Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Satu Variabel
Daftar Isi:
Matematika modul umum · Bab 1 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu
–
24/08/2021 13:00:18
SMA 10 K-13
Lihat Katalog Lainnya
Halaman
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
2
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
NILAI MUTLAK
LINEAR SATU VARIABEL
MATEMATIKA UMUM KELAS X
PENYUSUN
Yenni Dian Anggraini
, S.Pd.,M.Pd.,MBA.
SMA Negeri 9 Kendari
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
3
DAFTAR ISI
PENYUSUN
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………….
2
DAFTAR ISI
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………
3
GLOSARIUM
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………..
4
PETA KONSEP
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……….
5
PENDAHULUAN
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……
6
A.
Identitas Modul
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………..
6
B.
Kompetensi Dasar
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……….
6
C.
Deskripsi
Singkat Materi
…………………………..
…………………………..
………………………….
6
D.
Petunjuk Penggunaan Modul
…………………………..
…………………………..
…………………….
6
E.
Materi Pembelajar
an
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……
7
KEGIATAN PEMBELAJARAN 1
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……….
8
KONSEP NILAI MUTLAK
…………………………..
…………………………..
…………………………..
………………….
8
A.
Tujuan Pembelajar
an
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…..
8
B.
Uraian Materi
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………..
8
C.
Rangkuman
…………………………..
…………………………..
…………………………..
………………
11
D.
Latihan Soal
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………..
11
E.
Penilaian Diri
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………
13
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……..
14
PERSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARI
ABEL
…………………………..
………………….
14
A.
Tujuan Pembelajaran
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…
14
B.
Uraian Materi
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………
14
C.
Rangkuman
…………………………..
…………………………..
…………………………..
………………
18
D.
Latihan Soal
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………..
18
E.
Penilaian Diri
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………
22
KEGIATAN PEMBELA
JARAN 3
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……..
23
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL
…………………………..
………
23
A.
Tujuan Pembelajaran
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…
23
B.
U
raian Materi
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………
23
C.
Rangkuman
…………………………..
…………………………..
…………………………..
………………
26
D.
Latihan Soal
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………..
26
E.
Penilaian Diri
…………………………..
…………………………..
…………………………..
……………
28
EVALUASI
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………………………..
…………….
29
DAFTAR PUSTAKA
…………………………..
…………………………..
…………………………..
………………………….
33
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
4
GLOSARIUM
Variabel
:
adalah lambang pengganti suatu bilangan y
ang belum diketahui
nilainya
dengan jelas,
variabel disebut juga peubah.
Kalimat terbuka
:
adalah sebuah kalimat yang memiliki variabel atau memuat
variabel.
Persamaan
:
adalah kalimat terbuka yang
memuat tanda sama dengan.
Pertidaksamaan
:
adalah
kalimat terbuka yang menggunakan
relasi tidak sama
(
>, <, ≤, atau ≥)
.
Persamaan linear
:
adalah
persamaan yang setiap sukunya mengandung konstanta
dengan variabel berderajat satu.
Pertidaksamaan
linear
:
adalah
pertidaksamaan yang setiap sukunya mengandung
konstanta dengan variabel berderajat satu atau
tunggal.
Nilai Mutlak
:
adalah nilai suatu bilangan rill atau asli tanpa tanda
.
Persamaan
linear
satu variabel
:
adalah
persamaan linear yang memiliki satu variabel.
Pertidaksamaan
linear satu variabel
:
adalah
pertidaksamaan linear yang memiliki
satu variabel.
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
5
PETA KONSEP
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL
Konsep Nilai Mutlak
Defenisi Nilai Mutlak
Menggambar Grafik Fungsi Nilai
Mutlak
Persamaan Nilai Mutlak
Linear Satu Variabel
Sifat
–
sifat Persamaan Nilai Mutlak
Linear Satu Variabel
Penerapan Persamaan Nilai Mutlak
Linear Satu Variabel
Pertidaksamaan Nilai
Mutlak Linear Satu
Variabel
Sifat
–
sifat Pertidaksamaan Nilai
Mutlak Linear Satu Variabel
Penerapan Pertidaksamaan Nilai
Mutlak Linear Satu Variabel
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
6
PENDAHULUAN
A.
Identitas Modul
Mata Pelajaran
: Matematika Umum
Kelas
: X (Sepuluh)
Alokasi Waktu
:
12
JP
Judul Modul
:
Persamaan
d
an Pertidaksamaan Nilai Mutla
k Linear Satu
Variabel
B
.
Kompetensi Dasar
3.1
Mengintepretasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk
linear satu variabel dengan persamaan dan pertidaksamaan linear Aljabar
lainnya.
4.1
Menyelesaikan
masalah
yang
berkaitan
dengan
pers
amaan
dan
pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu
variabel
.
C
.
Deskripsi Singkat Materi
Pada modul ini peserta didik akan mempelajari
konsep, penyelesaian dan penerapan
nilai mutlak.
Untuk mempelajari modul ini, para peserta didik diharapka
n telah
menguasai dasar
–
dasar
garis bilangan,
penjumlahan, pengurangan, perkalian,
dan
pembagian bilangan real. Selain penjelasan mengenai materi yang ditampilkan, modul
ini juga dilengkapi dengan latihan untuk menguji pemahaman dan penguasaan dari
pesert
a didik terhadap materi yang telah dipelajari. Modul ini disusun dengan bahasa
yang sede
rhana, contoh
–
contoh yang kontekstual, dan dibuat berurutan sesuai
dengan urutan materi yang terlebih dahulu perlu dikuasai. Setelah memahami materi
ini peserta didik d
iharapkan dapat menentukan penyelesaian
persamaan dan
pertidaksamaan nilai mutlak dari b
entuk linear satu variabel
dan menerapkan
pada permasalahan dalam kehidupan sehari
–
hari.
D.
Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini hal
–
hal yang perlu
dilakukan oleh peserta didik adalah
sebagai berikut.
1.
Baca pen
dahuluan
modul untuk mengetahui arah pengembangan modul.
2.
Membaca kompetensi dasar dan tujuan yang ingin dicapai melalui modul.
3.
Agar memperoleh gambaran yang utuh mengenai modul, maka pengguna pe
rlu
membaca dan memahami peta konsep.
4.
Mempelajari modul secara berurut
an agar memperoleh pemahaman yang utuh.
5.
Memahami contoh
–
contoh soal yang ada, dan mengerjakan semua soal latihan
yang ada.
6.
Jika dalam mengerjakan soal menemui kesulitan, kembalilah mempe
lajari materi
yang terkait.
7.
Ikuti semua tahapan dan petunjuk yang ada
pada modul ini.
8.
Mempersiapkan alat tulis untuk mengerjakan soal
–
soal latihan.
9.
Selamat belajar menggunakan modul ini, semoga bermanfaat.
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
7
E.
Materi Pembelajaran
Modul ini terbagi menja
di
3
kegiatan pembelajaran
dan
di dalam
nya
terdapat uraian
materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.
Pertama
:
Konsep Nilai Mutlak
Kedua
:
Persamaan Nilai Mutlak
Linear Satu Variabel
Ketiga
: Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variab
el
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
8
KEGIATAN
PEMBELAJARAN 1
KONSEP NILAI MUTLAK
A.
Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan
peserta didik mampu:
1.
Memahami konsep nilai mutlak.
2.
Menggambar grafik fungsi nilai mutlak.
B.
Uraian Mat
eri
1.
Konsep Nilai Mutlak
Peserta didik
sekalian, pernahkah kalian memikirkan berapa jarak antara rumah ke
sekolah? Pada saat kalian memikirkan jarak tersebut, pernahkah terlintas dalam pikiran
kalian bahwa jarak tersebut bernilai positif, negatif, atau mu
ngkin selalu positif
, atau
selalu negati
f
? Mengapa demikian? Tentu kalian penasaran bukan? Untuk menjawab rasa
penasaran kalian marilah menyimak konsep jarak
yang berkaitan
dengan nilai mutlak.
Simaklah ilustrasi berikut.
Gambar 1. Ilustrasi Jarak
(Sumb
er:
https://brainly.co.id/tugas/22118492
)
Seorang anak akan menempuh perjalanan pergi pulang dari rumah ke sekolah setiap hari
.
Untuk itu Ia harus menempuh jarak tertentu, baik itu searah maupun berlawa
nan ar
ah
dari rumah ke sekolahnya.
Kalian dapat memperhatikan
Gambar 1 di atas,
bahwa semua
jarak yang mungkin akan ditempuh oleh
anak tersebut
dinyatakan dalam bilangan postif.
Apakah kalian sudah mulai memahami konsep jarak?
Dalam kehidupan sehari
–
hari,
serin
gkali kita dihadapkan pada permasalahan yang
berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara
rumah denga
n
sekolah atau
kota yang satu dengan kota yang lainya. Dalam kaitannya dengan
pengukuran jarak antara dua tempat ini,
terlih
at
sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini
nilainya
selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat
nilainya
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
9
tidak pernah negatif.
Sehingga diperlukan konsep nilai mutlak, yaitu nilai non negatif dari
suatu bilangan
.
Definisi
di atas dapat diungkapkan dengan kalimat sehari
–
hari seperti berikut ini. Nilai
mutlak s
uatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak
dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu.
Berdasarkan defin
isi
tersebut maka:
a) |5| = 5, karena 5 > 0 (5 adalah bilangan positif).
b) |
–
3| =
–
(
–
3) = 3, karena
–
3 < 0 (
–
3 adalah bilangan negatif).
Contoh
1
:
Tentukan
|x + 2| untuk x bilangan real
dengan menggunakan definisi nilai mutlak
!
Alternatif Penyelesaian
:
Berdasarkan definisi nilai mutlak maka:
{
x
+
2
jika
x
+
2
≥
–
(
x
+
2
)
jika
x
+
2
<
{
x
+
2
jika
x
≥
−
2
–
x
−
2
jika
x
<
−
2
Contoh 2:
Pada musim penghujan beberapa waktu yang lalu, telah terjadi kenaikan debit air di
sungai Citarum.
A
mbang batas normal
debit air di sungai tersebut berkisar 400 m
3
/detik,
sebagai acuan untuk menentukan status kewaspadaan banjir di sungai itu
.
Tentukan
fungsi nilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan
dalam liter/detik.
Al
ternatif Penyelesaian:
Misalkan: x adalah debit air sungai, ambang bata
s normal debit air = 400 m
3
/detik. Maka
fungsi nilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan
dalam liter/detik adalah:
f
(x) = y = |x
–
400|.
Peserta didik
sekalian,
apakah kalian mulai memahami konsep
jarak? Apakah kalian tel
ah
mema
hami konsep nilai mutlak? Bagaimana pula pemahaman kalian tentang konsep jarak
yang berkaitan dengan nilai mutlak? Jika kalian belum memahami kosep
–
konsep tersebut
sepenuhnya sil
ahkan kalian membaca kembali materi ini, kalian juga dianjurkan untuk
m
embaca dari sumber bacaan lain. Selain bermanfaat untuk men
a
mbah wawasan dan
pengetahuan kalian, kegiatan tersebut juga akan meningkatkan kemampuan literasi
kalian.
2.
Menggambar Grafik F
ungsi Nilai Mutlak
Untuk lebih memperjelas konsep nilai mutlak dan mem
berikan gambaran secara
geometris, akan lebih baik jika kita dapat membuat gambar grafik fungsi nilai mutlak.
Sebelumnya kita buat tabel nilai
–
nilai fungsi nilai mutlak dari beberapa ti
tik bantu.
Silahkan mencermati tabel berikut.
Misalkan x bilangan real, |x| dibaca nilai mutlak x, dan didefinisikan
sebagai
|x|
=
{
𝑥
,
𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑥
≥
−
𝑥
,
𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑥
<
Definisi
Nilai Mutl
ak
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
10
Tabel 1. Koordinat titi
k bantu yang memenuhi fungsi y = |x|
Untuk x < 0
Untuk x ≥ 0
x
…
–
5
–
4
–
3
–
2
–
1
1
2
3
4
5
…
y
…
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
…
(x,y)
…
(
–
5,5)
(
–
4,4)
(
–
3,3)
(
–
2,2)
(
–
1,1)
(0,0)
(1,1)
(2,2)
(3,3)
(4,4)
(5,5)
…
Sebagaimana yang telah diuraikan sebelumnya, maka kita mengisi nilai y
= |x|
sesuai
denga
n definisi nilai mutlak. Titik
–
titik yang kita peroleh pada tabel, kemudian disajikan
dalam sistem koordinat kartesius sebagai berikut
.
Gambar 2.
Grafik Fungsi y
=
f(x)
= |x|
Bagaimana sekarang? Apakah kalian mulai memahami gambar grafik fungsi nilai m
utlak?
Apakah kalian mampu menggambarnya sendiri?
Untuk menambah kemampuan kalian
dalam menggambar grafik fungsi nilai mutlak, marilah cermati contoh selanjutnya.
Con
toh: Gambarlah grafik y = |x
–
2|.
Alternatif Penyelesaian:
Langkah pertama kalian harus
membuat tabel nilai fungsi mutlak y = |x
–
2| dari beberapa
titik bantu.
Tabel 2. Koordinat titik bantu yang memenuhi fungsi y = |x
–
2
|
Untuk x < 2
Untuk x ≥ 2
x
–
3
–
2
–
1
1
2
3
4
5
6
7
y =
|x
–
2|
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
(x,y)
(
–
3,5)
(
–
2,4)
(
–
1,3)
(0
,2)
(1,1)
(2,0)
(3,1)
(4,2)
(5,3)
(6,4)
(7,5)
Langkah kedua,
kita mengisi nilai y = |x
–
2| sesuai dengan definisi nilai mutlak.
Langkah
selanjutnya, t
itik
–
titik yang kita peroleh pada tabel, kemudian disajikan dalam sistem
koordinat kartesius sebagai be
rikut.
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
11
Gambar
3
.
G
rafik
F
ungsi y = f(x) = |x
–
2|
Gambar
3
di atas adalah gambar grafik fungsi y = |x
–
2| untuk interval nilai
–
3 ≤ x ≤ 7.
Bagaimana, mudah bukan? Jika kalian masih belum memahami, silahkan mengulang
kembali langkah
–
langkah menggambar
grafik fungsi ni
lai mutlak ini. Kalian pasti mam
pu
men
gerjakan
sendiri dengan baik dan benar.
Menurut kalian bagaimana penerapan materi
ini dalam kehidupan sehari
–
hari selain permasalahan jarak dan waktu?
C.
Rangkuman
1.
Nilai mutlak adalah nilai bilangan yang selalu positif. Nilai mutlak suatu bilangan
positif atau nol
adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu
bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu.
2.
Langkah
–
langkah untuk membuat grafik fungsi nilai mutlak adalah, (1) membuat
tabel
fungsi
nilai mutlak dari beberapa ti
tik bantu, (2) me
ngisi
tabel fungsi nilai
mutlak
sesua
i dengan definisi nilai mutlak, (3)
t
itik
–
titik yang
diperoleh pada tabel
kemudian disajikan dalam sistem koordinat kartesius.
D.
Latihan Soal
Soal Essay
1.
Tentukan |
–
2x + 5| untuk x bilangan real
dengan menggunakan de
finisi nilai mutlak!
2.
Tentukanlah nilai mutlak untuk bentuk
|
3
7
−
2
5
|
.
3.
Apakah nilai x ada untuk persamaan
–
5|3x
–
7| + 4 = 14? Jika ada jelaskan cara
mencarinya, jika tidak ada mengapa?
4.
|k| = k, untuk setiap k bilangan asli, apakah
pernyataan tersebut bernilai benar?
Mengapa? Berikanlah alasan yang logis atas jawab
an tersebut.
5.
Suatu grup musik merilis album, penjualan per minggu (dalam ribuan) dinyatakan
dengan model s(t) = |2t
–
3|, t waktu (dalam minggu).
(a)
Gambarkan grafik fungsi pe
njualan s(t).
(b)
Hitunglah total penjualan album selama 44 minggu pertama.
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
12
Pembahasan
Soal Latihan
1.
Alternatif Penyelesaian:
|
−
2x
+
5
|
=
{
−
2x
+
5
,
jika
−
2
x
+
5
≥
−
(
−
2x
+
5
)
,
jika
−
2
x
+
5
<
|
−
2
𝑥
+
5
|
=
{
−
2
𝑥
+
5
,
jika
𝑥
≥
5
2
2
𝑥
−
5
,
jika
𝑥
<
5
2
(Skor 15
)
2.
Alternatif Penyelesaian:
|
3
7
−
2
5
|
=
|
15
35
−
14
35
|
=
1
35
(Skor 15)
3.
Alternatif Penyelesaian:
–
5|3x
–
7| + 4 = 14
–
5|3x
–
7| = 14
–
4
–
5|3x
–
7| = 10
|3x
–
7| =
–
50
–
50 < 0, sesuai definisi nilai mutlak, jika c < 0 ma
ka persamaan tersebut tidak
memiliki penyelesaian.
(Skor 20)
4.
Alternatif Penyelesaian:
|k| = k, untuk setiap k bilangan asli a
dalah benar. Karena bilangan asli adalah
bilangan bulat positif yang dimulai dari angka 1.
(Skor 15)
5.
Alternatif Penyelesaian:
(
a)
Tabel 3. Koordinat titik bantu yang memenuhi fungsi s(t) = |2t
–
3|, t waktu
(dalam minggu)
t < 0
t ≥ 0
t
…
–
2
–
1
1
2
3
4
5
…
S(t)
…
2
5
1
2
3
4
5
…
(t, s(t))
…
(
–
2,2)
(
–
1,1)
(0,0)
(1,1)
(2,2)
(3,3)
(4,4)
(5,5)
…
Grafik fungsi s(t) = |2t
–
3|
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
13
(b).
Total penjualan album selama 44 minggu pertama:
s(t) = |2t
–
3|, t (dalam minggu) = 44
s
(44) = |2(44)
–
3|
s(44) = |88
–
3|
s(44) = |85| = 85
(Skor 35)
E.
Penilaian Diri
Jawablah pertanyaan
–
pertanyaan berikut dengan jujur dan bertanggungjawab!
No.
Pertanyaan
Jawaban
1
Apakah
Saya
telah memahami konsep nilai mutlak?
Ya
Tidak
2
Apakah
Saya
dapat
menerapkan definisi nilai mutlak
untuk menentukan variabel dari suatu fungsi nilai
mutlak ?
Ya
Tidak
3
Apakah
Saya
dapat
menggambar
grafik fungsi nilai
mutlak?
Ya
Tidak
4
Apakah
Saya
dapat
menyusun fungsi nilai mutlak
dari s
ebuah soal cerita?
Ya
Tidak
Bila ada jawaban “Tidak”, maka segeralah kalian lakukan review pembelajaran, terutama
pada bagian yang masih
“Tidak”
Nilai Latihan soal ini adalah
: jumlah semua skor dari setiap nomor
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
14
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2
PERSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL
A.
Tujuan Pem
belajaran
Setelah kegiatan pembelajaran
2
ini diharapkan
peserta didik mampu:
1.
m
emahami sifat
–
sifat suatu
persamaan
nilai mutlak
linear satu variabel
,
2.
m
enggunakan sifat
–
sifat nilai mutlak untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak
linear satu variabel
,
3.
m
e
lakukan operasi aljabar yang melibatkan
persamaan nilai mutlak linear satu
variabel
serta penggunaannya untuk menyelesaikan masa
lah kontekstual dalam
kehidupan sehari
–
hari
dengan terampil.
B.
Uraian Materi
1.
Sifat
–
sifat Nilai Mutlak
Peserta didik sekalian,
apakah kalian masih penasaran dengan penggunaan fungsi nilai
mutlak? Apakah kalian tertarik untuk memahami lebih lanjut tentang
fungsi nilai mutlak?
Baiklah kita akan melanjutkan kegiatan pembelajaran dengan membahas tentang sifat
–
sifat fungsi nilai mutla
k. Ada dua macam penerapan fungsi nilai mutlak linear satu
variabel, yaitu persamaaan dana pertidaksamaan. Kali ini kita akan me
mbahas tentang
sifat
–
sifat nilai mutlak linear satu variabel
yang sering digunakan untuk menyelesaikan
persamaan nilai mutlak li
near satu variabel
.
Selain dari definisi nilai mutlak yang sudah
kalian pelajari sebelumnya, terdapat b
eberapa sifat nilai mutlak yang sering digunakan
dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan
persamaan
nilai mutlak
linear satu
variabel
ialah
sebagai be
rikut.
1.
|x| =
x
2
2.
|a
.
b| = |a|
.
|b|
3.
|
𝑎
𝑏
|
=
|
𝑎
|
|
𝑏
|
,
𝑏
≠
Selain sifat
–
sifat di atas, ada hal lain yang perlu kalian ketahui pada bentuk persamaan
nilai mutlak linear satu variabel, yaitu persamaan tersebut dapat diperoleh dari
persamaan ata
u fungsi nilai mutlak yang diberikan. Misalnya, jika diketahui |ax + b| =
c,
untuk a, b, c
∈
R, maka menurut definisi nilai mutlak diperoleh persamaan ax + b = c atau
ax + b =
–
c.
Untuk lebih jelasnya bagaimana menerapkan sifat
–
sifat di atas, marilah mence
rmati
contoh soal berikut.
Contoh 1
.
Berdasarkan salah satu sifat nila
i mutlak, selesaikanlah persamaan
nilai mutlak linear satu
variabel
|2x
–
1| = 7.
sifat nilai mutlak yang melibatkan persamaan nilai mutlak linear satu variabel
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
15
Alternatif Penyelesaian:
Berdasarkan sifat (1) maka:
√
(
2
𝑥
−
1
)
2
=
7
(
√
(
2
𝑥
−
1
)
2
)
2
=
7
2
(
2
𝑥
−
1
)
2
=
7
2
4x
2
–
4x + 1 = 49
4x
2
–
4x
–
48 = 0
x
2
–
x
–
12 = 0, faktorkan
persamaan kuadrat di ruas kiri
(x
–
4)(x + 3) = 0, diperoleh
x = 4 atau x =
–
3
Jadi penyelesaiannya adalah x = 4 atau x =
–
3
Nah,
mudah bukan? Ternyata penerapan sala
h satu sifat nilai mutlak tidak terlalu sulit ya.
Tentu kalian dapat mencermati bahwa untuk menyelesaikan soal ini
kemampuan pra
syarat yang harus kalian kuasai adalah kemampuan operasi dasar perhitungan dan
pemfaktoran
persamaan kuadrat.
Bagaimana, apakah
masih diperlukan
contoh soal lain
untuk
memperjelas pemahaman k
alian? Baiklah, silahkan cermat
i contoh soal berikut.
Contoh 2
.
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |2x
–
1| = |x + 3|.
Alternatif Penyelesaian:
√
(
2
𝑥
−
1
)
2
=
√
(
𝑥
+
3
)
2
(
√
(
2
𝑥
−
1
)
2
)
2
=
(
√
(
𝑥
+
3
)
2
)
2
(
2
𝑥
−
1
)
2
=
(
𝑥
+
3
)
2
4x
2
–
4x + 1 = x
2
+ 6x + 9
x
2
–
10x
–
8 = 0, faktorkan persamaan kuadrat di ruas kiri
(x
–
4)(3x + 2)
= 0, diperoleh
x = 4 atau
x
=
–
2/3
Jadi penyelesaiannya adalah x = 4 atau x =
–
2/3
Bagaimana
dengan contoh kedua ini? Pasti kalian sudah lebih memahami penggunaan
sifat
–
sifat nilai mutlak untu menyelesaikan persamaan nilai mutlak linear satu variabel ya.
Jika pun kalian belum me
mahami dengan baik, jangan ragu untuk mengulang kembali
materi yang te
lah dipelajari sampai kalian betul
–
betul memahami dengan baik.
2.
Penerapan Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
Peserta didik sekalian, tahukah kalian bahwa persamaan nilai mutlak
sangat banyak
manfaat dan penerapannya dalam kehidupan sehari
–
hari.
T
entu saja penerapannya harus
menggunakan sifat
–
sifat nilai mutlak yang akan membantu menyelesaikan persamaan
nilai mutlak linear satu variabel.
Jadi sebelum kalian menggunakan persamaan
nilai
mutlak linear satu variabel untuk menyelesaikan permasalahan dal
am kehidupan sehari
–
hari, kalian harus memahami sifat
–
sifat nilai mutlak. Nah, bagaimana penerapan
persamaan nilai mutlak linear satu variabel dalam kehidupan sehari
–
hari? Marilah
mencer
mati contoh berikut.
Contoh
3
.
Waktu r
ata
–
rata yang diperlukan seorang siswa untuk menyelesaikan soal
–
soal
matematika adalah 3 menit.
Catatan waktu pengerjaan siswa lebih cepat atau lebih lambat
1 menit dari waktu rata
–
rata.
Tulislah sebuah persamaan untuk menampilkan situasi ini,
kemudian sel
esaikan persamaan itu untuk menentukan waktu tercepat dan waktu
terlamanya.
Semua ruas dibagi 4
, diperoleh:
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
16
Gambar 3. Ilustrasi Siswa
Belajar
(Sumber:
https://cerdasnurani.com/ppdb/cerdas
–
nurani
–
batujajar/waktu
–
jam
–
belajar
–
2/
)
Alternatif Penyelasaian:
Misalkan catatan waktu pengerjaan siswa adalah x menit
.
Karena catatan waktu siswa
bisa lebih cepat atau lebih lambat 1 menit dari waktu rata
–
rata, yaitu
3 menit, dan
lamanya waktu itu tidak mungkin bernilai
negatif, maka model dalam bentuk persamaan
nilai mutlak
adalah:
|x
–
3| = 1.
Untuk menentukan waktu tercepat dan waktu terl
ama, kita tinggal menyelesaikan
persamaan nilai mutlak tersebut.
Kuadratkan k
edua ruas d
ari persamaan
|x
–
3
| = 1
untuk
menghilangkan tanda nilai mutlak, sehingga diperoleh
|
x
–
3
| = 1
(
x
–
3
)² = 1²
x²
–
6x + 9 = 1
x²
–
6x + 9
–
1 = 0
x²
–
6x + 8 = 0
(x
–
2) (x
–
4) = 0
x
–
2 = 0
atau x
–
4 = 0
x = 2
x = 4
Dengan menguji s
etiap nilai x ke dalam persamaan |x
–
3| =
1, mak
a:
untuk x = 2
|x
–
3| = 1
|2
–
3| = 1
|
–
1| = 1
1 = 1 (benar)
untuk x = 4
|x
–
3| = 1
|4
–
3| = 1
|1| = 1
1 = 1 (benar)
Jadi catatan waktu tercepat siswa dalam mengerjakan soal adalah 2 menit dan waktu
terl
ama adalah 4 menit.
Jika kalian adalah seo
rang guru, apakah informasi ini penting?
Tindakan apakah yang dapat kalian lakukan dengan informasi tersebut untuk
meningkatkan prestasi siswa?
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
17
Contoh
4
.
Gamb
ar 4. Ilustrasi Jarak
(Sumber:
https://blog.ruangguru.com/menyelesaikan
–
persamaan
–
linear
–
mutlak
)
Sepulang sekolah, Rogu ingin ke rumah Rangga. Namun ia juga ingin membeli buku. Tapi,
Rogu lupa
letak toko bukunya. Ia han
ya tahu bahwa ada
toko buku di sekitar rumahnya.
Padahal jika toko bukunya lebih dekat dari rumah Rangga, Rogu pasti memilih membeli
buku terlebih dahulu. Rogu ingat, sewaktu jam istirahat, Rangga bercerita bahwa jarak
sekolah ke
rumahnya adalah 5 km. Ran
gga juga memberi tahukan bahwa memang ada
toko buku pada
jarak
1 km dari rumahnya. Tapi di mana tepatnya letak toko buku itu bila
dihitung dari sekolah?
Alternatif Penyelesaiannya:
Misalkan jarak toko buku dari sekolah adalah x,
maka persamaan linear mut
laknya yaitu:
| x
–
5 | = 1
(x
–
5)² = 1²
x
2
–
10x + 25 = 1
x
2
–
10x + 25
–
1
=
x
2
–
10x + 24
= 0
(x
–
6)(x
–
4) = 0
x =
6
atau
x = 4
Jadi, ada
dua kemungkinan letak toko buk
u. Pertama yaitu 6 km dari sekolah Rogu dan
yang kedua
yaitu 4 km dari sekolahnya.
Jika kalian sebagai Rogu, apa yang akan kalian
lakukan?
Mengapa?
Apakah kalian semakin memahami materi ini? Dapatkah kalian membuat penerapa
n
materi ini dalam permasalaha
n lain selain dari dua contoh di atas? Jika kalian masih
kesulitan untuk membuatnya cobalah mengulang kembali
mempelajari materi di atas.
Jangan mudah menyerah dan putus asa, tetap semangat.
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
18
C.
Rangkuman
1.
Sifat
–
sifat nilai
mutlak yang melibatkan persamaan n
ilai mutlak linear satu variabel
adalah sebagai berikut.
i.
|x| =
x
2
ii.
|a.b| = |a|. |b|
iii.
|
𝑎
𝑏
|
=
|
𝑎
|
|
𝑏
|
,
𝑏
≠
2.
Persamaan linear satu variabel dapat diperoleh dari persamaan atau fungsi nilai
mutlak yang diberikan. Misalnya, jika d
iketahui |ax + b| = c, untuk a, b, c
∈
R, maka
menurut definisi nilai mutlak diperoleh persamaan ax + b = c
atau ax + b =
–
c.
3.
Penyelesaian persamaan nilai mutlak |ax + b| = c ada, jika c ≥ 0.
D.
Latihan Soal
Soal
Pilihan Ganda
1.
Jika
|x|=2
, maka
nilai
x
yang memenuhi adalah… .
A.
1
atau
2
B.
−1
atau
2
C.
−2
atau
2
D.
−2
E.
2
2.
Himpunan penyelesaian dari
|2x
+
3|
=
9
adalah… .
A.
{−6,
3}
B.
{−3,
3}
C.
{−3,
6}
D.
{2,
3}
E.
{−3,
2}
3.
Jika
|x
+
1|
+
2x
=
7
, maka nilai
x
yang memenuhi adalah … .
A.
{
–
1, 4}
B.
{
–
4, 1}
C.
{
–
4,
–
1}
D.
{4, 1}
E.
{4,
–
1}
4.
Nilai
x
yang memenuhi persamaan
|2x
−6
|
=
−2
adalah
… .
A.
2
B.
2
atau
4
C.
−2
atau
4
D.
4
E.
tidak
ada
yang
memenuhi.
5.
Himpunan pen
yelesaian dari
|4x
–
2| = |x + 7|
adalah… .
A.
{−3,1}
B.
{
–
2, 7
}
C.
{−1,3}
D.
{−1,5}
E.
{−5,−1}
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
19
6.
Nilai x yang memenuhi
|3x
−
6|−|x
+
2|
=
adalah… .
A.
2
atau
3
B.
1
atau
4
C.
2
atau
4
D.
1
atau
3
E.
1
atau
2
7.
Himpunan penyelesaian dari
|
𝑥
+
7
2
𝑥
−
1
|
=
2
adalah… .
A.
{−1,0}
B.
{−1,3}
C.
{1,3}
D.
{2,3}
E.
{−1,−3}
8.
Tentukan nilai
x
yang yang memenuhi persamaan |2x
–
5| = 3 + 2 |7
–
x|.
A.
11/2
B.
–
3/2
C.
–
11/2
D.
7/2
E.
3
/2
9.
Perhatikan gambar
5
berikut.
Gambar 5. Ilustrasi Jarak Minimarket
(Sumber:
https://mathcyber1997.com/soal
–
dan
–
pembahasan
–
soal
–
cerita
–
nilai
–
mutlak/
)
Sebuah perusahaan sudah mendirikan minimarket A di kilometer ke
–
20
pada suatu
jalan dan minimarket B di kilometer ke
–
50
pada jalan yang sama. Perusahaan t
ersebut
ingin
mendirikan sebuah minimarket lagi di jalan tersebut. Jika perusahaan
menginginkan minimarket yang baru memiliki jarak lebih dari
20
km terhitung dari
minimarket B, pada kilometer berapakah minimarket yang baru mungkin didirikan?
A.
Lebih dari km
–
70
.
B.
Kurang dari km
–
30
.
C.
Kurang dari km
–
20
atau lebih dari km
–
70
.
D.
Kurang dari km
–
30
atau lebih dari km
–
70
.
E.
Antara km
–
30
dan km
–
70
.
10.
Ketinggian normal permukaan air
Sungai Bengawan
adalah
120
cm.
Ketinggian
permukaan air
Sungai Bengawan
dapat berubah
–
ubah pad
a mus
im kemarau atau
musim penghujan. Jika penyimpangan ketinggian permukaan air sungai tersebut
kurang dari
11
cm, maka interval ketinggian
Sungai Bengawan
adalah
… .
A.
kurang dari
109
cm
B.
lebih dari
120
cm
C.
lebih dari
131
cm
D.
antara
109
cm dan
131
cm
E.
antara
10
9
cm dan
120
cm
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
20
Kunci dan Pembahasan
Kunci
Latihan Soal Pilihan Ganda
1.
C
2.
A
3.
B
4.
E
5.
C
6.
B
7.
B
8.
A
9.
D
10.
D
Pembahasan
1.
Alternatif Penyelesaian:
|x|=2,
sesuai
definisi
nilai
mutlak
maka
diperoleh:
Untuk
x
≥
0,
maka
x
=
2
Untuk
x
<
0,
maka
–
x
=
2
atau
x
=
–
2
Jadi
ni
lai
x
yang
memenuhi
adalah
2
atau
–
2.
2.
Alternatif Penyelesaian:
|2x
+
3|
=
9,
sesuai
definisi
nilai
mutlak
maka
diperoleh:
Untuk
x
≥
0,
maka
2x
+
3
=
9
2x
=
9
–
3
2x
=
6
x
=
3
Untuk
x
<
0,
maka
–
(2x
+
3)
=
9
–
2x
–
3
=
9
–
2x
=
9
+
3
–
2x
=
12
x
=
–
6
Jadi
nilai
x
yang
memenuhi
adalah
2
atau
–
6.
3.
Alternatif Penyelesaian:
Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) 2x + 3 = 5
2x = 5
–
3
2x = 2
<==>
x = 1
(**
) 2x + 3 =
–
5
2x =
–
5
–
3
2x =
–
8
<==> x =
–
4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {
–
4, 1}
4.
Alternatif Penyelesaian:
Sesuai definisi, terdapat
nilai
x
yang memenuhi persamaan
nilai mutlak jika c ≥ 0,
karena c =
−2
< 0, maka tidak ada
nilai
x
yang memenuhi persamaan
|2x−6
|
=
−2.
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
21
5.
Alternatif Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persamaan diatas, menggunakan dua kemungkinan
peyelesaian yaitu:
(i)
4x
–
2 = x + 7
x = 3
(ii)
4x
–
2 =
–
( x +
7)
x=
–
1
Jadi penyelesian persamaan |4x
–
2| = |x + 7|
adalah x = 3 atau x=
–
1
6.
Alternatif Penyelesaian:
|3x
−
6|−|x
+
2|
=
|3x
−
6|
=
|x
+
2|
(3x
–
6)² = (x + 2)²
9x
2
–
36x + 36 = x
2
+ 4x + 4
8x
2
–
40x + 32 = 0 (masing
–
masing ruas dibagi 8)
x
2
–
5x + 4 = 0
(x
–
4)(x
–
1) = 0
x = 4 atau x = 1
Jadi nilai x yang memenuhi
|3x
−
6|−|x
+
2|
=
adalah x = 4 atau x = 1
7.
Alternatif Penyelesaian:
|
𝑥
+
7
2
𝑥
−
1
|
=
2
Berdasarkan sifat
–
sifat pertidaksamaan nilai mutlak diperoleh
|
𝑥
+
7
|
|
2
𝑥
−
1
|
=
2
|
𝑥
+
7
|
=
2
|
2
𝑥
−
1
|
|
𝑥
+
7
|
=
|
4
𝑥
−
2
|
(x + 7)² = (4x
–
2)²
x
2
+
14
x
+ 49 = 16
x
2
–
16x + 4
15
x
2
–
30x
–
45 = 0 (masing
–
masing ruas dibagi 1
5)
x
2
–
2x
–
3 = 0
(x
–
3)(x + 1) = 0
x = 3 atau x =
–
1
Jadi himpunan penyelesaian dari
|
𝑥
+
7
2
𝑥
−
1
|
=
2
adalah {
–
1, 3}
8.
Alternatif Penyelesaian:
|2x + 5| = 3 + 2|7
–
x|
(2x
–
5)² = (3 + 2[7
–
x])²
(4
x
2
–
20
x
+ 25) = (9 + 12 [7
–
x
] + 4 [49
–
14
x
+
x
2
])
(4
x
2
–
20
x
+ 25) = (9 + [84
–
12
x
] + [196
–
56
x
+ 4
x
2
])
(4
x
2
–
20
x
+ 25) = (289
–
68
x
+ 4
x
2
)
x
2
+ 48
x
+ 264 = 0
12 (4
x
–
22) = 0
x
= 11/2
9.
Alternatif Penyel
esaian:
Diketahui minimarket B terletak pada km
–
50
. Misalkan
x
menyatakan letak
minimarket baru pada jalan tersebut. Karena minimarket ini dibangun dalam jarak
lebih
dari
20
km
terhitung
dari
minimarket
B,
maka
kita
peroleh
pertidaksamaan
nilai mutlak:
|x
−50|
>
20.
Berdasarkan sifat
pertidaksamaan
nilai mutlak, diperoleh
x−50
>
20
⇔
x
>
70
atau
x−50
<−20
⇔
x
<
30
.
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
22
Jadi, minimarket baru tersebut dapat dibangun di jalan dengan letak kurang dari
km
–
30
atau lebih dari km
–
70
.
10.
Alternatif Penyelesaian:
Diketahui
ketinggian normalnya
120
cm dan penyimpanga
n ketinggian kurang
dari
11
cm. Misalkan
x
menyatakan ketinggian air yang mungkin tercapai dalam
satuan cm. Kita peroleh
pertidaksamaan
nilai mutlak:
|x−120|
<
11
Berdasarkan
sifat
pertidaksamaan
nilai
mutlak,
−11
<
x−120
<
11
Tambahkan
120
pada ketiga rua
s sehingga menjadi:
109
<
x
<
131
. Jadi, interval
ketinggian air di
Sungai Bengawan
adalah antara
109
cm dan
131
cm.
E.
Penilaian Diri
Jawablah pertanyaan
–
pertanyaan berikut
dengan jujur dan bertanggungjawab!
No.
Pertanyaan
Jawaban
1
Apakah
Saya
telah memahami sifat
–
sifat nilai
mutlak?
Ya
Tidak
2
Apakah Saya dapat menerapkan sifat
–
sifat nilai
mutlak untuk menyelesaikan persamaan linear nilai
mutlak satu variabel?
Ya
Tidak
3
Apakah Saya dapat menyusu
n
persamaan linear nilai
mutlak satu variabel
dari sebuah soal cerita
?
Ya
Tidak
4
Apakah Saya dapat menyelesaikan
persamaan linear
nilai mutlak satu variabel
dari sebuah soal cerita?
Ya
Tidak
Bila ada
jawaban “Tidak”, maka segeralah kalian lakukan review pembelajaran, terutama
pada bagian yang masih “Tidak”
.
Nilai Latihan soal ini ad
alah:
𝑱𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉
𝒋𝒂𝒘𝒂𝒃𝒂𝒏
𝒃𝒆𝒏𝒂𝒓
𝟏𝟎
𝒙
𝟏𝟎𝟎
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
23
KEGIATAN PEMBELAJARAN 3
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL
A.
Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan p
embelajaran 3 ini diharapkan peserta didik mampu:
1.
m
emahami sifat
–
sifat suatu pertidaksamaan nilai mutlak linear satu
variabel
,
2.
m
enggunakan sifat
–
sifat nilai mutlak untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai
mutlak linear satu variabel
,
3.
m
elakukan operasi alja
bar yang melibatkan
pertidaksamaan nilai mutlak linear satu
variabel
serta penggunaannya untuk menyelesaikan masalah
kontekstual dalam
kehidupan sehari
–
hari
dengan terampil.
B.
Uraian Materi
1.
Sifat
–
sifat Nilai Mutlak
Peserta didik sekalian, jika di kegiat
an pembelajaran 2 kalian telah mempelajari sifat
–
sifat
persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan
penerapannya dalam kehidupan sehari
–
hari, maka pada kegiatan pembelajaran 3 kali ini kita akan mempelajari sifat
–
sifat
pertidaksamaan nilai mutlak linea
r satu variabel dan penerapannya dalam kehidupan
sehari
–
hari. Pasti kalian penasaran bukan? Baiklah, ka
li ini kita akan membahas tentang
sifat
–
sifat nilai mutlak linear satu variabel yang sering digunakan untuk menyelesaikan
pertidaksamaan nilai mutlak lin
ear satu variabel.
Selain dari definisi nilai mutlak yang
sudah kalian pelajari sebelumnya, terdapat be
berapa sifat nilai mutlak yang sering
digunakan dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan pertidaksamaan nilai mutlak
linear satu variabel ialah sebaga
i berikut.
Untuk setiap a,
b,
x bilangan real, berlaku:
2.
Jika a ≥ 0 dan |x| ≤ a, maka
–
a ≤ x ≤ a.
3.
Jika a < 0 dan |x| ≤ a, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi
pertidaksamaan.
4.
Jika |x| ≥ a, dan a > 0 maka x ≥ a atau x ≤
–
a.
5.
|a + b| ≤ |a| + |b|
dan
|a
–
b| ≥ |a|
–
|b|
Selain sifat
–
sifat di atas, ada hal lain yang perlu kalian ketahui pada bentuk
per
tidak
samaan nilai mutlak linear satu variabel, yaitu per
tidak
samaan tersebut dapat
diperoleh dari persamaan atau fungsi nilai mutlak yang diberikan.
Unt
uk lebih jelasnya
bagaimana menerapkan sifat
–
sifat di atas, marilah mencermati contoh soal berikut.
Contoh 1:
Berdasarkan salah satu sifat nilai mutlak, selesaikanlah persamaan
nilai mutlak linear satu
variabel
|2x
–
1| <
7.
sifat nilai mutlak yang melibatkan per
tidak
samaan nilai mutlak linear satu
variabel
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
24
–
2/3
Alternatif Penyelesaian
:
Berdasarkan sifat (1) maka:
−
7
<
(
2
𝑥
−
1
)
<
7
−
7
+
1
<
2
𝑥
<
7
+
1
−
6
<
2
𝑥
<
8
−
3
<
𝑥
<
4
Jadi penyelesaiannya adalah
−
3
<
𝑥
<
4
Nah, mudah bukan? Ternyata penerapan salah satu sifat nilai mutlak tidak terlalu sulit ya.
Tentu kalian
dapat mencermati bahwa untuk menyelesaikan soal ini kemampuan pra
syar
at yang harus kalian kuasai adalah kemampuan operasi dasar perhitungan.
Bagaimana, apakah masih diperlukan contoh soal lain untuk memperjelas pemahaman
kalian? Baiklah, silahkan cermati
contoh soal berikut.
Contoh 2:
Tentukan nilai x yang memenuhi persama
an |2x
–
1|
≥
|x + 3|.
Alternatif Penyelesaian:
√
(
2
𝑥
−
1
)
2
≥
√
(
𝑥
+
3
)
2
(
√
(
2
𝑥
−
1
)
2
)
2
≥
(
√
(
𝑥
+
3
)
2
)
2
(
2
𝑥
−
1
)
2
≥
(
𝑥
+
3
)
2
4x
2
–
4x + 1
≥
x
2
+ 6x + 9
x
2
–
10x
–
8
≥
0, faktork
an persamaan kuadrat di ruas kiri
, tentu
kan pembuat nol nya
(x
–
4)(3x + 2) = 0, diperoleh
x = 4 atau x =
–
2/3
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
–
5
–
4
–
3
–
2
1
2
3
4
5
Gambar 6. Garis Bilangan
(Sumber: Dokumentasi Pribadi)
Dari garis
bilangan
diperoleh
interval
nilai x
yang memenuhi a
dalah: x ≤
–
2/3 atau x ≥ 4
.
Bagaimana dengan contoh kedua ini? Pasti kalian sudah lebih memahami penggunaan
sifat
–
sifat nilai mutlak untu menyelesaikan per
tidak
samaan nilai mutlak linear satu
variabel ya. Jika pun kalian belum memahami dengan baik, ja
ngan ragu untuk mengulang
kembali materi yang telah dipelajari sampai kalian betul
–
betul memahami dengan baik.
2.
Penerapan Per
tidak
samaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
Peserta didik sekalian, tahukah kalian bahwa
selain persamaan nilai mutlak,
per
tidak
samaan nilai mutlak
juga
sangat banyak manfaat dan penerapannya dalam
kehidupan sehari
–
hari.
Jangan lupa
penerapannya harus menggunakan sifat
–
sifat nilai
mutlak yang akan m
embantu menyelesaikan per
tidak
samaan nilai mutlak linear satu
variabel. Jadi sebelum
kalian menggunakan per
tidak
samaan nilai mutlak linear satu
variabel untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari
–
hari, kalian harus
memahami sifat
–
sifat nilai m
utlak. Nah, bagaimana penerapan per
tidak
samaan nilai
mutlak linear satu variabel dal
am kehidupan sehari
–
hari? Marilah mencermati contoh
berikut.
Semua ruas dibagi
2, diperoleh:
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
25
Contoh 1:
Gambar 3. Ilustrasi
Mobil
(Sumber:
https://yos3prens.wordpress.com/2013/11/2
0/5
–
soal
–
dan
–
pembahasan
–
penerapan
–
nilai
–
mutlak/
)
Pada mobil
–
mobil baru, angka kilometer per liternya tergantung
pada bagaimana mobil
itu digunakan, apakah sering digunakan untuk perjalanan jarak jauh ataukah hanya untuk
perjalanan jarak dekat (dalam kota
). Untuk suatu merek mobil tertentu, angka kilometer
per liternya berkisar di angka 2,8 kurang atau lebihnya dari
12 km/L. Berapakah
jangkauan dari angka km/L dari mobil tersebut?
Alternatif Penyelasaian:
Misalkan
m
adalah angka km/L dari mobil tersebut.
Maka, selisih
m
dan 12 tidak boleh
lebih dari 2,8, atau dapat dituliskan ke dalam |
m
–
12| ≤ 2,8.
|
m
–
12| ≤
2,8
–
2,8 ≤ m
–
12 ≤ 2,8
9,2 ≤ m ≤ 14,8
Sehingga jangkauan dari angka km/L mobil tersebut adalah dari angka 9,2 km/L sampai
14
,8 km/L.
Jika kalian akan membeli mobil baru, apakah informasi tersebut penting untuk
diketahui?
Mengapa?
Contoh 2:
Gambar 4. Ilustrasi
Ikan di Teluk
(
Sumber:
https://yos3prens.wordpress.com/2013/11/20/5
–
soal
–
dan
–
pembahasan
–
penerapan
–
nilai
–
mutlak/
)
Terdapat aturan
untuk memancing
ikan di
sebuah
Teluk
di
kota K
. Untuk menjaga
kelestarian di sekitar teluk, dianjurkan memancing di laut dengan kedalaman
optimal (
d
)
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
26
pada saat menangkap jenis ikan tertentu memenuhi pertidaksamaan 8|
d
–
150|
–
432 < 0
(dalam meter). Tentukan jangkauan kedalaman yang dianjurkan u
ntuk menangkap jenis
ikan tersebut. Jawablah dengan pertidaksamaan yang sederhana.
Alternatif Pe
nyelesaiannya:
Diketahui pertidaksamaan 8|
d
–
150|
–
432 < 0 dengan
d
adalah kedalaman
optimal(dalam meter). Sehingga,
8|
d
–
150|
–
432 < 0
8|
d
–
150| < 432 (masing
–
masing ruas ditambah 432)
|
d
–
150| < 54 (masing
–
masing ruas dikali 1
/8)
–
54 <
d
–
150 < 54
96 < d < 204
Sehingga, kedalaman yang dianjurkan untuk menangkap ikan jenis tersebut adalah di
antara 96 meter
sampai 204 meter (96 <
d
< 204)
.
Menurut kalian siapakah yang paling
membutuhkan informasi ini, nelay
an, penduduk di sekitar Teluk, ataukah petugas dari
Dinas Kelautan?
Mengapa?
C.
Rangkuman
Untuk setiap a, b, x bilangan real, berlaku:
i.
Jika a ≥ 0 dan |x| ≤ a, maka
–
a ≤ x ≤ a.
ii.
Jika a < 0
dan |x| ≤ a, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi
pertidaksamaan.
iii.
Jika |x| ≥ a, dan a > 0 maka x ≥ a atau x ≤
–
a.
iv.
|a + b| ≤ |a| + |b| dan |a
–
b| ≥ |a|
–
|b|
D.
Latihan Soal
Soal Essay
1.
Tentukan h
impunan penyelesaian dari pertidaksamaan pertidaksamaan
|
3
x
+
2
|
4
≤
1
.
2.
Tentukan
himpunan
penyelesaian
dari
pertidaksamaan
pertidaksamaan
–
1
3
|
3
+
x
2
|
<
−
2
.
3.
Sebuah pabrik membuat
silinder
mesin mobil dengan lubang berdiameter
7,9
cm.
Silinder
itu tidak akan memenuhi syarat apabila ukuran
diameter
lubangnya
menyimpang
0,0025
cm atau lebih. T
entukan panjang
diameter
lubang maksimum
dan
diameter
lubang minimum pada
silinder
tersebut.
4.
Pintu air Manggarai
merupakan bagian dari sistem pengendalian b
anjir di Jakarta.
Fungsi pintu air ini adalah mengalihkan air Sungai Ciliwung ke bagian luar Jakarta.
Ketinggian air di
pintu air Manggarai
dipertahankan sampai
750
cm. Akibat
pengar
uh cuaca, ketinggian air menyimpang lebih dari
80
cm. Tentukan interval
perubahan ketinggian air di
pintu air Manggarai
tersebut.
5.
Pada suatu hari, rata
–
rata kepadatan lalu lintas di suatu perempatan adalah 726
mobil per jam (mpj). Selama jam sibuk kepadata
n lalu lintasnya lebih tinggi,
sedangkan selama j
am longgar kepadatannya lebih rendah. Tentukan jangkauan dari
kepadatan lalu lintas di perempatan tersebut jika kepadatannya tidak pernah lebih
atau kurang 235 mpj dari rata
–
rata.
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
27
Pembahasan
S
oal Latihan
1.
Alternatif Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan
|
3
x
+
2
|
4
≤
1
, kita harus meng
isolasi simbol nilai
mutlak di satu ruas.
|
3
x
+
2
|
4
≤
1
|3x + 2| ≤ 4 (masing
–
masing ruas dikalikan 4)
–
4 ≤ (3x + 2) ≤ 4 (Sifat pertidaksamaan)
–
6 ≤ 3x ≤ 2 (masing
–
masing ruas
ditambah (
–
2 ))
–
2 ≤ x ≤ 2/3 (masing
–
masin
g ruas dikalikan 1/3)
Sehingga, himpunan selesaian dari pertidaksamaan
|
3
x
+
2
|
4
≤
1
adalah {
x
|
–
2 ≤
x
≤
2/3,
x
R }. (Skor: 20).
2.
Alternatif Penyelesaian:
Perhatikan bahwa
–
1
3
|
3
+
x
2
|
<
−
2
merupakan pertidaksamaan kurang dari. Tetapi
jika ki
ta mengalikan kedua ruas dengan
–
3, kita harus membalik tanda
pertidaksamaannya menjadi lebih dari.
–
1
3
|
3
+
x
2
|
<
−
2
|
3
+
x
2
|
>
6
(masing
–
masing ruas dikalikan (
–
3) )
3
+
𝑥
2
<
−
6
𝑎𝑡𝑎𝑢
3
+
𝑥
2
>
6
(berdasarkan sifat nil
ai mutlak)
𝑥
2
<
−
9
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑥
2
>
3
(masing
–
masing ruas ditambah
–
3)
𝑥
<
−
18
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑥
>
6
Sehingga himpunan selesaian dari
pertidaksamaan tersebut adalah {
x
|
x
<
–
18 atau
x
>
6,
x
R}. (Skor: 20).
3.
Alternatif Penyelesaian:
Pertidaksamaan
nilai
mutlak
yang
sesuai
dengan
permasalahan
di
atas
dengan
x
sebagai panjang
diameter
lubang yang diukur adalah
|x−7,9|
<0,0025.
Dengan
menggunakan sifat
pertidaksamaan
nilai mutlak, diperoleh
|x−7,9|
<0,0025
−0,0025
<
x
−7,9
<
0,0025
−0,0025+7,9
<
x
<
0,0025+7,9
7,8975
<
x
<
7,9025
Jadi,
panjang
diameter
lubang
maksimum
dan
diameter
lubang
minimum
pada
silinder
tersebut berturut
–
turut adalah
7,9025
cm dan
7,8975
cm. (Skor: 20).
4.
Alternatif Penyelesaian:
Pertid
aksamaan
nilai
mutlak
yang
sesuai
dengan
permasalahan
di
atas
dengan
x
sebagai ketinggian air atas perubahan yang terjadi
adalah
|x−750|
<
80
.
Dengan menggunakan sifat
pertidaksamaan
nilai mutlak, diperoleh
|x
−
750|
<
80
−80
<
x−75
<
80
−80+750
<
x
<
80+750
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
28
670
<
x
<
830
Jadi, interval perubahan ketinggian air di
pintu air Manggarai
tersebut adalah di
antara
670
cm dan
8
30
cm. (Skor: 20).
5.
Alternatif Penyelesaian:
Diketahui kepadatan lalu lintas di per
empatan tersebut tidak pernah lebih atau kurang
235 mpj dari rata
–
rata.
Misalkan
v
adalah kepadatan lalu lintas di
perempatan tersebut, maka selisih
v
dan 726
harus kurang dari atau sama dengan 235, atau dapat dimodelkan menjadi |
v
–
726| ≤
235.
|
v
–
726| ≤ 235
–
235 ≤ |
v
–
726| ≤ 235 (sifat pertidaksamaan)
491 ≤ v ≤ 961 (masing
–
masing ruas ditambah 726
Sehingga, jangkauan kepadatan lalu lintas di perempatan tersebut lebih dari atau sama
dengan 491 mpj dan kurang dari ata
u sama dengan 961 mpj. (Skor: 20).
E.
Penilaian Diri
Jawablah pertanyaan
–
pertanyaan berikut dengan jujur dan bertanggungjawab!
No.
Pertanyaan
Jawaban
1
Apakah
Saya
telah memahami sifat
–
sifat nilai mutlak
untuk
per
tidak
samaan linear ni
lai mutlak satu
variabel
?
Ya
Tidak
2
Apakah Saya dapat menerapkan sifat
–
sifat nilai
mutlak untuk menyelesaikan per
tidak
samaan linear
nilai mutlak satu variabel?
Ya
Tidak
3
Apakah Saya dapat menyusu
n
per
tidak
samaan linear
nilai mutlak satu va
riabel
dari sebuah soal cerita
?
Ya
Tidak
4
Apakah Saya dapat menyelesaikan
per
tidak
samaan
linear nilai mutlak satu
variabel
dari sebuah soal
cerita?
Ya
Tidak
Bila ada jawaban “Tidak”, maka segeralah kalian lakukan review pembelajaran, teruta
ma
pada bagian yang masih “Tidak”
Nilai Latihan soal ini adala
h
: jumlah semua skor dari setiap nomor
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
29
E
VALUASI
Pilihlah satu jawaban yang paling benar.
1.
Nilai
p
yang memenuhi
|p|=10
adalah
… .
A.
p
=
−
10
B.
p
=
−5
C.
p
=
10
D.
p
=
5
atau
p
=
−5
E.
p
=
10
atau
p
=
−10
2.
Jika
|3k|=6
|3k|=6
, maka nilai
k
k
yang memenuhi adalah
… .
A.
k
=
−
2
atau
k
=
2
B.
k
=
−3
atau
k
=
3
C.
k
=
−6
atau
k
=
6
D.
k
=
−
2
E.
k
=
−3
3.
Nilai
x
yang memenuhi
persamaan
|3x+2|
+
4x
=
6
adalah
… .
A.
𝑥
=
4
7
a
tau
x
=
8
B.
𝑥
=
4
7
atau
x
=
–
8
C.
𝑥
=
−
4
7
D.
𝑥
=
4
7
E.
x
=
8
4.
Nilai
–
nilai
x
yang memenuhi pertidaksamaan
|x−1|
<
2
adalah
… .
A.
x
≤
−1
B.
x
≤
3
C.
x
>
−1
D.
−3
<
x
<
1
E.
−1
<
x
<
3
5.
Himpunan semua nilai
x
yang memenuh
i pertidaksamaan
|x
+
8|
−
|3x
−
4|
≥0
adalah
… .
A.
{x
∣
x
≥
−8}
B.
{x
∣
x
≤
4
3
}
C.
{x
∣
−1
≤
x
≤
6}
D.
{
x
∣
−8
≤
x
≤
4
3
}
E.
{x
∣
x
≤
−1
atau
x
≥
6}
6.
Jika
2|x
−
1|
<
|x
+
2|
, maka nilai
–
nilai
x
yang memenuhi adalah
… .
A.
−2<x<0
−2<x<0
B.
<
x
<
2
C.
<
x
<
4
D.
x
<
atau
x
>
4
E.
<
x
<
∞
atau
−∞
<
x
<
4
7.
Penyelesaian
pertidaksamaan
∣
𝑥
+
3
𝑥
−
3
∣
≤
1
adalah
… .
A.
x
<
3
B.
x
<
C.
x
≤
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
30
D.
x
>
1
E.
x
≥
1
8.
Sungai
X
memiliki sifat cepat meluap pada musim hujan dan
mengering di musim
kemarau. Debi
t air sungai tersebut sebesar
137
m
3
/
s
pada cuaca normal. Perubahan
debit pada cuaca tidak normal adalah
56
m
3
/s
. Nilai peningkatan minimum debit air
sungai tersebut adalah… .
A.
60
m
3
/s
B.
75
m
3
/
s
C.
81
m
3
/s
D.
125
m
3
/
s
E.
193
m
3
/
s
9.
Seekor semut berjalan ke kiri dalam arah sumbu
–
X
sepanjang
5
cm, kemudian
berbalik arah sejauh
10
cm, lalu semut itu berjalan lagi ke kanan sepanjang
15
cm dan
terakhir berbalik arah sepanjang
12
cm.
Tentukan jarak total yang ditempuh semut
tersebut.
A.
12
B.
1
5
C.
30
D.
37
E.
42
10.
Nilai
q
yang memenuhi
|−6q−200|
=
160
adalah… .
A.
q
=
−
60
atau
q
=
−523
B.
q
=
−60
atau
q
=
−
623
C.
q
=
−60
atau
q
=
623
D.
q
=
60
atau
q
=
−623
E.
q
=
60
atau
q
=
623
11.
Himpunan penyelesaian
mewakili nilai
x
yang memenuhi
persamaan
|3x−2|−|x−3|
=
4
−
|x+2
|
ada
lah… .
A.
{−3,
−
7
3
}
B.
{
−
7
3
,
−
7
5
}
C.
{−
7
3
,3}
D.
{
−
7
3
,
1
3
,
7
5
,
3}
E.
{−3
,
−
7
3
,
1
3
,
7
5
}
12.
Pada orang yang terkena demam berdarah (DB), jumlah hemoglobin per milimeter
darah berkurang drastis
karena dihancurkan oleh virus. Oleh karena itu, p
enderita
demam berdarah harus dirawat di rumah sakit untuk menaikkan dan
mempertahankan jumlah trombosit antara
150.000
mm
3
sampai dengan
400.000
3
.
Dimisalkan rumah sakit memutuskan untik penderit
a yang sudah positif DB, jumlah
trombositnya ha
rus dinaikkan
dan dipertahankan
sebesar
175.000
mm
3
dalam
beberapa hari untuk mengantisipasi timbulnya virus yang lebih ganas. Jika pengaruh
psikologi
karena
perawatan
terjadi
penyimpangan
jumlah
trombosit
seb
esar
10.000
mm
3
, tentukan interval perubahan jumlah trombosit untuk
mempertahankan kondisi normal.
A.
185.000
mm
3
sampai
400.000
mm
3
.
B.
175.000
mm
3
sampai
185.000
mm
3
.
C.
165.000
mm
3
sampai
185.000
mm
3
.
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
31
D.
165.000
mm
3
sampai
175.000
mm
3
.
E.
150.000
mm
3
sampai
165.000
mm
3
.
13.
Berdasarkan
aturan resmi dari olahraga golf, bisbol, biliar, dan boling, (a) ukuran bola
golf harus tidak lebih dan kurang 0,03 mm dari
d
= 42,7 mm, (b) ukuran bola bisbol
harus tidak lebih dan kurang 1,01 mm dari
d
= 73,78 mm, (c) ukuran bola
biliar harus
tidak lebih
dan kurang 0,127 mm dari
d
= 57,15 mm, dan (d) ukuran bola boling
harus tidak lebih dan kurang 12,05 mm dari
d
= 217,105 mm. Tentukan olahraga
mana yang memberikan toleransi
t
(
t
= interval lebar/diameter rata
–
rata) yang paling
ke
cil.
A.
Bola golf
B.
Bola bisb
ol
C.
Bola biliar
D.
Bola boling
E.
Semua jawaban benar
14.
Harga saham sebuah perusahaan yang telah terdaftar di Bursa Efek
Indonesia
(BFI)
bergerak fluktuatif. Hal ini disebabkan perusahaan tersebut melakukan aksi
korporasi. Dalam satu
minggu hari bursa, harga saham
terendah perusahaan itu
adalah
Rp
.
715,00
dan
harga
saham
tertinggi
mencapai
Rp
.
795,00.
Misalkan
x
adalah pergerakan harga saham selama satu minggu tersebut di atas.
Fungsi Pergerakan harga saham ini dalam
pertidaksamaan
nil
ai mutlak yang memuat
variabel
x
adalah…
.
A.
|x−755|
≥
40
B.
|x−755|
≤
40
C.
|x−715|
≤
40
D.
|x−715|
≥
40
E.
|x−715|
=
40
15.
Harga tiket
sebuah konser adalah Rp
.
750.000,00 dengan besar biaya pertunjukan Rp
.
225.000.000,00. Pertunjukan dianggap gagal jika
mengalami kerugian lebih
dari
15%
dan dianggap sukses jika m
engalami keuntungan lebih dari
15%
.
Jika
p
dimisalkan sebagai banyak tiket yang terjual, bagaimana interval nilai
p
?
A.
2
2
5
sampai
3
00
B.
22
5
sampai
345
C.
255
sampai
345
D.
255
sampai
300
E.
300
sampai
345
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
32
Nilai Latihan soal ini adalah:
𝑱𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉
𝒋𝒂𝒘𝒂𝒃𝒂𝒏
𝒃𝒆𝒏𝒂𝒓
𝟏𝟓
𝒙
𝟏𝟎𝟎
KRITERIA PINDAH MODUL
Peserta didik
dinyatakan memahami modul ini
atau dapat berpindah ke modul
berikutnya apabila telah memenuhi salah satu persyaratan berikut.
1.
Ma
mpu mengerjakan soal latihan secara lengkap, benar, akurat dan sesuai
prosedur pengerjaan
, dengan hasil
minimal 75%.
2.
Mampu mengerjakan evaluasi untuk
modul ini dengan benar, akurat dan sesuai
prosedur pengerjaan, dengan hasil minimal 75%.
Peserta didik
d
inyatakan belum memahami dan menguasai modul ini
serta
belum dapat
berpindah ke modul berikutnya apabila:
1.
Mampu mengerjakan tugas dan soal latihan den
gan benar, akurat dan sesuai
prosedur
pengerjaan dengan hasil
di bawah 75%
.
2.
Mengerjakan evaluasi dengan hasil di bawah 75%.
Kunci Jawaban Evaluasi
1.
E
2.
A
3.
D
4.
E
5.
D
6.
C
7.
C
8.
C
9.
E
10.
B
11.
B
12.
C
13.
A
14.
B
15.
C
Modul
Matematika Umum Kelas X KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jend
e
ral PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
33
DAFTAR PUSTAKA
Kemendikbud. 2017.
Modul
1
:
Belanja Cerdas
. Matematika Paket C, Setara Kelas X
SMA/MA
.
Jakarta: Dirjen PAUD dan DIKMAS. Direktorat Pembinaan Pendidikan
Keaksaraan dan Kesetaraan.
Sina
ga, Bornok, dkk. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Untuk Kelas X. Jakarta:
Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.
https://cerdasnurani.com/ppdb/cerdas
–
nurani
–
batujajar/
waktu
–
jam
–
belajar
–
2/
.
2020. Diakses pada tanggal 12 September 2020.
https://yos3prens.wordpress.com/2013/11/20/5
–
soal
–
dan
–
pembahasan
–
penerapan
–
nilai
–
m
utlak/
.
2013. Diakses pada tanggal 12 September 2020.
https://mathcyber1997.com/soal
–
dan
–
pembahasan
–
soal
–
cerita
–
nilai
–
mutlak
.
2019.
Diakses pada tanggal 12 September 2
020.
https://blog.ruangguru.com/menyelesaikan
–
persamaan
–
linear
–
mutlak
.
2019. Diakses
pada tanggal 12 September 2020.
https://brainly.co.id/tugas/22118492
. 2019.
Diakses pada tanggal
5 Oktober
2020.
Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Satu Variabel
Sumber: https://ibuim.com/katalog/Bab%201%20Persamaan%20dan%20Pertidaksamaan%20Nilai%20Mutlak%20Linear%20Satu/c1fcf32a/1