Mencari Nilai Minimum Fungsi

Web log Koma
– Setelah mempelajari “nilai stasioner fungsi”, kita lanjutkan dengan pembahasan aplikasi turunan lainnya yaitu
nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Sebenarnya untuk
nilai maksimum dan minimum suatu fungsi
materinya mirip dengan nilai stasioner , hanya saja kita lebih spesifik membahas jenis maksimum dan minimumnya saja. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya baca materi “turunan fungsi aljabar”, “turunan fungsi trigonometri” dan “turunan kedua fungsi”.

Contoh :

1). Tentukan nilai maksimum dari fungsi $ f(10) = -ten^two + 4x + 3 $ ?

Penyelesaian :

*). Fungsi awal : $ f(x) = -x^2 + 4x + three $

$ f^\prime (x) = -2x + 4 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (10) = -2 $

*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $

$ f^\prime (ten) = 0 \rightarrow -2x + four = 0 \rightarrow x = ii $ .

*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.

untuk $ x = 2 \rightarrow f^{\prime \prime number } (ii) = -2 \, $ (negatif), jenisnya maksimum. Artinya nilai $ x = 2\, $ menyebabkan fungsinya maksimum.

*). Menentukan nilai maksimum saat $ x = 2 $ , substitusi ke fungsi awal

$ f_{maks} = f(2) = -(2)^2 + 4.2 + 3 = 7 $

Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = -x^2 + 4x + three \, $ adalah 7 pada saat $ ten = 2 $ .

2). Tentukan nilai minimum fungsi $ f(10) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{i}{2}10^2 – 2x + 3 $ ?

Penyelesaian :

*). Fungsi awal : $ f(x) = \frac{ane}{3}x^3 + \frac{ane}{2}10^two – 2x + 3 $

$ f^\prime (x) = x^two + 10 – 2 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 2x + one $

*). Menentukan nilai $ ten \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $

$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow x^two + x – ii = 0 \rightarrow (ten+ii)(ten-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1 $ .

*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.

untuk $ 10 = -2 \rightarrow f^{\prime \prime } (-2) = ii.(-ii) + one = -3 \, $ (negatif), jenisnya maksimum. Artinya nilai $ ten = – 2\, $ menyebabkan fungsinya maksimum.

untuk $ 10 = 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (i) = 2.(1) + one = 3 \, $ (positif), jenisnya minimum. Artinya nilai $ ten = one\, $ menyebabkan fungsinya minimum.

*). Menentukan nilai minimum saat $ x = one $ , substitusi ke fungsi awal

$ f_{min} = f(1) = \frac{i}{3}.1^three + \frac{1}{2}.1^2 – 2.i + iii = \frac{11}{6} $

Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^ii – 2x + three \, $ adalah $ \frac{11}{6} $ pada saat $ x = 1 $ .

3). Fungsi $ f(x) = \frac{i}{2}x – \sqrt{x – p } \, $ memiliki nilai maksimum $ \frac{v}{ii} $. Tentukan nilai $ 2p – 5 $ ?

Penyelesaian :

*). Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{2}x – \sqrt{ten – p } $

$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} – \frac{1}{two\sqrt{x-p}} \, $

*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $

$ \begin{marshal} f^\prime (10) & = 0 \\ \frac{i}{2} – \frac{i}{2\sqrt{x-p}} & = 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{x-p}} & = \frac{1}{2} \\ \sqrt{ten-p} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{ten-p})^2 & = 1^2 \\ x-p & = 1 \\ 10 & = p+one \end{marshal} $ .

Artinya fungsi $ f(x) \, $ maksimum pada saat $ x = p + i \, $ .

*). Menentuka nilai $ p \, $ dengan nilai maksimumnya $ \frac{five}{two} \, $ pada saat $ x = p + 1 $ . Artinya $ f_{maks} = \frac{5}{ii} \rightarrow f(p+1) = \frac{5}{2} $ . Substitusi $ x = p + 1 \, $ ke fungsi awal diperoleh nilai maksimumnya :

$ \begin{align} f(ten) & = \frac{1}{two}x – \sqrt{x – p } \\ f(p+i) & = \frac{v}{two} \\ \frac{ane}{2}(p+i) – \sqrt{(p+ane) – p } & = \frac{five}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) – \sqrt{i} & = \frac{5}{2} \\ \frac{i}{2}(p+1) – 1 & = \frac{five}{2} \\ \frac{one}{two}(p+1) & = \frac{v}{ii} + 1 \\ \frac{1}{2}(p+ane) & = \frac{vii}{ii} \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ p + 1 & = 7 \\ p & = 6 \end{marshal} $ .

Sehingga nilai $ p = 6 $ .

Nilai $ 2p – 5 = 2.6 – 5 = 12 – five = 7 $

Jadi, nilai $ 2p – five = 5 $ .

Contoh :

4). Tentukan nilai minimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{two}x^2 – 2x + 3 \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 3$? Penyelesaian :

*). Soal ini sama dengan contoh soal nomor ii di atas, nilai minimumnya pada saat $ 10 = ane $ .

*). Menentukan nilai fungsi pada batas intervalnya yaitu $ f (0) \, $ dan $ f(iii) $.

Untuk $ ten = 0 \rightarrow f(0) = \frac{1}{3}.0^iii + \frac{one}{two}.0^2 – 2.0 + 3 = iii $

Untuk $ x = 3 \rightarrow f(3) = \frac{1}{3}.iii^3 + \frac{ane}{ii}.3^2 – 2.3 + 3 = \frac{21}{2} $

*). Dari syarat stasioner, fungsi $ f(x) \, $ minimum saat $ x = 1 \, $ yang ada pada interval $ 0 \leq x \leq 3 \, $ . Untuk $ x = 1 \rightarrow f(ane) = \frac{1}{3}.1^iii + \frac{1}{ii}.1^ii – ii.i + 3 = \frac{11}{6} $

Dari haisil nilai fungsi di atas, nilai minimum fungsi $ f(x) \, $ adalah $ \frac{11}{6} $ .

Jika nilai $ 10 \, $ yang memenuhi syarat stasioner tida pada interval $ a \leq ten \leq b \, $ , maka nilai fungsi untuk syarat stasioner ini tidak perlu di hitung.

5). Tentukan nilai minimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{iii}x^iii + \frac{1}{ii}x^ii – 2x + 3 \, $ pada interval $ -2 \leq ten \leq 0$? Penyelesaian :

*). Soal ini sama dengan contoh soal nomor 2 di atas, nilai minimumnya pada saat $ x = 1 $ .

*). Menentukan nilai fungsi pada batas intervalnya yaitu $ f (-two) \, $ dan $ f(0) $.

Untuk $ x = -2 \rightarrow f(-2) = \frac{1}{3}.(-two)^three + \frac{1}{two}.(-ii)^2 – 2.(-2) + 3 = \frac{19}{3} $

Untuk $ x = 0 \rightarrow f(0) = \frac{1}{three}.0^three + \frac{1}{2}.0^2 – two.0 + 3 = 3 $

*). Dari syarat stasioner, fungsi $ f(x) \, $ minimum saat $ x = i \, $ yang tidak ada pada interval $ -two \leq x \leq 0 \, $ . Artinya nilai fungsi untuk $ 10 = 1 \, $ tidak perlu kita hitung.

Dari haisil nilai fungsi di atas, nilai minimum fungsi $ f(x) \, $ adalah $ 3 $ .

Contoh nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri.

6). Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi $ f(x) = 3\sin x + iv \cos 10 $?

Penyelesaian :

*). Fungsi awal : $ f(x) = three\sin 10 + 4 \cos x $

$ f^\prime number (ten) = 3\cos x – 4\sin x \, $ dan $ f^{\prime number \prime } (x) = -3\sin x – 4\cos ten $

*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $

$ \begin{align} f^\prime (ten) & = 0 \\ 3\cos 10 – four\sin ten & = 0 \\ three\cos x & = 4\sin x \\ \frac{\sin x }{\cos x } & = \frac{iii}{4} \\ \tan 10 & = \frac{3}{4} \end{align} $ .

menentukan nilai $ \sin x \, $ dan $ \cos ten \, $ dari $ \tan x = \frac{3}{4} $ .

Rumus dasar $ \tan ten = \frac{depan}{samping} = \frac{3}{4} \, $ artinya pada segitiga siku-siku panjang depan sudutnya iii dan sampingnya 4, sehingga dengan teorema pythagoras sisi miringnya adalah 5.

Nilai $ \sin x = \frac{depan}{miring} = \pm \frac{3}{five} \, $

Nilai $ \cos ten = \frac{depan}{miring} = \pm \frac{4}{5} \, $

karena nilai tan positif bisa dikuasran I atau kuadran 3, sehingga nilai sin dan cos juga bisa positif atau negatif.

Untuk lebih jelas, sialhkan baca materi “perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku”.

*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.

turunan keduanya : $ f^{\prime number \prime } (x) = -3\sin 10 – 4\cos ten $

Nilai maksimum : Agar turunan keduanya bernilai negatif, maka nilai sin dan cos harus positif semua. artinya fungsi akan maksimum pada saat $ \sin 10 = \frac{3}{v} \, $ dan $ \cos 10 = \frac{4}{5} $.

Nilai minimum : Agar turunan keduanya bernilai positif, maka nilai sin dan cos harus negatif semua. artinya fungsi akan maksimum pada saat $ \sin x = – \frac{3}{5} \, $ dan $ \cos x = – \frac{iv}{5} $.

*). Menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $ f(10) = 3\sin x + 4 \cos x $

Nilai maksimum :

$ f_{maks} = 3\sin x + 4 \cos x = 3. \frac{3}{5} + 4 . \frac{iv}{5} = \frac{9}{5} + \frac{16}{5} = \frac{25}{v} = v $

Nilai minimum :

$ f_{maks} = iii\sin x + iv \cos x = 3. (-\frac{3}{5}) + 4 . (-\frac{iv}{5}) = -\frac{9}{five} – \frac{16}{5} = -\frac{25}{five} = -5 $

Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = 3\sin x + four \cos x \, $ adalah 5 dan nilai minimumnya adalah $ – 5 $ .

Catatan : Sebenarnya jika dari syarat stasionernya kita bisa menentukan nilai $ x \, $ , maka carilah nilai $ x \, $ dulu baru kita tentukan jenis stasionernya dengan substitusi besar sudutnya ($x$).