Jumlah N Bilangan Bulat Positif Pertama Sama Dengan

Induksi matematika digunakan untuk melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan maatematika yang berhubungan dengan bilangan asli. Prinsip induksi matematika yaitu:

Misalkan P(n) merupakan suatu bilangan asli, P(n) bernilai benar jika memenuhi langkah sebagai berikut:

1. Langkah Awal: P(1) bernilai benar.
2. Langkah Induksi: Jika P(k) benar, maka P(k+ 1) benar, dimanak adalah bilangan asli.

Penggunaan induksi matematis pertama dalam buku
Arithmeticorum
 Libri Duo
 yang ditulis olehFrancesco
Maurolico


adalah untuk membuktikan bahwa jumlahn bilangan bulat positif ganjil pertama sama dengann
².

Contoh

Penerapan

Induksi

Matematika
 pada
Barisan

Bilangan

Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlahn bilangan ganjil positif pertama sama dengann
².

Jawab:

Sebelum masuk pada prinsip induksi matematika terlebih dahulu membuat polanya. Pola bilangan ganjil positif adalah 2n – 1, dimanan adalah bilangan asli.

Sehingga jumlahn bilangan ganjil pertama adalah:

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) =n
²

Prinsip induksi matematika:

Langkah awal:

• Untukn = 1, maka P(1) = 1 = 1²
• Maka, P(1) bernilai benar.

Langkah induksi:

• Karena P(1) bernilai benar maka P(2) juga bernilai benar.
• Misalkan:n =k, sehingga;
• P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1) =k
  ², untukk bilangan asli.
• Akan ditunjukkan bahwa P(k) maka P(k+ 1) juga benar.
•  Misalkann =k+ 1, maka:

• Dari uraian di atas,k
  ² + 2k + 1 = (k + 1)² memenuhi prinsip induksi matematika, sehingga benar bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) =n
  ², untuk setiapn bilangan asli.

Contoh

Penerapan

Induksi

Matematika
 pada
Keterbagian

Bilanganahabis dibagi dengan bilangann, jika bilanganatersebut memiliki faktorn atau ketikaadibagii dengann bersisa 0.

“Asiyah memiliki 18 gelas yang akan dibagikan kepada beberapa orang anak. Berapa gelaskah yang akan diterima masing-masing anak jika terdapat 6 anak?”

Gambar 1

Jika semua gelas tersebut dibagi sama rata, maka masing-masing anak akan mendapatkan 3 buah gelas dan bersisa nol gelas. Jadi, 18 gelas terbagi menjadi 3 gelas untuk masing-masing anak dari 6 anak. Maka faktor dari 18 adalah 6 dan 3.

Jika gelas tersebut dibagikan ke 4 orang anak sama rata, maka masih ada gelas yang tersisa. Karena 4 bukan faktor dari 18. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 2

Jadi, 18 habis dibagi 6 karena 18=6×m, dimanam di sini adalah 3.

Untuk contoh yang lain,

124 habis dibagi 4 jika ada suatu bilangan jika dikalikan dengan 4 maka hasilnya adalah 124. Dalam hal ini bilangan tersebut adalah 31. Jadi faktor dari 124 adalah 4 dan 31.

Perhatikan contoh berikut.

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 3²ⁿ-1 habis dibagi 8, untuk setiap n bilangan asli.

Jawab:

Langkah awal

Misalkann = 1 atau bilangan asli lainnya. Pada pembahasan ini, kita buktikann = 1 dann = 3

n = 1, sehingga

3²⁽¹⁾-1 = 3²-1

      =9-1

=8→ 8:8=1, habis dibagi 8

n = 3, sehingga

3²⁽³⁾-1= 3⁶-1

=729-1

=728→728:8=91, habis dibagi 8

Pada langkah ini, bernilai benar sehingga memenuhi syarat pertama

Langkah induksi

n =k

P(k)=3^2(k)-1

Misalkan:

              32k-1=8m(syarat 32k-1 habis dibagi 8 jika memiliki faktor 8)
            

3^2k= 8m+1(Persamaan 1)

n =k+ 1

P(k+1)= 3^2(K+1)-1(semua nilain disubstitusikan teerhadapk+ 1)

= 3^2k+2-1

= (3^2k×3²)-1

= ((8m+1)×3²)-1(subtitusi persamaan 1 ke 3^2k)

= ((8m+1)×9)-1(uraikan)

= (72m+9)-1

= 72m+8

= 8 (9m+1)

∴3²ⁿ-1 habis dibagi 8 karena mempunyai faktor 8.

Contoh Tambahan

Dengan menggunakan induksi matematika, buktikanlah pernyataan 1 + 4 + 7 + 10 + … + (3n
– 2) = ½
n
(3n
– 1) bernilai benar.

Penyelesaian:

Langkah Awal:

Misalkan
n
= 4

P(4)  1 + 4 + 7 + 10 = ½ (4)(3(4) – 1)

22            = 2(12 – 1)

22            = 2(11)

22            = 22          (Benar)

Langkah Induksi:

• Misalkan
  n
  =
  k

Substitusikan nilai
n
menjadi nilai
k
pada persamaan:

1 + 4 + 7 + 10 + … + (3k– 2) = ½
k
(3k
– 1)

• Misalkan
  n
  =
  k
  + 1

Ruas kiri sama dengan ruas kanan sehingga pernyataan

1 + 4 + 7 + 10 + … + (3n
– 2) = ½
n
(3n
– 1) bernilai benar