Pembahasan Soal Integral Trigonometri

Pembahasan Soal Integral Trigonometri.

Web log Koma
– Setelah mempelajari “Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar”, kita akan lanjutkan lagi materi
integral
yang berkaitan dengan
Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri. Sifat-sifat
integral tak tentu
juga berlaku pada integral fungsi trigonometri. Untuk memudahkan, silahkan baca materi “Turunan Fungsi Trigonometri” terlebih dahulu karena integral adalah kebalikan dari turunan.

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar)

Berdasarkan
pengertian integral, $ \int f^\prime (x) dx = f(x) + c $, dimana $ f^\prime number (x) \, $ adalah turuan dari fungsi $ f(x) $ :

Rumus integral Trigonometri :

1). $ f(x) = \sin x \rightarrow f^\prime (x) = \cos x $

artinya $ \int \cos x dx = \sin ten + c $

two). $ f(ten) = \cos 10 \rightarrow f^\prime (x) = -\sin 10 $

artinya $ \int – \sin 10 dx = \cos x + c \, $ atau $ \, \int \sin x dx = -\cos 10 + c $

3). $ f(x) = \tan x \rightarrow f^\prime (x) = \sec ^2 10 $

artinya $ \int \sec ^ii ten dx = \tan x + c $

iv). $ f(10) = \cot ten \rightarrow f^\prime (10) = -\csc ^2 ten $

artinya $ \int – \csc ^2 x dx = \cot x + c \, $ atau $ \, \int \csc ^ii x dx = -\cot x + c $

5). $ f(x) = \sec x \rightarrow f^\prime (x) = \sec x \tan x $

artinya $ \int \sec ten \tan x dx = \sec x + c $

vi). $ f(10) = \csc 10 \rightarrow f^\prime number (x) = -\csc ten \cot ten $

artinya $ \int -\csc 10 \cot x dx = \csc x + c \, $

atau $ \, \int \csc x \cot x dx = -\csc 10 + c $

Contoh soal integral fungsi trigonometri :

1). Tentukan hasil integral berikut ini :

a). $ \int ii\sin 10 dx $

b). $ \int \sin x – \cos x dx $

c). $ \int \frac{\sin 10 + \csc x}{\tan 10 } dx $

d). $ \int \frac{\tan x + \cot 10}{\sin two ten } dx $

Penyelesaian :

*). Rumus dasar trigonometri :

$ \sec ten = \frac{1}{\cos x }, \, \csc 10 = \frac{i}{\sin x}, \, \tan x = \frac{\sin ten}{\cos ten}, \, \cot x = \frac{\cos 10}{\sin 10} $.

*). Soal yang ada kita arahkan menjadi bentuk rumus dasar integral trigonometri di atas.

a). $ \int 2\sin x dx = ii \int \sin x dx = 2(-\cos x ) + c = -2\cos ten + c $

b). $ \int \sin x – \cos x dx = -\cos x – \sin 10 + c $

c). Kita sederhanakan soalnya :

$ \brainstorm{align} \int \frac{\sin 10 + \csc x}{\tan 10 } dx & = \int \frac{\sin 10 + \csc x}{ \frac{\sin x}{\cos x} } dx \\ & = \int (\sin 10 + \csc ten) \times \frac{\cos x}{\sin x} dx \\ & = \int ( \sin x . \times \frac{\cos x}{\sin x} + \csc x \times \frac{\cos x}{\sin x} ) dx \\ & = \int ( \cos x + \csc x \cot x ) dx \\ & = \sin x – \csc x + c \cease{align} $

Sehingga, hasil dari $ \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan ten } dx = \sin x – \csc x + c $.

Baca :   Pengertian Basa Kuat Yang Paling Tepat Adalah

d). Kita sederhanakan soalnya : $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $

$ \begin{align} \int \frac{\tan x + \cot ten}{\sin 2 10 } dx & = \int \frac{\frac{\sin x}{\cos 10} + \frac{\cos 10}{\sin x} }{2 \sin 10 \cos x } dx \\ & = \int \frac{\frac{\sin x}{\cos 10} }{2 \sin ten \cos 10 } + \frac{ \frac{\cos 10}{\sin x} }{ii \sin ten \cos 10 } dx \\ & = \int \frac{\sin x}{\cos 10 . 2 \sin x \cos x} + \frac{\cos 10}{\sin x . two \sin x \cos 10} dx \\ & = \int \frac{1}{\cos ten . 2 \cos ten} + \frac{1}{\sin 10 . 2 \sin x } dx \\ & = \int \frac{1}{2} ( \frac{1}{\cos ^two 10 } + \frac{1}{\sin ^ii x } ) dx \\ & = \frac{1}{2} \int \sec ^2 x + \csc ^2 x dx \\ & = \frac{i}{two} (\tan 10 – \cot x ) + c \end{align} $

Sehingga, hasil dari $ \int \frac{\tan x + \cot x}{\sin 2 10 } dx = \frac{one}{two} (\tan x – \cot x ) + c $.

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar Ii)

Untuk berikut ini, kita akan pelajari rumus integral trigonometri dengan sudut yang lebih kompleks.

Rumus integral Trigonometri :

1). $ f(x) = \sin (ax+b) \rightarrow f^\prime (x) = a\cos (ax + b) $

artinya $ \int a\cos (ax + b) dx = \sin (ax+b) + c $

atau $ \int \cos (ax + b) dx = \frac{one}{a} \sin (ax+b) + c $

2). $ f(x) = \cos (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\sin (ax + b) $

artinya $ \int – a\sin (ax + b) dx = \cos (ax + b) + c \, $

atau $ \, \int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a}\cos (ax + b) + c $

iii). $ f(10) = \tan (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a \sec ^2 (ax + b) $

artinya $ \int a \sec ^2 (ax + b) dx = \tan (ax + b) + c $

atau $ \int \sec ^2 (ax + b) dx = \frac{ane}{a} \tan (ax + b) + c $

4). $ f(ten) = \cot (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc ^2 (ax + b) $

artinya $ \int – a\csc ^2 (ax + b) dx = \cot (ax + b) + c \, $

atau $ \, \int \csc ^ii (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + c $

5). $ f(ten) = \sec (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a\sec (ax + b) \tan (ax + b) $

artinya $ \int a\sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \sec (ax + b) + c $

atau $ \int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + c $

6). $ f(x) = \csc (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) $

artinya $ \int -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = \csc (ax + b) + c $

atau $ \int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = – \frac{i}{a} \csc (ax + b) + c $

Baca :   Nilai Dari C 7 3 Adalah

Contoh soal integral fungsi trigonometri :

2). Tentukan hasil integral dari :

a). $ \int \sin (2x + 3) dx $

b). $ \int 6\sin (1-3x) dx $

c). $ \int \sec ^2 (4x) dx $

d). $ \int \csc ^two (-2x + 1) + \sin (2x) dx $

due east). $ \int \sec (x – 1) \tan (ten-1) dx $

f). $ \int \csc (5x – 3) \cot (5x – iii) dx $

Penyelesaian :

a). $ \int \sin (2x + 3) dx = -\frac{1}{2} \cos (2x + 3) + c $

b). $ \int 6\cos (1-3x) dx = \frac{6}{-three} \sin (one-3x) + c = -ii\sin (one-3x) + c $

c). $ \int \sec ^2 (4x) dx = \frac{i}{iv} \tan (4x) + c $

d). $ \int \csc ^two (-2x + i) + \sin (2x) dx = -\frac{1}{-ii} \cot (-2x + 1) – \frac{1}{2} \cos (2x) + c $

$ = \frac{ane}{2} \cot (-2x + 1) – \frac{ane}{ii} \cos (2x) + c $

east). $ \int \sec (x – 1) \tan (x-one) dx = \sec (ten-one) + c $

f). $ \int \csc (5x – 3) \cot (5x – three) dx = -\frac{1}{v} \csc (5x-three) + c $

Rumus Perkalian Fungsi yang sering digunakan

Berikut merupakan rumus perkalian fungsi trigonometri yang sering digunakan dalam integral trigonometri :

*). $ 2 \sin A \cos B = \sin (A+B) + \sin (A-B) \, $

atau $ \, \sin A \cos B = \frac{one}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $

*). $ 2 \cos A \sin B = \sin (A+B) – \sin (A-B) \, $

atau $ \, \cos A \sin B = \frac{ane}{2} [\sin (A+B) – \sin (A-B)] $

*). $ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) \, $

atau $ \, \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $

*). $ -two \sin A \sin B = \cos (A+B) – \cos (A-B) \, $

atau $ \, \sin A \sin B = -\frac{1}{2} [\cos (A+B) – \cos (A-B)] $

Dari dua rumus terakshir di atas jika $ A + B = f(x) \, $ maka kita peroleh :

*). $ \cos ^2 p f(ten) = \frac{1}{2} [ one + \cos 2p f(x) ] $

*). $ \sin ^ii p f(x) = \frac{1}{ii} [ 1 – \cos 2p f(x) ] $

Untuk materi lebih lengkapnya, silahkan baca : “Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri”.

Contoh Soal :

3). Tentukan hasil integral fungsi trigonometri berikut ini :

a). $ \int \sin 5x \cos 2x dx $

b). $ \int 4\cos 7x \sin 4x dx $

c). $ \int 3cos (3x – one) \cos (2x + 2) dx $

d). $ \int \cos ^ii 3x dx $

east). $ \int \sin ^4 5x dx $

Penyelesaian :

a). Gunakan rumus : $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{ii} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $

$ \begin{align} \int \sin 5x \cos 2x dx & = \int \frac{1}{ii} [ \sin (5x+2x) + \sin (5x-2x)] dx \\ & = \int \frac{one}{two} [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} \int [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{ane}{ii} [ -\frac{1}{7}\cos (7x) – \frac{1}{3} \cos (3x)] + c \\ & = -\frac{one}{14}\cos (7x) – \frac{i}{half dozen} \cos (3x) + c \end{align} $

Baca :   Unsur Unsur Berikut Yang Semuanya Merupakan Unsur Logam Adalah

b). Gunakan rumus : $ \, \cos A \sin B = \frac{one}{2} [\sin (A+B) – \sin (A-B)] $

$ \begin{align} \int 4\cos 7x \sin 4x dx & = \int 4 . \frac{1}{2} [ \sin (7x + 4x ) – \sin (7x – 4x)] dx \\ & = \int 2 [ \sin (11x ) – \sin (3x)] dx \\ & = 2 [ – \frac{1}{11} \cos (11x ) – (-\frac{ane}{3}\cos (3x)) + c \\ & = 2 [ – \frac{1}{11} \cos (11x ) + \frac{1}{3}\cos (3x) + c \\ & = – \frac{ii}{11} \cos (11x ) + \frac{2}{three}\cos (3x) + c \end{align} $

c). Gunakan rumus : $ \, \cos A \cos B = \frac{i}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $

$ \brainstorm{align} & \int 3cos (3x – ane) \cos (2x + two) dx \\ & = \int iii . \frac{1}{two} [ \cos ((3x – 1) + (2x + ii)) + \cos ((3x – ane) – (2x + two))] dx \\ & = \int \frac{iii}{2} [ \cos (5x + 1) + \cos (x – 3)] dx \\ & = \frac{3}{2} [ \frac{ane}{5} \sin (5x + ane) + \sin (x – 3)] + c \\ & = \frac{three}{10} \sin (5x + 1) + \frac{3}{2} \sin (x – 3) + c \end{align} $

d). Gunakan rumus : $ \, \cos ^2 p f(10) = \frac{1}{two} [ 1 + \cos 2p f(x) ] $

$ \int \cos ^ii 3x dx $

$ \brainstorm{align} \int \cos ^2 3x dx & = \int \frac{1}{2} [ one + \cos two . 3x ] dx \\ & = \int \frac{i}{2} [ 1 + \cos 6x ] dx \\ & = \frac{one}{2} [ x + \frac{1}{6} \sin 6x ] + c \\ & = \frac{ane}{2}x + \frac{ane}{12} \sin 6x + c \cease{align} $

east). Gunakan rumus : $ \, \sin ^two p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 – \cos 2p f(x) ] $

$ \begin{align} \int \sin ^four 5x dx & = \int \sin ^2 5x \sin ^2 5x dx \\ & = \int (\sin ^2 5x)^two dx \\ & = \int (\frac{1}{2} [ 1 – \cos ii . 5x ])^2 dx \\ & = \int \frac{ane}{iv} [ i – \cos 10x ]^2 dx \\ & = \frac{ane}{4} \int [ one – 2 \cos 10 x + \cos ^2 10 x ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ ane – 2 \cos 10 x + \frac{ane}{2} [ i + \cos two . 10x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 – 2 \cos x x + \frac{one}{ii} [ 1 + \cos 20x ] ] dx \\ & = \frac{ane}{four} \int [ 1 – 2 \cos 10 x + \frac{ane}{2} + \frac{1}{ii} \cos 20x ] dx \\ & = \frac{1}{iv} [ x – \frac{ii}{10} \sin 10 10 + \frac{1}{2}x + \frac{one}{2} . \frac{1}{20} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{1}{iv} [ \frac{3}{2}ten – \frac{two}{ten} \sin x x + \frac{1}{xl} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{iii}{8}x – \frac{two}{40} \sin 10 x + \frac{i}{160} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x – \frac{1}{20} \sin 10 ten + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \stop{align} $

Pembahasan Soal Integral Trigonometri

Source: https://www.konsep-matematika.com/2016/02/integral-tak-tentu-fungsi-trigonometri.html

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …