Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

KlikBelajar.com – Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
merupakan materi matematika kelas 10.

Kita akan mempelajari cara mengerjakan soal persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak yang sederhana, yaitu persamaan atau pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak bentuk linear satu variabel.

Untuk dapat mengerjakan soal tersebut, kita harus mampu:

  1. Memahami konsep nilai mutlak.
  2. Mampu menyelesaikan persamaan linier satu variabel.

1. Konsep Nilai Mutlak

Kita mulai membahas konsep nilai mutlak dengan ilustrasi cerita berikut ini.

Seorang anak bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diamnya anak tersebut, si anak melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya 1 langkah lagi ke belakang.

Secara matematis, ilustrasi ini dapat dinyatakan sebagai berikut.

Definisikan lompatan anak tersebut ke arah depan searah dengan sumbu x positif.

Oleh karena itu, lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif.

Perhatikan sketsa berikut.

Pada gambar di atas, kita misalkan bahwa x=0 adalah posisi diam si anak. Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan langkah pertama si anak sejauh 2 langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif atau +2).

Anak panah yang kedua menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang (mengarah ke sumbu x negatif atau –3) dari posisi akhir langkah pertama.

Begitu seterusnya sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah kelima.

Dengan demikian, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1 langkah saja ke belakang (x = –1 atau $x = (+2) + (–3) + (+2) + (–1) + (–1) = –1)$, tetapi banyak langkah yang dilakukan si anak merupakan konsep nilai mutlak.

Kita hanya menghitung banyak langkah si anak, bukan arah lompatan si anak, sehingga banyak langkah yang dilakukan si anak adalah:

$|2| + |–3| + |2| + |–1| + |–1| = 9$ (atau 9 langkah).

Perhatikan tabel berikut.

Berdasarkan cerita dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik suatu kesimpulan tentang pengertian nilai mutlak?

Misalnya x adalah variabel pengganti sebarang bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak dari x tersebut?

Perhatikan x anggota himpunan bilangan real (ditulis x∈R).

Berdasarkan tabel di atas, kita melihat bahwa nilai mutlak dari x akan bernilai positif atau nol (non negatif) dan secara geometris nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real.

Oleh karena itu, tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif, tetapi mungkin saja bernilai nol.

Berikut ini beberapa contoh percobaan perpindahan posisi pada garis bilangan.

Catatan:

  • Garis bilangan adalah media yang digunakan untuk menunjukkan nilai mutlak.
  • Tanda panah menentukan besar nilai mutlak, dimana arah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif.
  • Besar nilai mutlak dilihat seberapa panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.

Penjelasan:

  • Garis bilangan 1 menunjukkan tanda panah bergerak ke arah kanan berawal dari bilangan 0 menuju bilangan 3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti bahwa nilai $|3| = 3$ atau bisa dikatakan berjarak 3 satuan dari bilangan 0.
  • Garis bilangan 5 menunjukkan tanda panah bergerak ke arah kiri berawal dari bilangan 0 menuju bilangan –3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti bahwa nilai $|–3| = 3$ atau  bisa dikatakan berjarak 3 satuan dari bilangan 0.
Baca :   Alat Untuk Mengukur Tebal Pelat Seng

Dari dua penjelasan di atas dapat dituliskan
konsep nilai mutlak
berikut.

Definisi:

Misalkan $x$ bilangan real, |x| dibaca nilai mutlak x, dan didefinisikan sebagai:

$|x| = \begin{cases} x, & \mbox{jika} \ x \ge 0 \\ -x, & \mbox{jika} \ x  < 0 \end{cases} $

Definisi di atas dapat diungkapkan dengan menggunakan kalimat yaitu nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu.

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa:

a) $ | \frac{1}{2} | = \frac{1}{2}$, karena  $ \frac{1}{2} >0$ ($\frac{1}{2}$ adalah bilangan positif).

b) $|5| = 5$, karena $5 > 0$ (atau 5 adalah bilangan positif).

c) $|–3| = –(–3) = 3$, karena –3 < 0 ( atau –3 adalah bilangan negatif).

2. Persamaan Linear Satu Variabel

Dalam matematika, persamaan adalah kalimat terbuka matematika yang menggunakan relasi sama dengan (=).

Contohnya, $x^2 − 1 = 0$ yang secara khusus dikenal dengan persamaan kuadrat.

Sedangkan contoh persamaan linier satu variabel (PLSV) adalah $x + 1 = 3$ dimana x merupakan satu-satunya variabel/peubah dan pangkat tertinggi dari variabel itu adalah 1 (satu) sehingga disebut persamaan linier satu variabel (PLSV).

Menyelesaikan PLSV adalah mencari nilai x sehingga ketika disubstitusikan ke PLSV tersebut menjadi kalimat yang benar. Persamaan $x+1=3$ memiliki solusi atau penyelesaian $x=2$ karena (2)+1=3 bernilai benar.

Untuk selengkapnya baca Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV).

3. Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Pada bagian ini, kita akan mengkaji bentuk persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan strategi menyelesaikannya. Untuk memulainya, mari kita cermati pembahasan masalah berikut ini.

Tentukan nilai x jika ada yang memenuhi jika diberikan persamaan berikut ini.

1. |2x – 1| = 7

2. |x + 5| = –6

3. |(4x –8)| = 0

4. –5|3x – 7| + 4 = 14

5. |2x – 1| = |x + 3|

Jawab:

1. Kita ubah bentuk |2x – 1| menggunakan definisi nilai mutlak. Pembuat nol dari 2x – 1 adalah $\frac{1}{2} $ sehingga:

$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1, & \mbox{jika} \ x \ge \frac{1}{2} \\ -(2x-1), & \mbox{jika} \ x  < \frac{1}{2} \end{cases} $

Akibatnya diperoleh 2 persamaan, yaitu sebagai berikut.

Untuk $x ≥ \frac{1}{2}$

$\begin{align} 2x – 1 &= 7 \\ 2x &= 7 + 1, \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \end{align} $

Untuk $x < \frac{1}{2}$
$\begin{align} -(2x – 1) &= 7 \\ -2x+1 &=7 \\ -2x &= 7 – 1, \\ -2x &= 6 \\ x &= -3 \end{align} $

Jadi, nilai x = 4 atau x = –3 memenuhi persamaan nilai mutlak |2x – 1| = 7.

2. Tidak ada $x \in R $ yang memenuhi persamaan |x+5|=-6.

3. Persamaan $|(4x – 8)| = 0$ berlaku untuk $4x – 8 = 0$  sehingga $x = 2 $ memenuhi persamaan $|4x – 8| = 0$.

4. Persamaan $–5|3x – 7|+ 4=14$ yang ekuivalen dengan $|3x – 7|= –2$ dimana bentuk $|3x – 7|=–2$ bukan suatu persamaan. Karena itu tidak ada $x$ bilangan real sedemikian sehingga $|3x – 7| = –2$.

5. Ubah bentuk $|2x – 1|$ dan $|x + 3|$ dengan menggunakan Definisi Nilai Mutlak, sehingga diperoleh:

$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1, & \mbox{jika} \ x \ge \frac{1}{2} \\ -(2x-1), & \mbox{jika} \ x  < \frac{1}{2} \end{cases} \ \ \ \  (1.1 )$




$|x+3| = \begin{cases} x+3, & \mbox{jika} \ x \ge -3 \\ -(x+3), & \mbox{jika} \ x  < -3 \end{cases}  \ \ \ \ (1.2)$

Berdasarkan sifat persamaan, bentuk $|2x – 1| = |x + 3|$, dapat dinyatakan menjadi $|2x –1| – |x + 3| = 0$.

Artinya, sesuai dengan konsep dasar “mengurang”, kita dapat mengurang |2x – 1| dengan |x + 3| jika syarat $x$ sama.

Sekarang, kita harus memikirkan strategi agar |2x – 1| dan |x + 3| memiliki syarat yang sama.

Baca :   Rumus Q1 Q2 Q3 Data Tunggal

Syarat tersebut kita peroleh berdasarkan garis bilangan berikut.

Akibatnya, untuk menyelesaikan persamaan $|2x – 1| – |x + 3| = 0$, kita fokus pada tiga kemungkinan syarat x, yaitu $x ≥ \frac{1}{2} $ atau $–3 ≤ x < \frac{1}{2}$ atau $x < –3$.

Oleh karena itu, bentuk (1.1) dan (1.2) dapat disederhanakan menjadi:

➢ Kemungkinan 1, untuk $x ≥ \frac{1}{2} $ maka persamaan $|2x – 1| – |x + 3| = 0 $ menjadi $(2x – 1) – (x + 3) = 0$ atau $x = 4$.

Karena $x ≥ \frac{1}{2} $, maka $x = 4$ memenuhi persamaan.

➢ Kemungkinan 2, untuk $–3 ≤ x < \frac{1}{2}$ maka persamaan  $|2x – 1| – |x + 3| = 0$ menjadi $–2x + 1 – (x + 3) = 0$ atau $x = – \frac {2}{3}$.

Karena $–3 ≤ x < \frac{1}{2}$ maka $x = – \frac{2}{3}$ memenuhi persamaan.

➢ Kemungkinan 3, $x < –3$ maka persamaan $|2x – 1| – |x + 3| = 0$ menjadi $–2x + 1 – (–x – 3) = 0$ atau $x = 4$.

Karena $x < –3$, maka tidak ada nilai $x$ yang memenuhi persamaan.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|2x – 1| = |x + 3|$ adalah $x = 4$ atau $x = – \frac{2}{3} $.

4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Berdasarkan konsep nilai mutlak dan persamaan nilai mutlak, yang telah kita pelajari pada tulisan di atas, kita akan mempelajari selanjutnya bagaimana konsep pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel dan bagaimana menyelesaikannya.

Di dalam kehidupan kita sehari-hari, kita banyak menjumpai kasus yang melibatkan adanya pembatasan dalam suatu hal.

Seperti pada lowongan kerja yang mensyaratkan pelamar dengan batasan usia tertentu, atau batas nilai cukup bagi seorang pelamar kerja agar dinyatakan lulus dari ujian yang dilaksanakan, dan sebagainya.

Kita akan mengaplikasikan konsep nilai mutlak ke dalam pertidaksamaan linear dengan memahami dan meneliti kasus berikut ini.

“Ada bayi yang lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Ibu dan Anak. Untuk mengatur suhu tubuh bayi agar tetap stabil di suhu 34°C, harus dimasukkan ke inkubator selama 2 hari. Suhu inkubator harus dipertahankan berkisar antara 32°C sampai 35°C. Bayi itu lahir dengan BB seberat 2.100-2.500 gram. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0,2°C, maka tentukan interval perubahan suhu inkubatornya!”

Pada kasus tersebut di atas, kita sudah mendapatkan data dan suhu inkubator yang harus dipertahankan selama 1-2 hari semenjak kelahiran, yaitu 34°C.

Misalkan t adalah segala kemungkinan perubahan suhu inkubator akibat pengaruh suhu ruang, dengan perubahan yang diharapkan sebesar 0,2°C.

Nilai mutlak suhu tersebut dapat dimodelkan sebagai berikut.

|t – 34| ≤ 0,2

Dengan menggunakan Definisi Nilai Mutlak, $|t – 34|$ ditulis menjadi:

$ |t-34| \begin{cases} t-34, & \mbox{jika} \ t \ge 34 \\ -(t-34), & \mbox{jika} \ t <34 \end{cases} $

Akibatnya, $|t – 34| ≤ 0,2$ berubah menjadi $t – 34 ≤ 0,2$ dan $–(t – 34) ≤ 0,2$ atau $t – 34 ≤ 0,2$ dan $(t – 34) ≥ -0,2$ atau dituliskan menjadi:

|t – 34| ≤ 0,2

⇔ –0,2 ≤ t – 34 ≤ 0,2

⇔ 33,8 ≤ t ≤ 34,2

Dengan demikian, interval perubahan suhu inkubator adalah $\{t| \ 33,8 ≤ t ≤ 34,2\}$.

Jadi, perubahan suhu inkubator itu bergerak dari 33,8°C sampai dengan 34,2°C.

Secara umum, untuk setiap x, a∈R,
pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel
dapat disajikan dalam bentuk berikut ini.

|x| ≤ a untuk a ≥ 0

|x| ≥ a untuk a ≥ 0

Ingat bahwa nilai mutlak tidak pernah bernilai negatif. Jika demikian halnya, menurut pendapat Anda apa yang akan terjadi pada bentuk umum di atas jika a<0?

Baca :   Kafein Adalah Zat Adiktif Yang Terdapat Dalam

Berikutnya, mari kita temukan penyelesaian dari bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak linear |x| ≤ a dan |x| ≥ a untuk a ≥ 0, a∈R.

  • Kasus 1, |x| ≤a untuk a ≥ 0, a∈R

Dengan menggunakan Definisi Nilai Mutlak, maka:

untuk x≥0, maka |x|=x sehingga x≤a.

untuk x<0, maka |x|=–x sehingga –x≤a atau x≥ –a.

Dengan demikian, penyelesaian dari |x|≤a untuk a≥0, a∈R adalah x≤a dan x≥–a (atau sering dituliskan dengan –a ≤ x ≤ a).

Jadi, menyelesaikan |x| ≤ a setara dengan menyelesaikan –a ≤ x ≤ a.

  • Kasus 2, |x|≥ a untuk a≥0, a∈R

Dengan menggunakan Definisi Nilai Mutlak, maka
untuk x≥0, maka |x|=x sehingga x≥a.

untuk x < 0, maka |x| = –x sehingga –x ≥ a atau x ≤ –a.

Dengan demikian, penyelesaian dari |x|≥ a untuk a≥0, a∈R, adalah x≤–a atau x≥a.

Jadi, menyelesaikan |x|≥a setara dengan menyelesaikan x≥a atau x≤-a.

Dari masalah-masalah dan penyelesaian di atas, maka dapat ditarik kesimpulan
sifat pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel.

Sifat-Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Untuk setiap a, x bilangan real.

1. Jika a≥0 dan |x|≤ a, maka –a≤x≤ a.

2. Jika a<0 dan |x|≤a, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi  pertidaksamaan.

3. Jika |x|≥a, dan a>0 maka x≥a atau x≤–a.

4. $|x| = \sqrt{x^2} $

Buktikan $|x + y|≤ |x| + |y|$

Bukti:

Untuk x, y bilangan real,

$|x| ≤ |y| ⇔ –|y| ≤ x ≤ |y|$

Untuk x, y bilangan real,

$|y| ≤ |x| ⇔ –|x| ≤ y ≤ |x| $

Dari kedua pernyataan di atas, maka diperoleh:

–(|x| + |y|) < x + y ≤ (|x| + |y|)

⇔ |x + y| ≤ |x| + |y|

Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Contoh Soal 1: Selesaikanlah pertidaksamaan $|2x +1| ≥ |x – 3|$

Gunakan $|x| = \sqrt{x^2} $.

Langkah 1: Ingat bahwa $|x |= \sqrt{x^2} $, sehingga $(|x |)^2= x^2 $. Oleh karena itu,

|2x + 1| ≥ |x – 3|

⇔ $(2x + 1)^2 ≥ (x – 3)^2$

⇔ $4x^2 + 4x + 1 ≥ x^2 – 6x + 9$

⇔ $3x^2 + 10x – 8 ≥ 0$ (bentuk kuadrat)

⇔ $(3x – 2)(x + 4) ≥ 0$

Langkah 2: Menentukan pembuat nol, yaitu $x = \frac{2}{3} $ atau $x = –4$.

Langkah 3: Letakkan pembuat nol dan tanda pada garis bilangan

Langkah 4: Menentukan interval penyelesaian. Dalam hal ini, interval penyelesaian merupakan selang nilai $x$ yang membuat pertidaksamaan bernilai non-negatif, sesuai dengan tanda pertidaksamaan pada soal di atas.

Dengan menguji masing-masing interval yang ada, yaitu $( \infty, -4]$, $[-4, \frac{2}{3}]$, dan $[ \frac{2}{3}, \infty)$, arsiran pada interval di bawah ini adalah penyelesaian pertidaksamaan tersebut karena bernilai non-negatif.

Langkah 5: Menuliskan kembali interval penyelesaian.

$HP=\{x| \ x \le -4 \ atau \ x \ge \frac{2}{3} \}$

Perhatikan grafik berikut. Kita akan menggambarkan grafik $y = |2x + 1|$ dan grafik $y = |x – 3|$, untuk setiap x∈R.

Pertidaksamaan $|2x + 1| ≥ |x – 3|$ dapat dibaca menjadi nilai $y = |2x + 1|$ lebih besar $y = |x – 3|$ dan berdasarkan grafik dapat dilihat pada interval $\{x| \ x \le -4 \ atau \ x \ge \frac{2}{3} \}$

Contoh Soal 2: Solusi dari pertidaksamaan $|3x -2| < |x| + 2$ adalah

$|3x-2| – |x| < 2$

Untuk x>0 maka $3x-2 – x < 2  $ atau $2x-2<2$, sehingga diperoleh $x <2$

Untuk x<0 maka $-(3x-2)-(-x) <2$ atau $-2x+2 < 0$, sehingga diperoleh $x>0$.

Jadi, diperoleh solusinya yaitu $0 <x <2$

Demikian pembahasan
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel, semoga bermanfaat.

Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Sumber: https://www.matematikakubisa.biz.id/2022/05/persamaan-dan-pertidaksamaan-nilai-mutlak-linear-satu-variabel.html

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …