Lambang Lebih Kecil Dan Lebih Besar

Dalam matematika sering digunakan simbol-simbol yang umum dikenal oleh matematikawan. Sering kali pengertian simbol ini tidak dijelaskan, karena dianggap maknanya telah diketahui. Hal ini kadang menyulitkan bagi mereka yang awam.

Panduan

[sunting
|
sunting sumber]

Daftar ini diorganisir menurut jenis simbol dan dimaksudkan untuk mempermudah pencarian simbol-simbol yang kurang dikenal dari penampakannya.

• Simbol dasar:__ Simbol-simbol yang banyak digunakan dalam matematika, kurang lebih sampai tahun pertama pelajaran kalkulus. Makna yang lebih mendalam juga disertakan dalam sejumlah simbol di sini.
• Simbol berdasarkan tanda “sama dengan” “=”:
  Simbol-simbol yang diturunkan dari atau mirip dengan tanda “sama dengan”, termasuk tanda panah ganda. Tidak heran bahwa simbol-simbol ini sering dihubungkan dengan hubungan persamaan.
• Simbol yang mengarah ke kiri atau ke kanan:
  Simbol-simbol, seperti < dan >, yang mengarah kepada satu sisi atau sebaliknya.
• Tanda kurung:
  Simbol-simbol yang ditempatkan di samping suatu variabel atau ekspresi, misalnya |x|.
• Simbol bukan huruf yang lain:
  Simbol-simbol yang tidak termasuk kategori-kategori sebelummya.
• Simbol berdasarkan huruf:
  Banyak simbol matematika berdasarkan pada, atau mirip dengan, huruf dalam abjad tertentu. Bagian ini memuat simbol-simbol semacam itu, termasuk simbol yang mirip dengan huruf terbalik. Banyak huruf mempunyai makna konvensional dalam berbagai bidang matematika dan fisika. Ini tidak dimasukkan.
  • Pemodifikasi huruf:
    Simbol-simbol yang dapat ditempatkan pada atau di sebelah suatu huruf untuk mengubah makna huruf tersebut.
  • Simbol berdasarkan huruf Latin, termasuk simbol-simbol yang mirip atau mengandung X.
  • Simbol berdasarkan huruf Ibrani atau Yunani
    misalnya
    
    ב,א, δ, Δ, π, Π, σ, Σ, Φ.
    Catatan:
    simbol-simbol yang mirip dengan Λ dikelompokkan dengan “V” pada huruf-huruf Latin.
• Variasi:
  Penggunaan dalam sejumlah bahasa ditulis dari kanan ke kiri

Simbol matematika dasar

[sunting
|
sunting sumber]

2 __ 9

Simbol	Nama	Penjelasan	Contoh
	Dibaca sebagai
	Kategori
+	Perjumlahan	4 + 6 berarti jumlah antara 4 dan 6.	2 + 7 = 9
	tambah
	aritmetika
	union disjoin	A 1 + A 2 berarti disjoint union himpunan A 1 dan A 2.	A 1={1,2,3,4} ∧ A 2={2,4,5,7} ⇒ A 1 + A 2 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (2,2), (4,2), (5,2), (7,2)}
	gabungan disjoin dari … dan …
	teori himpunan
−	Perkurangan	9 − 4 berarti 9 dikurangi 4.	8 − 3 = 5
	kurang
	aritmetika
	tanda negatif	−3 berarti negatif dari angka 3.	−(−5) = 5
	negatif
	aritmetika
	set-theoretic complement	A −B berarti himpunan yang mempunyai semua anggota dari A yang tidak terdapat pada B.	{1,2,4} − {1,3,4}  =  {2}
	minus; tanpa
	teori himpunan
×	perkalian	3 × 4 berarti perkalian 3 oleh 4.	7 × 8 = 56
	kali
	aritmetika
	Produk Cartesian	X×Y berarti himpunan dari semua pasangan tertata dengan elemen pertama dari setiap pasangan dipilih dari X dan elemen kedua dipilih dari Y.	{1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
	Produk Cartesian dari … dan …; produk langsung dari … dan …
	teori himpunan
	perkalian silang	u × v artinya produk silang dari vektor-vektor u dan v	(1,2,5) × (3,4,−1) = (−22, 16, − 2)
	dikalikan silang dengan
	aljabar vektor
÷ /	pembagian	6 ÷ 3 atau 6/3 berati 6 dibagi 3.	2 ÷ 4 = .5 12/4 = 3
	dibagi dengan
	aritmetika
√	akar kuadrat	√x berarti bilangan positif yang kuadratnya x.	√4 = 2
	akar kuadrat
	bilangan real
	akar kuadrat kompleks	jika z = r exp(iφ) ditulis dalam koordinat polar dengan -π < φ ≤ π, maka √z = √r exp(iφ/2).	√(-1) = i
	akar kuadrat kompleks
	Bilangan kompleks

Simbol berdasarkan tanda sama dengan

[sunting
|
sunting sumber]

Simbol	Nama	Penjelasan	Contoh
	Dibaca sebagai
	Kategori
=	Kesamaan	x = y berarti x dan y mewakili hal atau nilai yang sama.	1 + 1 = 2
	sama dengan
	umum
≠	Ketidaksamaan	x ≠ y berarti x dan y tidak mewakili hal atau nilai yang sama.	1 ≠ 2
	tidak sama dengan
	umum
~	distribusi probabilitas	X ~ D, artinya variabel random X mempunyai distribusi probabilitas D.	X ~ N(0,1), distribusi normal standar
	mempunyai distribusi; tidak terhingga
	statistika
≈	isomorphism	G ≈ H berarti grup G adalah isomorfik ke grup H	Q / {1, −1} ≈ V, di mana Q adalah quaternion group dan V adalah Klein four-group.
	adalah isomorfik ke
	teori grup
:= ≡ :⇔	definisi	x := y atau x ≡ y berarti x didefinisikan sebagai nama lain dari y (perlu dicatat bahwa ≡ dapat juga berarti lain, misalnya congruence). P :⇔ Q berarti P didefinisikan secara logis ekuivalen terhadap Q.	coshx := (1/2)(expx + exp (−x)) A XORB:⇔ (A ∨B) ∧ ¬(A ∧B)
	didefinisikan sebagai
	di mana-mana
⇔ ↔	equivalensi material	A ⇔ B berarti A benar jika B benar dan A salah jika B salah.	x + 5 = y +2  ⇔ x + 3 = y
	jika dan hanya jika; iff
	propositional logic

Simbol yang mengarah ke kiri atau ke kanan

[sunting
|
sunting sumber]

Simbol	Nama	Penjelasan	Contoh
	Dibaca sebagai
	Kategori
< >	Ketidaksamaan	x < y berarti x kurang dari y. x > y berarti x lebih dari y.	3 < 4 5 > 4
	kurang dari; lebih dari
	teori order
≤ ≥	Ketidaksamaan	x ≤ y berarti x kurang dari atau sama dengan y. x ≥ y berarti x lebih dari atau sama dengan y.	3 ≤ 4 and 5 ≤ 5 5 ≥ 4 and 5 ≥ 5
	kurang dari atau sama dengan, lebih dari atau sama dengan
	teori order
f:X→Y	panah fungsi	f:X → Y berarti fungsi f memetakan himpunan X ke dalam himpunan Y.	Biarlah f:Z → N didefinisikan oleh f(x) = x 2.
	dari … ke
	teori himpunan
⇒ → ⊃	implikasi material	A ⇒ B artinya jika A benar maka B juga benar; jika A salah, maka tidak ada yang dapat dikatakan mengenai B. → dapat berarti sama dengan ⇒, atau dapat berarti untuk fungsi yang diberikan di bawah. ⊃ dapat berarti sama dengan ⇒, atau dapat berarti untuk superset yang diberikan di bawah.	x = 2  ⇒ x 2 = 4 adalah benar, tetapi x 2 = 4   ⇒ x = 2 secara umum adalah salah (karena x dapat saja bernilai −2).
	mengimplikasikan; jika .. maka
	propositional logic
¬ ˜	negasi logika	Pernyataan ¬A benar jika dan hanya jika A salah. A slash ditempatkan melalui operator lain sama dengan “¬” ditempatkan di depan.	¬(¬A) ⇔ A x ≠y  ⇔  ¬(x = y)
	“bukan”
	propositional logic
∧	logical conjunction atau meet dalam lattice	Pernyataan A ∧ B benar jika A dan B keduanya benar; jika bukan itu salah.	n < 4  ∧ n > 2  ⇔ n = 3 di mana n adalah bilangan asli.
	“dan”
	propositional logic, lattice theory
∨	logical disjunction atau join dalam suatu lattice	Pernyataan A ∨ B benar jika A atau B (atau keduanya) benar; jika keduanya salah, pernyataan itu salah.	n ≥ 4  ∨ n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 bilamana n adalah bilangan asli.
	“atau”
	propositional logic, lattice theory

Tanda kurung

[sunting
|
sunting sumber]

Simbol	Nama	Penjelasan	Contoh
	Dibaca sebagai
	Kategori
| |	nilai mutlak	|x| berarti jarak dari garis real (atau plan kompleks) antara x dan nol.	|3| = 3, |-5| = |5| |i| = 1, |3+4i| = 5
	nilai mutlak dari
	bilangan
|| ||	norm	||x|| adalah norm dari elemen x dari suatu ruang vektor normed.	||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||
	norm dari; panjang dari
	aljabar linear
( )	penerapan fungsi	f(x) berarti nilai fungsi f pada elemen x.	Jika f(x) := x 2, maka f(3) = 32 = 9.
	dari
	teori himpunan
	precedence grouping	operasi di dalam kurung harus dilakukan terlebih dahulu.	(8/4)/2 = 2/2 = 1, tetapi 8/(4/2) = 8/2 = 4.
	umum
	{, }	set brackets	{a,b,c} berarti suatu himpunan yang terdiri dari a, b, dan c.	N = {0,1,2,…}
himpunan dari …
teori himpunan
{: } { | }	notasi penyusun himpunan	{x : P(x)} berarti himpunan semua x di mana P(x) benar. {x | P(x)} sama dengan {x : P(x)}.	{n ∈ N : n 2 < 20} = {0,1,2,3,4}
	himpunan dari … sedemikian sehingga …
	teori himpunan

Simbol bukan huruf yang lain

[sunting
|
sunting sumber]

Simbol	Nama	Penjelasan	Contoh
	Dibaca sebagai
	Kategori
o	penyusunan fungsi	f o g adalah suatu fungsi di mana (f o g)(x) = f(g(x)).	jika f(x) = 2x, dan g(x) = x + 3, maka (f o g)(x) = 2(x + 3).
	tersusun dari
	teori himpunan
!	faktorial	n! adalah hasil dari 1×2×…×n.	4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
	faktorial
	kombinatorika
∞	bilangan tak terhingga (infinity)	∞ adalah suatu elemen dari garis bilangan berlanjut yang lebih besar dari semua bilangan real lainnya; sering dijumpai pada perhitungan limit.	limx→0 1/|x| = ∞
	tak terhingga
	bilangan
⊕ ⊻	exclusive or	Pernyataan A ⊕ B benar jika A atau B, tetapi bukan dua-duanya, benar. A ⊻ B sama artinya.	(¬A) ⊕ A selalu benar, A ⊕ A selalu salah.
	“tidak kedua-duanya”
	propositional logic, aljabar Boolean
∅ {}	himpunan kosong	∅ berarti himpunan yang tidak memiliki elemen. {} juga berarti hal yang sama.	{n ∈ N : 1 < n 2 < 4} = ∅
	himpunan kosong
	teori himpunan
∈ ∉	set membership	a ∈ S berati a adalah suatu elemen himpunan S; a ∉ S berarti a bukan elemen himpunan S.	(1/2)−1 ∈ N 2−1 ∉ N
	adalah elemen dari; bukan elemen dari
	di mana-mana, teori himpunan
⊆ ⊂	subset	A ⊆ B berarti setiap elemen A juga merupakan elemen B. A ⊂ B berarti A ⊆ B tetapi A ≠ B.	A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R
	adalah subset dari
	teori himpunan
⊇ ⊃	superset	A ⊇ B berarti setiap elemen B juga merupakan elemen A. A ⊃ B berarti A ⊇ B tetapi A ≠ B.	A ∪ B ⊇ B; R ⊃ Q
	adalah superset dari
	teori himpunan
∪	set-theoretic union	A ∪ B berarti suatu himpunan yang memuat semua elemen A dan juga semua elemen B, tetapi tidak memuat yang lain.	A ⊆ B  ⇔ A ∪ B = B
	union … dari …; union
	teori himpunan
∩	irisan	A ∩ B berarti suatu himpunan yang memuat semua elemen yang sama-sama dimiliki oleh A dan B.	{x ∈ R : x 2 = 1} ∩ N = {1}
	beririsan dengan; irisan dari … dan …
	teori himpunan
\	komplemen	A \ B berarti suatu himpunan yang memuat semua elemen A yang tidak dimiliki oleh B.	{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}
	minus; tanpa
	teori himpunan

Simbol berdasarkan huruf

[sunting
|
sunting sumber]

Simbol berdasarkan huruf Latin

[sunting
|
sunting sumber]

Simbol	Nama	Penjelasan	Contoh
	Dibaca sebagai
	Kategori
∀	kuantifikasi universal	∀x: P(x) berarti P(x) benar untuk semua x.	∀n ∈ N: n 2 ≥ n.
	untuk semua; untuk setiap; untuk seluruh
	logika predikat
∃	kuantifikasi eksistensial	∃x: P(x) berarti ada paling sedikit satu x di mana P(x) benar.	∃n ∈ N: n adalah genap.
	ada; beberapa
	logika predikat
∃!	kuantifikasi keunikan	∃!x: P(x) berarti tepat ada satu x di mana P(x) benar.	∃!n ∈ N: n + 5 = 2n.
	ada tepat satu
	logika predikat
N ℕ	bilangan asli	N berarti {0,1,2,3,…}, tetapi lihat artikel mengenai bilangan asli untuk kaidah yang lain.	{|a| : a ∈ Z} = N
	N
	bilangan
Z ℤ	bilangan bulat	Z berarti {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}.	{a : |a| ∈ N} = Z
	Z
	bilangan
Q ℚ	bilangan rasional	Q berarti {p/q : p,q ∈Z, q ≠ 0}.	3.14 ∈ Q π ∉ Q
	Q
	bilangan
R ℝ	bilangan real	R berarti {limn→∞a n  : ∀n ∈N: a n  ∈ Q, mempunyai limit}.	π ∈ R √(−1) ∉R
	R
	bilangan
C ℂ	bilangan kompleks	C berarti {a +bi : a,b ∈R}.	i = √(−1) ∈ C
	C
	bilangan

Simbol berdasarkan huruf Ibrani atau Yunani

[sunting
|
sunting sumber]

Simbol	Nama	Penjelasan	Contoh
	Dibaca sebagai
	Kategori
π	pi	π berarti perbandingan (rasio) antara keliling lingkaran dengan diameternya.	A = πr² adalah luas lingkaran dengan jari-jari (radius) r
	pi
	geometri Euklidean
∑	penjumlahan total	∑ k=1 n a k berarti a 1 + a 2 + … + a n .	∑ k=1 4k 2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
	jumlah seluruh … dari … ke … dari
	aritmetika
∏	produk	∏ k=1 n a k berarti a 1 a 2···a n .	∏ k=1 4 (k + 2) = (1  + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360
	produk seluruh … dari … ke … dari
	aritmetika
	produk Cartesian	∏ i=0 n Y i berarti himpunan dari semua (n+1)-tuples (y ,…,y n ).	∏ n=1 3 R = R n
	produk Cartesian dari; produk langsung dari
	teori himpunan
‘	turunan	f ‘(x) adalah turunan dari fungsi f pada titik x, yaitu slope tangen pada titik itu.	Jika f(x) =x 2, maka f ‘(x) = 2x
	… primus; turunan dari …
	kalkulus
∫	integral tak tentu atau antiderivatif	∫f(x) dx berarti suatu fungsi yang turunannya adalah f.	∫x 2 dx = x 3/3 + C
	integral tak tentu dari …; antiderivatif dari …
	kalkulus
	integral tertentu	∫ a b f(x) dx berarti area bertanda di antara sumbu-x dan grafik dari fungsi f antara x = a dan x = b.	∫ b  x2  dx = b 3/3;
	integral dari … ke … dari … terhadap
	kalkulus
∇	gradien	∇f (x1, …, x n ) adalah vektor dari turunan parsial (df / dx 1, …, df / dx n ).	Jika f (x,y,z) = 3xy + z² maka ∇f = (3y, 3x, 2z)
	del, nabla, gradien dari
	kalkulus
∂	turunan parsial	Dengan f (x1, …, x n ), ∂f/∂xi adalah turunan dari f terhadap xi, dengan semua variabel lain tetap konstan.	Jika f(x,y) = x2y, maka ∂f/∂x = 2xy
	turunan parsial dari
	kalkulus
	boundary	∂M berarti boundary dari M	∂{x: ||x|| ≤ 2} = {x: || x || = 2}
	boundary dari
	topologi
⊥	tegak lurus	x ⊥ y berarti x tegak lurus dengan y; atau lebih umum x ortogonal terhadap y.	Jika l⊥m dan m⊥n maka l || n.
	tegak lurus dengan
	geometri
	elemen terkecil	x = ⊥ berarti x adalah elemen terkecil.	∀x: x ∧ ⊥ = ⊥
	elemen paling bawah
	teori lattice
|=	entailment	A ⊧ B berarti kalimat A entails kalimat B, sehingga setiap model di mana A benar, B juga benar.	A ⊧ A ∨ ¬A
	entail
	teori model
|-	inference	x ⊢ y berarti y diturunkan dari x.	A → B ⊢ ¬B → ¬A
	infer atau diturunkan dari
	propositional logic, predicate logic
◅	normal subgroup	N ◅ G berati bahwa N adalah subgrup normal dari grup G.	Z(G) ◅ G
	adalah subgrup normal dari
	teori grup
/	quotient group	G/H berarti quotient grup G modulo subgrupnya H.	{0, a, 2a, b, b+a, b+2a}/{0, b} = {0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}
	mod
	teori grup

Karakter khusus

[sunting
|
sunting sumber]

• Catatan teknis: Karena keterbatasan teknis, banyak komputer tidak dapat menayangkan sejumlah karakter dalam artikel ini. Karakter-karakter tersebut dapat ditampilkan sebagai kotak, tanda tanya, atau simbol yang tak bermakna lainnya, tergantung dari browser, sistem operasi, dan jenis huruf yang terpasang pada komputer Anda. Meskipun Anda yakin browser Anda telah menayangkan artikel ini menurut kode UTF-8 dan jenis huruf yang mendukung rentang luas Unicode, seperti
  Code2000,
  Arial Unicode MS,
  Lucida Sans Unicode
  atau salah satu jenis huruf Unicode gratis, Anda masih perlu menggunakan browser yang berbeda-beda karena kemampuan masing-masing browser banyak yang tidak sama.^[1]

Referensi

[sunting
|
sunting sumber]