Perkalian Matriks 2×3 Dengan 2×3

Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris pada

matriks B.

Misalnya matriks ordo 2 x 3 dapat dikalikan dengan matriks ordo 3 x three tetapi tidak bisa dikalikan dengan matriks berordo three x 2 karena jumlah baris matriks ordo iii x 2 tidak sama dengan jumlah kolom matriks ordo two x 3.

Prinsip perkalian dua matriks adalah mengalikan komponen yang berada pada baris matriks pertama dengan komponen yang berada pada kolom matriks kedua. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh yang akan kita bahas.

Kumpulan Soal Perkalian Matriks

1. Matriks A dan B masing-masing seperti di bawah ini. Tentukan A.B dan B.A

   

   Pembahasan :
   
   A2X2
   dikali dengan B2X2
   akan menghasilkan matriks 2×2.

   

   B2X2
   dikali dengan A2X2
   akan menghasilkan matriks 2×2.

   

   Dari hasil yang diperoleh dapat kita lihat bahwa AB ≠ BA

2. Matriks P dan Q adalah sebagai berikut :

   

   Pembahasan :
   
   P2X3
   dikali dengan Q3X3
   akan menghasilkan matriks 2×3.

   

3. Tentukan hasil kali Thousand.G jika K dan M seperti di bawah ini.

   

   Pembahasan :
   
   Thousand3X1
   dikalikan dengan K1X3
   akan menghasilkan matriiks 3×3

   

4. Matriks A dan B masing-masing seperti di bawah ini. Tentukan A.B

   

   Pembahasan :
   
   A1X3
   dikali dengan B3X1
   akan menghasilkan matriks 1×1

   

5. Tentukan hasil dari A.B :

   

   Pembahasan :
   
   A4X3
   dikali dengan B3X2
   akan menghasilkan matriks ordo 4×2

   

6. Bila matriks A merupakan matriks 2×2 seperti di bawah ini, maka tentukanlah A
   ²
   

   

   Pembahasan :

   

7. Buktikan bahwa A.I = I.A. Dengan matriks A seperti pada soal no 6 dan I matriks identitas 2×2.

   Pembahasan :

   

8. Tentukan A.B jika A dan B seperti di bawah ini.

   

   Pembahasan :
   
   Karena A2X2
   dan B2X1
   maka hasilnya adalah matriks ordo 2×1 seperti ini.

   

9. Berikan dua matriks A dan B yang memenuhi persamaan (A+B)
   ²
   
   = A
   ²
   
   + B
   ²
   

   Pembahasan :
   
   (A+B)²
   = A²
   + B²
   
   A²
   + AB + BA + B²
   = A²
   + B^two
   —> ingat bahwa pada matriks belum tentu AB = BA
   A²
   + B^two
   – Aⁱⁱ
   – B²
   + AB + BA = 0
   AB + BA = 0

   Untuk tujuan praktis, anggaplah AB = 0 dan BA = 0 dengan begitu AB + BA = 0.
   
   Beberapa syarat agar AB = BA = 0 antara lain :

   • Kedua matriks merupakan matriks persegi yang memiliki ordo sama karena jika ordo berbeda pasti AB tidak akan sama dengan -BA. Sebagai contoh, matriks A2X3.B3X2
     ≠ B3X2.A2X3. Kenapa? karena A2X3.B3X2
     = C2X2
     sedangkan B3X2.A2X3
     = C3X3. Jadi melihat ordonya saja sudah jelas tidak mungkin sama.
   • Kedua matriks memiliki komponen yang sama dengan komponen positif pada baris pertama dan komponen negatif pada baris kedua.

   Misalnya matriks A dan B adalah :

   

   Pembuktian :
   (A+B)²
   = A²
   + B²

   

10. Berikan dua matriks yang memenuhi persamaan A
    ^two
    
    – B
    ²
    
    = (A – B)(A + B)

    Pembahasan :
    
    A
    ²
    
    – B
    ^two
    
    = (A – B)(A + B)
    A
    ²
    
    – B
    ^two
    
    = A
    ²
    
    + AB – BA – B
    ²
    
    —> ingat bahwa pada matriks belum tentu AB = BA
    A
    ²
    
    – B
    ²
    
    – A
    ⁱⁱ
    
    + B
    ²
    
    = AB – BA
    0 = AB- BA
    AB = BA

    Beberapa syarat agar AB = BA antara lain:

    • Kedua matriks harus matriks persegi misal 2×2, 3×3 dan lain sebagainya. Kedua matriks harus memiliki ordo sama karena jika ordo berbeda pasti AB tidak akan sama dengan BA. Sebagai contoh, matriks A2X3.B3X2
      ≠ B3X2.A2X3. Kenapa? karena A2X3.B3X2
      = C2X2
      sedangkan B3X2.A2X3
      = C3X3. Jadi melihat ordonya saja sudah jelas tidak mungkin sama.
    • Masing-masing matriks memiliki komponen yang sama di semua sel karena jika matriks mengandung komponen yang berbeda, saat dibalik maka hasilnya akan berbeda.

    Misal matriks A dan B adalah sebagai berikut :

    

    Berdasarkan prinsip kesamaan matriks, maka diperoleh :
    ak + bm = ka + lc
    
    al + an = kb + ld
    
    ak + dm = ma + nc
    
    al + dn = mb + nd
    
    untuk tujuan praktis, maka dapat dibuat a = b = c = d dan grand = l = thou = n.

    Salah satu alternatif yang dapat memenuhi persyaratan AB = BA adalah matriks persegi ordo 2×2 dengan komponen matriks sama di semua sel. misalnya seperti berikut :

    

    Pembuktian :

         A
    ²
    
    – B
    ²
    
    = (A – B)(A + B)