Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

Matematikastudycenter.com-

Soal dan pembahasan materi trigonometri kelas 11 SMA. Topik yang dibahas penggunaan rumus Jumlah dan Selisih Sudut.

Soal No. 1



Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°

Pembahasan



a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin xxx°
= 1/ii √2 ⋅ i/2 √3 + 1/2 √ii ⋅ 1/2
= ane/four √6 + 1/4 √2 = i/4 (√6 + √two)

b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus

cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B

cos 75° = cos (45° + xxx°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin xxx°
= 1/two √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/two √two ⋅ 1/ii
= one/4 √vi − one/4 √2 = 1/iv (√6 − √ii)

c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan

tan 105° = tan (60° + 45°)

Soal No. 2



Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)

Pembahasan



a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus

sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B

sin fifteen° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos xxx° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ i/2 √three − 1/ii √ii ⋅ i/ii
= 1/4 √half dozen − i/four √ii = 1/4(√6 − √2)

b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus

cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B

cos xv° = cos (45° − thirty°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/two √ii ⋅ 1/ii
= i/iv √6 + i/4 √ii = i/four(√6 + √2)

c) Rumus selisih sudut untuk tan

Sehingga

Soal No. three



Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5 dan sin B = 12/thirteen. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)

Pembahasan



Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga,  seperti gambar berikut:

Nilai sin dan cos “sementara” untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas. Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya. Setelah  dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat  nilai sin atau cos yang benar.

sin A = 4/5
cos A = 3/5

sin B =12/13
cos B = 5/13

Periksa ulang,

• Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran 2 (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di bawah, untuk kuadran 2 nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − three/5
• Sudut B  lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.

a) dari information sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan

b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan

Soal No. 4



Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = three/5 dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A + B)

Pembahasan



Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya

sin A = 3/5,  cos A = 4/5

sin B = 12/13,  cos B = five/xiii

Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.

Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut

Soal No. 5



Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = ane/iii, tentukan nilai dari cos R

Pembahasan



Cek sin cos kedua sudut  P dan Q


sin P = 3/v,   cos P = 4/five

sin Q = 1/√x, cos Q = 3/√10

P + Q + R = 180 atau R = 180 – (P + Q)

cos R = cos (180 – (P + Q))
ingat cos (180 – x) = – cos x

Soal No. six



Jika tan α = 1, tan β = i/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =….
A. 2/3 √v
B. 1/5 √5
C. 1/ii
D. 2/5
E. 1/v
(United nations 2007-2008)

Pembahasan



tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:

Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2

tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:

Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√x

Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =….

Dengan rumus selisih dua sudut:

Jadi sin (α − β) = ane/v √5

Soal No. vii



Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =….
A. ane/4
B. 1/ii
C. 3/four
D. 1
East. v/4
un hal 102

Pembahasan



Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B

Masukkan information soal
i/2 = 5/eight − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − one/2 = i/viii

Diminta cos (A − B) =….
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + i/8 = 6/8 = three/four

Soal No. viii



ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = seven, maka ∠C = …..
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°

Pembahasan



Dari data sin A = 3/five dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh

sin A = 3/5
cos A = 4/5

sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2

Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C = 180 − (A + B)

Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:

sin C = sin [180 − (A + B)] sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B

Sudut yang nilai sin nya 1/ii √2 adalah 45°

updating;..