Jangan mudah menyerah dan putus asa, tetap semangat.

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
18
C.
Rangkuman
1.
Sifat
–
sifat nilai

mutlak yang melibatkan persamaan n
ilai mutlak linear satu variabel

adalah sebagai berikut.
i.
|x| =


x
2
ii.
|a.b| = |a|. |b|
iii.
|
𝑎
𝑏
|
=
|
𝑎
|
|
𝑏
|
,
𝑏
≠

2.
Persamaan linear satu variabel dapat diperoleh dari persamaan atau fungsi nilai

mutlak yang diberikan. Misalnya, jika d
iketahui |ax + b| = c, untuk a, b, c

∈

R, maka

menurut definisi nilai mutlak diperoleh persamaan ax + b = c

atau ax + b =

–
c.

3.
Penyelesaian persamaan nilai mutlak |ax + b| = c ada, jika c ≥ 0.
D.
Latihan Soal
Soal

Pilihan Ganda
1.
Jika
|x|=2
, maka

nilai
x
yang memenuhi adalah… .
A.
1
atau
2
B.
−1
atau
2
C.
−2
atau
2
D.
−2
E.
2
2.
Himpunan penyelesaian dari
|2x
+
3|
=
9
adalah… .
A.
{−6,
3}
B.
{−3,
3}
C.
{−3,
6}
D.
{2,
3}
E.
{−3,
2}
3.
Jika
|x
+
1|
+
2x
=
7
, maka nilai
x
yang memenuhi adalah … .
A.
{
–
1, 4}
B.
{
–
4, 1}
C.
{
–
4,

–
1}
D.
{4, 1}
E.
{4,

–
1}
4.
Nilai
x
yang memenuhi persamaan
|2x
−6
|
=
−2
adalah
… .
A.
2
B.
2
atau
4
C.
−2
atau
4
D.
4
E.
tidak
ada
yang
memenuhi.
5.
Himpunan pen
yelesaian dari
|4x

–
2| = |x + 7|
adalah… .
A.
{−3,1}
B.
{
–
2, 7
}
C.
{−1,3}
D.
{−1,5}
E.
{−5,−1}

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
19
6.
Nilai x yang memenuhi
|3x
−
6|−|x
+
2|
=

adalah… .
A.
2
atau
3
B.
1
atau
4
C.
2
atau
4
D.
1
atau
3
E.
1
atau
2
7.
Himpunan penyelesaian dari
|
𝑥
+
7
2
𝑥
−
1
|
=
2
adalah… .
A.
{−1,0}
B.
{−1,3}
C.
{1,3}
D.
{2,3}
E.
{−1,−3}
8.
Tentukan nilai
x
yang yang memenuhi persamaan |2x

–
5| = 3 + 2 |7

–
x|.
A.
11/2
B.
–
3/2
C.
–
11/2
D.
7/2
E.
3
/2

9.
Perhatikan gambar

5

berikut.
Gambar 5. Ilustrasi Jarak Minimarket
(Sumber:

https://mathcyber1997.com/soal
–
dan
–
pembahasan
–
soal
–
cerita
–
nilai
–
mutlak/
)
Sebuah perusahaan sudah mendirikan minimarket A di kilometer ke
–
20
pada suatu

jalan dan minimarket B di kilometer ke
–
50
pada jalan yang sama. Perusahaan t
ersebut

ingin

mendirikan sebuah minimarket lagi di jalan tersebut. Jika perusahaan

menginginkan minimarket yang baru memiliki jarak lebih dari
20
km terhitung dari

minimarket B, pada kilometer berapakah minimarket yang baru mungkin didirikan?
A.
Lebih dari km
–
70
.
B.
Kurang dari km
–
30
.
C.
Kurang dari km
–
20
atau lebih dari km
–
70
.
D.
Kurang dari km
–
30
atau lebih dari km
–
70
.
E.
Antara km
–
30
dan km
–
70
.
10.
Ketinggian normal permukaan air
Sungai Bengawan
adalah
120
cm.

Ketinggian

permukaan air
Sungai Bengawan
dapat berubah
–
ubah pad
a mus
im kemarau atau

musim penghujan. Jika penyimpangan ketinggian permukaan air sungai tersebut

kurang dari
11
cm, maka interval ketinggian
Sungai Bengawan
adalah
… .
A.
kurang dari
109
cm
B.
lebih dari
120
cm
C.
lebih dari
131
cm
D.
antara
109
cm dan
131
cm
E.
antara
10
9
cm dan
120
cm

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
20
Kunci dan Pembahasan
Kunci

Latihan Soal Pilihan Ganda
1.
C
2.
A
3.
B
4.
E
5.
C
6.
B
7.
B
8.
A
9.
D
10.
D
Pembahasan
1.
Alternatif Penyelesaian:
|x|=2,
sesuai
definisi
nilai
mutlak
maka
diperoleh:
Untuk
x
≥
0,
maka
x
=
2
Untuk
x
<
0,
maka
–
x
=
2
atau
x
=
–
2
Jadi
ni
lai
x
yang
memenuhi
adalah
2
atau
–
2.
2.
Alternatif Penyelesaian:
|2x
+
3|
=
9,
sesuai
definisi
nilai
mutlak
maka
diperoleh:
Untuk
x
≥
0,
maka
2x
+
3
=
9
2x
=
9
–
3
2x
=
6
x
=
3
Untuk
x
<
0,
maka
–
(2x
+
3)
=
9
–
2x
–
3
=
9
–
2x
=
9
+
3
–
2x
=
12
x
=
–
6
Jadi
nilai
x
yang
memenuhi
adalah
2
atau
–
6.
3.
Alternatif Penyelesaian:
Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) 2x + 3 = 5
2x = 5

–
3
2x = 2
<==>
x = 1
(**
) 2x + 3 =

–
5
2x =

–
5

–
3
2x =

–
8
<==> x =

–
4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {
–
4, 1}
4.
Alternatif Penyelesaian:
Sesuai definisi, terdapat

nilai
x
yang memenuhi persamaan
nilai mutlak jika c ≥ 0,

karena c =

−2
< 0, maka tidak ada

nilai
x
yang memenuhi persamaan
|2x−6
|
=
−2.

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
21
5.
Alternatif Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persamaan diatas, menggunakan dua kemungkinan

peyelesaian yaitu:
(i)
4x

–
2 = x + 7
x = 3
(ii)
4x

–
2 =

–
( x +

7)
x=

–
1
Jadi penyelesian persamaan |4x

–
2| = |x + 7|

adalah x = 3 atau x=

–
1
6.
Alternatif Penyelesaian:
|3x
−
6|−|x
+
2|
=

|3x
−
6|
=
|x
+
2|
(3x

–
6)² = (x + 2)²
9x
2
–
36x + 36 = x
2
+ 4x + 4
8x
2
–
40x + 32 = 0 (masing

–
masing ruas dibagi 8)
x
2
–
5x + 4 = 0
(x

–
4)(x

–
1) = 0
x = 4 atau x = 1

Jadi nilai x yang memenuhi
|3x
−
6|−|x
+
2|
=

adalah x = 4 atau x = 1
7.
Alternatif Penyelesaian:
|
𝑥
+
7
2
𝑥
−
1
|
=
2
Berdasarkan sifat
–
sifat pertidaksamaan nilai mutlak diperoleh
|
𝑥
+
7
|
|
2
𝑥
−
1
|
=
2
|
𝑥
+
7
|
=
2
|
2
𝑥
−
1
|
|
𝑥
+
7
|
=
|
4
𝑥
−
2
|
(x + 7)² = (4x

–
2)²
x
2
+
14
x
+ 49 = 16
x
2
–
16x + 4
15
x
2
–
30x

–
45 = 0 (masing
–
masing ruas dibagi 1
5)
x
2
–
2x

–
3 = 0
(x

–
3)(x + 1) = 0
x = 3 atau x =

–
1

Jadi himpunan penyelesaian dari
|
𝑥
+
7
2
𝑥
−
1
|
=
2
adalah {
–
1, 3}
8.
Alternatif Penyelesaian:
|2x + 5| = 3 + 2|7
–
x|
(2x

–
5)² = (3 + 2[7

–
x])²
(4
x
2
–
20
x
+ 25) = (9 + 12 [7

–
x
] + 4 [49

–
14
x
+
x
2
])
(4
x
2
–
20
x
+ 25) = (9 + [84

–
12
x
] + [196

–
56
x
+ 4
x
2
])
(4
x
2
–
20
x
+ 25) = (289

–
68
x
+ 4
x
2
)

x
2
+ 48
x
+ 264 = 0

12 (4
x
–
22) = 0
x
= 11/2
9.
Alternatif Penyel
esaian:
Diketahui minimarket B terletak pada km
–
50
. Misalkan
x
menyatakan letak

minimarket baru pada jalan tersebut. Karena minimarket ini dibangun dalam jarak

lebih

dari
20
km

terhitung

dari

minimarket

B,

maka

kita

peroleh
pertidaksamaan
nilai mutlak:
|x
−50|
>
20.
Berdasarkan sifat
pertidaksamaan
nilai mutlak, diperoleh

x−50
>
20
⇔
x
>
70
atau

x−50
<−20
⇔
x
<
30
.

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
22
Jadi, minimarket baru tersebut dapat dibangun di jalan dengan letak kurang dari

km
–
30
atau lebih dari km
–
70
.
10.
Alternatif Penyelesaian:
Diketahui

ketinggian normalnya
120
cm dan penyimpanga
n ketinggian kurang

dari
11
cm. Misalkan
x
menyatakan ketinggian air yang mungkin tercapai dalam

satuan cm. Kita peroleh
pertidaksamaan
nilai mutlak:
|x−120|
<
11
Berdasarkan

sifat
pertidaksamaan
nilai

mutlak,

−11
<
x−120
<
11
Tambahkan
120
pada ketiga rua
s sehingga menjadi:

109
<
x
<
131
. Jadi, interval

ketinggian air di
Sungai Bengawan
adalah antara
109
cm dan
131
cm.
E.
Penilaian Diri
Jawablah pertanyaan
–
pertanyaan berikut
dengan jujur dan bertanggungjawab!
No.
Pertanyaan
Jawaban
1
Apakah

Saya
telah memahami sifat
–
sifat nilai

mutlak?
Ya
Tidak
2
Apakah Saya dapat menerapkan sifat
–
sifat nilai

mutlak untuk menyelesaikan persamaan linear nilai

mutlak satu variabel?

Ya
Tidak
3
Apakah Saya dapat menyusu
n

persamaan linear nilai

mutlak satu variabel
dari sebuah soal cerita
?
Ya
Tidak
4
Apakah Saya dapat menyelesaikan
persamaan linear

nilai mutlak satu variabel
dari sebuah soal cerita?
Ya
Tidak
Bila ada
jawaban “Tidak”, maka segeralah kalian lakukan review pembelajaran, terutama

pada bagian yang masih “Tidak”
.
Nilai Latihan soal ini ad
alah:
𝑱𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉
𝒋𝒂𝒘𝒂𝒃𝒂𝒏
𝒃𝒆𝒏𝒂𝒓
𝟏𝟎
𝒙
𝟏𝟎𝟎

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
23
KEGIATAN PEMBELAJARAN 3
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL
A.
Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan p
embelajaran 3 ini diharapkan peserta didik mampu:
1.
m
emahami sifat
–
sifat suatu pertidaksamaan nilai mutlak linear satu

variabel
,
2.
m
enggunakan sifat
–
sifat nilai mutlak untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai

mutlak linear satu variabel
,
3.
m
elakukan operasi alja
bar yang melibatkan

pertidaksamaan nilai mutlak linear satu

variabel
serta penggunaannya untuk menyelesaikan masalah

kontekstual dalam

kehidupan sehari
–
hari
dengan terampil.
B.
Uraian Materi
1.
Sifat
–
sifat Nilai Mutlak

Peserta didik sekalian, jika di kegiat
an pembelajaran 2 kalian telah mempelajari sifat
–
sifat

persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan

penerapannya dalam kehidupan sehari
–
hari, maka pada kegiatan pembelajaran 3 kali ini kita akan mempelajari sifat
–
sifat

pertidaksamaan nilai mutlak linea
r satu variabel dan penerapannya dalam kehidupan

sehari
–
hari. Pasti kalian penasaran bukan? Baiklah, ka
li ini kita akan membahas tentang

sifat
–
sifat nilai mutlak linear satu variabel yang sering digunakan untuk menyelesaikan

pertidaksamaan nilai mutlak lin
ear satu variabel.

Selain dari definisi nilai mutlak yang

sudah kalian pelajari sebelumnya, terdapat be
berapa sifat nilai mutlak yang sering

digunakan dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan pertidaksamaan nilai mutlak

linear satu variabel ialah sebaga
i berikut.
Untuk setiap a,
b,
x bilangan real, berlaku:
2.
Jika a ≥ 0 dan |x| ≤ a, maka

–
a ≤ x ≤ a.
3.
Jika a < 0 dan |x| ≤ a, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi

pertidaksamaan.
4.
Jika |x| ≥ a, dan a > 0 maka x ≥ a atau x ≤

–
a.
5.
|a + b| ≤ |a| + |b|

dan

|a

–
b| ≥ |a|

–
|b|
Selain sifat
–
sifat di atas, ada hal lain yang perlu kalian ketahui pada bentuk

per
tidak
samaan nilai mutlak linear satu variabel, yaitu per
tidak
samaan tersebut dapat

diperoleh dari persamaan atau fungsi nilai mutlak yang diberikan.
Unt
uk lebih jelasnya

bagaimana menerapkan sifat
–
sifat di atas, marilah mencermati contoh soal berikut.
Contoh 1:
Berdasarkan salah satu sifat nilai mutlak, selesaikanlah persamaan

nilai mutlak linear satu

variabel

|2x

–
1| <
7.
sifat nilai mutlak yang melibatkan per
tidak
samaan nilai mutlak linear satu

variabel

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
24
–
2/3
Alternatif Penyelesaian
:
Berdasarkan sifat (1) maka:
−
7
<
(
2
𝑥
−
1
)
<
7
−
7
+
1
<
2
𝑥
<
7
+
1
−
6
<
2
𝑥
<
8
−
3
<
𝑥
<
4
Jadi penyelesaiannya adalah

−
3
<
𝑥
<
4
Nah, mudah bukan? Ternyata penerapan salah satu sifat nilai mutlak tidak terlalu sulit ya.

Tentu kalian

dapat mencermati bahwa untuk menyelesaikan soal ini kemampuan pra

syar
at yang harus kalian kuasai adalah kemampuan operasi dasar perhitungan.

Bagaimana, apakah masih diperlukan contoh soal lain untuk memperjelas pemahaman

kalian? Baiklah, silahkan cermati

contoh soal berikut.
Contoh 2:
Tentukan nilai x yang memenuhi persama
an |2x

–
1|

≥
|x + 3|.
Alternatif Penyelesaian:
√
(
2
𝑥
−
1
)
2
≥
√
(
𝑥
+
3
)
2
(
√
(
2
𝑥
−
1
)
2
)
2
≥
(
√
(
𝑥
+
3
)
2
)
2
(
2
𝑥
−
1
)
2
≥
(
𝑥
+
3
)
2
4x
2
–
4x + 1

≥
x
2
+ 6x + 9
x
2
–
10x

–
8

≥
0, faktork
an persamaan kuadrat di ruas kiri
, tentu
kan pembuat nol nya
(x

–
4)(3x + 2) = 0, diperoleh
x = 4 atau x =

–
2/3

I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
–
5
–
4
–
3
–
2

1
2
3
4
5
Gambar 6. Garis Bilangan
(Sumber: Dokumentasi Pribadi)
Dari garis

bilangan
diperoleh
interval

nilai x

yang memenuhi a
dalah: x ≤

–
2/3 atau x ≥ 4
.
Bagaimana dengan contoh kedua ini? Pasti kalian sudah lebih memahami penggunaan

sifat
–
sifat nilai mutlak untu menyelesaikan per
tidak
samaan nilai mutlak linear satu

variabel ya. Jika pun kalian belum memahami dengan baik, ja
ngan ragu untuk mengulang

kembali materi yang telah dipelajari sampai kalian betul
–
betul memahami dengan baik.
2.
Penerapan Per
tidak
samaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
Peserta didik sekalian, tahukah kalian bahwa

selain persamaan nilai mutlak,

per
tidak
samaan nilai mutlak

juga

sangat banyak manfaat dan penerapannya dalam

kehidupan sehari
–
hari.

Jangan lupa
penerapannya harus menggunakan sifat
–
sifat nilai

mutlak yang akan m
embantu menyelesaikan per
tidak
samaan nilai mutlak linear satu

variabel. Jadi sebelum
kalian menggunakan per
tidak
samaan nilai mutlak linear satu

variabel untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari
–
hari, kalian harus

memahami sifat
–
sifat nilai m
utlak. Nah, bagaimana penerapan per
tidak
samaan nilai

mutlak linear satu variabel dal
am kehidupan sehari
–
hari? Marilah mencermati contoh

berikut.
Semua ruas dibagi

2, diperoleh:

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
25
Contoh 1:
Gambar 3. Ilustrasi

Mobil
(Sumber:

https://yos3prens.wordpress.com/2013/11/2
0/5
–
soal
–
dan
–
pembahasan
–
penerapan
–
nilai
–
mutlak/
)
Pada mobil
–
mobil baru, angka kilometer per liternya tergantung
pada bagaimana mobil

itu digunakan, apakah sering digunakan untuk perjalanan jarak jauh ataukah hanya untuk

perjalanan jarak dekat (dalam kota
). Untuk suatu merek mobil tertentu, angka kilometer

per liternya berkisar di angka 2,8 kurang atau lebihnya dari
12 km/L. Berapakah

jangkauan dari angka km/L dari mobil tersebut?
Alternatif Penyelasaian:
Misalkan
m
adalah angka km/L dari mobil tersebut.
Maka, selisih
m
dan 12 tidak boleh

lebih dari 2,8, atau dapat dituliskan ke dalam |
m
–
12| ≤ 2,8.
|
m
–
12| ≤

2,8

–
2,8 ≤ m

–
12 ≤ 2,8
9,2 ≤ m ≤ 14,8
Sehingga jangkauan dari angka km/L mobil tersebut adalah dari angka 9,2 km/L sampai

14
,8 km/L.

Jika kalian akan membeli mobil baru, apakah informasi tersebut penting untuk

diketahui?

Mengapa?
Contoh 2:

Gambar 4. Ilustrasi

Ikan di Teluk
(
Sumber:

https://yos3prens.wordpress.com/2013/11/20/5
–
soal
–
dan
–
pembahasan
–
penerapan
–
nilai
–
mutlak/
)
Terdapat aturan

untuk memancing
ikan di

sebuah

Teluk

di

kota K
. Untuk menjaga

kelestarian di sekitar teluk, dianjurkan memancing di laut dengan kedalaman
optimal (
d
)

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
26
pada saat menangkap jenis ikan tertentu memenuhi pertidaksamaan 8|
d
–
150|

–
432 < 0

(dalam meter). Tentukan jangkauan kedalaman yang dianjurkan u
ntuk menangkap jenis

ikan tersebut. Jawablah dengan pertidaksamaan yang sederhana.
Alternatif Pe
nyelesaiannya:
Diketahui pertidaksamaan 8|
d
–
150|

–
432 < 0 dengan
d
adalah kedalaman

optimal(dalam meter). Sehingga,
8|
d
–
150|

–
432 < 0

8|
d
–
150| < 432 (masing
–
masing ruas ditambah 432)

|
d
–
150| < 54 (masing
–
masing ruas dikali 1
/8)

–
54 <

d
–
150 < 54

96 < d < 204

Sehingga, kedalaman yang dianjurkan untuk menangkap ikan jenis tersebut adalah di

antara 96 meter
sampai 204 meter (96 <
d
< 204)
.
Menurut kalian siapakah yang paling

membutuhkan informasi ini, nelay
an, penduduk di sekitar Teluk, ataukah petugas dari

Dinas Kelautan?
Mengapa?

C.
Rangkuman
Untuk setiap a, b, x bilangan real, berlaku:
i.
Jika a ≥ 0 dan |x| ≤ a, maka

–
a ≤ x ≤ a.
ii.
Jika a < 0

dan |x| ≤ a, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi

pertidaksamaan.
iii.
Jika |x| ≥ a, dan a > 0 maka x ≥ a atau x ≤

–
a.
iv.
|a + b| ≤ |a| + |b| dan |a

–
b| ≥ |a|

–
|b|
D.
Latihan Soal
Soal Essay
1.
Tentukan h
impunan penyelesaian dari pertidaksamaan pertidaksamaan

|
3
x
+
2
|
4
≤
1
.
2.
Tentukan

himpunan

penyelesaian

dari

pertidaksamaan

pertidaksamaan
–
1
3
|
3
+
x
2
|
<
−
2
.
3.
Sebuah pabrik membuat

silinder
mesin mobil dengan lubang berdiameter
7,9
cm.
Silinder
itu tidak akan memenuhi syarat apabila ukuran
diameter
lubangnya

menyimpang
0,0025
cm atau lebih. T
entukan panjang
diameter
lubang maksimum

dan
diameter
lubang minimum pada
silinder
tersebut.
4.
Pintu air Manggarai
merupakan bagian dari sistem pengendalian b
anjir di Jakarta.

Fungsi pintu air ini adalah mengalihkan air Sungai Ciliwung ke bagian luar Jakarta.

Ketinggian air di
pintu air Manggarai
dipertahankan sampai
750
cm. Akibat

pengar
uh cuaca, ketinggian air menyimpang lebih dari
80
cm. Tentukan interval

perubahan ketinggian air di
pintu air Manggarai
tersebut.
5.
Pada suatu hari, rata
–
rata kepadatan lalu lintas di suatu perempatan adalah 726

mobil per jam (mpj). Selama jam sibuk kepadata
n lalu lintasnya lebih tinggi,

sedangkan selama j
am longgar kepadatannya lebih rendah. Tentukan jangkauan dari

kepadatan lalu lintas di perempatan tersebut jika kepadatannya tidak pernah lebih

atau kurang 235 mpj dari rata
–
rata.

Modul

Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
27
Pembahasan
S
oal Latihan
1.
Alternatif Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan

|
3
x
+
2
|
4
≤
1
, kita harus meng
isolasi simbol nilai

mutlak di satu ruas.
|
3
x
+
2
|
4
≤
1
|3x + 2| ≤ 4 (masing
–
masing ruas dikalikan 4)
–
4 ≤ (3x + 2) ≤ 4 (Sifat pertidaksamaan)
–
6 ≤ 3x ≤ 2 (masing
–
masing ruas
ditambah (
–
2 ))
–
2 ≤ x ≤ 2/3 (masing
–
masin
g ruas dikalikan 1/3)
Sehingga, himpunan selesaian dari pertidaksamaan

|
3
x
+
2
|
4
≤
1
adalah {
x
|

–
2 ≤
x
≤

2/3,
x

R }. (Skor: 20).
2.
Alternatif Penyelesaian:
Perhatikan bahwa

–
1
3
|
3
+
x
2
|
<
−
2
merupakan pertidaksamaan kurang dari. Tetapi

jika ki
ta mengalikan kedua ruas dengan

–
3, kita harus membalik tanda

pertidaksamaannya menjadi lebih dari.
–
1
3
|
3
+
x
2
|
<
−
2
|
3
+
x
2
|
>
6
(masing
–
masing ruas dikalikan (
–
3) )
3
+
𝑥
2
<
−
6
𝑎𝑡𝑎𝑢
3
+
𝑥
2
>
6
(berdasarkan sifat nil
ai mutlak)
𝑥
2
<
−
9
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑥
2
>
3
(masing
–
masing ruas ditambah

–
3)
𝑥
<
−
18
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑥
>
6
Sehingga himpunan selesaian dari

pertidaksamaan tersebut adalah {
x
|
x
<

–
18 atau
x
>

6,
x

R}. (Skor: 20).
3.
Alternatif Penyelesaian:
Pertidaksamaan
nilai

mutlak

yang

sesuai

dengan

permasalahan

di

atas

dengan
x
sebagai panjang
diameter
lubang yang diukur adalah
|x−7,9|
<0,0025.
Dengan

menggunakan sifat
pertidaksamaan
nilai mutlak, diperoleh
|x−7,9|
<0,0025
−0,0025
<
x
−7,9
<
0,0025
−0,0025+7,9
<
x
<
0,0025+7,9
7,8975
<
x
<
7,9025
Jadi,

panjang
diameter
lubang

maksimum

dan
diameter
lubang

minimum

pada
silinder
tersebut berturut
–
turut adalah
7,9025
cm dan
7,8975
cm. (Skor: 20).
4.
Alternatif Penyelesaian:
Pertid
aksamaan
nilai

mutlak

yang

sesuai

dengan

permasalahan

di

atas

dengan
x
sebagai ketinggian air atas perubahan yang terjadi

adalah
|x−750|
<
80
.
Dengan menggunakan sifat
pertidaksamaan
nilai mutlak, diperoleh
|x
−
750|
<
80
−80
<
x−75

<
80
−80+750
<
x
<
80+750