Invers Matriks a 1 3 1 5 Adalah

Invers Matriks a 1 3 1 5 Adalah

Matriks merupakan operasi matematika yang memiliki keunikan tersendiri. Ia terdiri dari bilangan yang disusun sedemikian rupa sehingga untuk operasi matematikanya pun memiliki aturan tersendiri. Ia tidak bisa asal dioperasikan.

Aturan-aturan matriks sebenarnya sangat sederhana. Ia hanya membutuhkan ketelitian lebih untuk mengoperasikan antara satu angka dengan angka lainnya, Berikut rumus mengenai operasi bilangan pada matriks.

Sekilas Tentang Matriks

Matriks merupakan susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam kolom dan baris sehingga membentuk suatu bangun segi empat. Sebagai gambaran awal matriks, Grameds dapat menyimak contoh matriks berukuran 2 x 3 di bawah ini.

Ukuran matriks ditentukan berdasarkan jumlah baris dan kolom yang dimilikinya. Matriks dengan
m
kolom dan
n
baris disebut dengan matriks
m
x
n,
yang mana
m
dan
n
disebut dengan dimensinya. Misalnya matriks di atas disebut dengan matriks 2 x 3. Hal tersebut disebabkan, matriks tersebut terdiri dari 2 baris dan 3 kolom.

Matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama disebut dengan matriks persegi. Adapun matriks dengan jumlah satu baris disebut dengan vektor baris. Sedangkan, matriks dengan satu kolom disebut dengan vektor kolom.

Adapun matriks tak terbatas merupakan matriks dengan jumlah baris atau kolom yang tak terbatas (atau keduanya). Pada beberapa konteks matriks yang dipertimbangkan tanpa baris atau tanpa kolom disebut dengan matriks kosong.

Untuk penjelasan lebih lanjut, Grameds dapat menyimak gambar di bawah ini.

Baris
m
adalah horizontal dan kolom
n
adalah vertikal. Setiap elemen matriks sering kali dilambangkan dengan variabel dua notasei indeks. Misalnya, a2,1
mewakili elemen pada baris kedua dan kolom pertama dari matriks A.

Setiap objek dalam matriks A berdimensi
m
x
n
sering dilambangja dengan ai,j.
Yang mana dilai maksimum
i = m
dan nilai maksimum
j = n.
Objek dalam matriks disebut dengan elemen, entri atau anggota matriks.

Jika dua matriks memiliki dimensi yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama) maka kedua matriks tersebut dapat dilakukan penjumlahan atau pengurangan secara elemen demi elemen. Namun, berdasarkan aturan perkalian matriks, syarat perkalian matriks, yakni ketika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua pada perkalian dua matriks.

Maksudnya, perkalian matriks
m
x
n
dengan matriks
n
x
p
menghasilkan matriks
m
x
p.
Oleh sebab itu, perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Pada umumnya, matriks digunakan untuk merepresentasikan transformasi linear, yakni suati generalisasi fungsi linear seperti
f
(x) = 4x.

Misalnya, efek rotasi pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah transformasi linear yang dilambangkan dengan matriks R. Jika
v
adalah sebuah vektor di dimensi tiga, hasil R
v

menyatakan posisi titik tersebut setelah dirotasi.

Matriks dapat diterapkan dalam berbagai bidang sians. Misalnya pada fisika berupa mekanika klasik, optika, dan mekanika kuantum. Matriks juga digunakan untuk mempelajari keadaan fisis, seperti pergerakan planet. Pada bidang
computer graphics,
matriks diterapkan untuk memanipulasi model 3D dan memproyeksikannya ke sebuah layar dua dimensi.

Pada bidang teori probabilitas dan statistika, matriks digunakan sebagai penjelas probabilitas keadaan. Seperti pada algoritma
pagerank
dalam menentukan urutan halaman pencairan di
Google.
Adapun kalkulus matriks menggeneralisasi bentuk analitik klasik dari tutunan dan eksponensial ke dimensi yang lebih tinggi. Matriks juga diterapkan dalam bidang ekonomi untuk menjelaskan sistem ekonomi relasi.


Fungsi Matriks dalam Kehidupan Sehari-hari


Meskipun operasi matriks terlihat sulit, tetapi ia memiliki banyak manfaat untuk mempermudah pekerjaan-pekerjaan manusia dalam kehidupan sehari-hari. Berikut beberapa manfaat mempelajari matriks dalam kehidupan sehari-hari.

  • Membantu pekerjaan insinyur dalam menyelesaikan masalah-masalah dengan banyak variabel.
  • Matriks juga dapat digunakan untuk membuat rapor dan jurnal.
  • Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier, transformasi geometri, menentukan jadwal siaran televisi, dan pemrogaman komputer.
  • Membantu menganalisis permasalahan ekonomi yang memiliki berbagai macam variabel.
  • Sebagai cara untuk menganalisis dalam bidang statistik, pendidikan, sains, ekonomi, dan teknologi.
  • Membantu mencari solusi pada operasi penyelidikan, misalnya operasi penyelidikan sumber daya alam (batu bara, minyak bumi, dan sebagainya).


Jenis Matriks Berdasarkan Elemen Penyusunnya

Matriks memiliki beragam jenis. Berikut beberapa klasifikasi matriks berdasarkan elemen-elemen penyusunnya.

1. Matriks Nol

Matriks nol merupakan matriks yang seluruh elemen penyusunnya berupa angka nol. Berikut contoh matriks nol.


2. Matriks Diagonal

Matriks diagonal merupakan matriks yang seluruh elemen di luar diagonal utama berupa angka nol dan minimal ada satu elemen pada diagonal utama yang bukan angka nol. Berikut contoh matriks diagonal.


3. Matriks Skalar

Matriks skalar merupakan matriks yang seluruh elemennya berada di diagonal yang sama. Berikut contoh matriks skalar.


4. Matriks Simetri

Matriks simetri merupakan matriks persegi yang setiap elemennya selain elemen diagonal terdiri dari angka yang simetri terhadap diagonal utamanya. Berikut contoh matriks simetri.


5. Matriks Simetri Miring

Matriks simetri miring merupakan matriks simetri yang elemen-elemennya, selain elemen diagonalnya saling berlawanan. Berikut contoh matriks simetri miring.


6. Matriks Identitas

Matriks identitas merupakan matriks yang seluruh elemen diagonal utama bernilai satu dan elemen di luar utama bernilai nol. Berikut contoh matriks identitas.


7. Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga atas merupakan matriks diagonal yang memiliki elemen di bagian kanan (atas) diagonal utama bernilai tidak sama dengan nol. Berikut contoh matriks segitiga atas.


8. Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga bawah merupakan matriks diagonal yang mana elemen di bagian sebelah kiri (bawah) diagonal utama bernilai tidak sama dengan nol. Berikut contoh matriks segitiga bawah.


9. Matriks Transpose

Matriks transpose merupakan matriks yang diperoleh dari pemindahan elemen-elemen baris menjadi elemen kolom atau sebaliknya. Berikut contoh transpose matriks.





Jenis Matriks Berdasarkan Ordo

Berikut klasifikasi matriks berdasarkan ordo menjadi beberapa kategori sebagai berikut.

1. Matriks Bujur Sangkar/Persegi

Matriks bujur sangkar.persegi merupakan matriks dengan ordo
n
x
n
atau banyaknya baris sama dengan jumlah kolom. Berikut contoh matriks bujur sangkar.


2. Matriks Baris

Matriks baris merupakan matriks yang memiliki ordo 1 x
n
atau hanya terdiri dari satu baris. Berikut contoh matriks baris.


3. Matriks Kolom

Matriks kolom merupakan matriks yang hanya terdiri dari satu kolom atau memiliki ordo
n
x 1. Berikut contoh matriks kolom.


4. Matriks Tegak

Matriks tegak merupakan matriks yang memiliki ordo
m
x
n
dengan
m > n.
berikut contoh matriks tegak.

Baca :   Cara Menghitung Besar Sudut Kelas 4 Sd


5. Matriks Datar

Matriks datar merupakan matriks dengan ordo
m
x
n
dengan
m <
n. Berikut contoh matriks datar.





Klasifikasi Matriks Berdasarkan Sifat Operasi

Matriks diklasifikasikan berdasarka sifat operasinya menjadi dua kategori. Berikut rincian keduannya.

1. Matriks Singular (singular matriks)

Matriks singular merupakan matriks yang memiliki determinan bernilai no dan tidak memiliki invers. Berikut contoh dari matriks singular.


2. Matriks Non Singular (non singular matriks)

Matriks non singular merupakan matriks yang determinannya tidak sama dengan nol dan memiliki invers. Berikut contoh dari matriks non singular.





Konsep Operasi Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Matriks

Matriks memiliki operasi matematika yang khas. Hal ini dikarenakan, susunan bilangannya. Berikut konsep operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks.

1. Operasi Penjumlahan Matriks

Operasi penjumlahan pada matriks hanya dapat dilakukan ketika ordo yang dimiliki matriks dalam operasi tersebut berjumlah sama.  Jumlah dua matriks A = dan B= adalah sebuah matriks baru C= yang berordo sama, yaitu elemen-elemennya merupakan hasil penjumlahan atau hasil pengurangan elemen-elemen matriks A dan B.

Berikut konsep atau rumus operasi penjumlahan matriks.



Adapun sifat-sifat operasi penjumlahan matriks sebagai berikut.

1. Sifat Komutatif  A + B = B = A  2. Sifat Asosiatif  (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C  Matriks nol merupakan matriks identitas penjumlahan sehingga berlaku:  A + 0 = 0 + A = A  Matriks identitas pada operasi hitung penjumlahan matriks –A.  A + (-A) = (-A) + A = 0

Agar lebih memahami penjumlahan matriks, Grameds dapat menyimak contoh soal berikut ini.

Hitunglah A + B, jika diketahui matriks A dan B sebagai berikut.

Jawab:


2. Operasi Pengurangan Matriks

Operasi pengurangan dua matriks dapat dilakukan ketika kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Hasil pengurangan dua matriks A = dan B= adalah sebuah matriks baru C= yang berordo sama, yaitu elemen-elemennya merupakan hasil pengurangan elemen-elemen matriks A dan B.

Berikut konsep atau rumus operasi pengurangan matriks.

Agar lebih memahami pengurangan matriks, Grameds dapat menyimak contoh soal di bawah ini.

Hitunglah A – B pada matriks A dan B berikut ini.


Jawab:


3. Operasi Perkalian Matriks

Perkalian matriks diklasifikasikan menjadi tiga kategori. Berikut penjelasan ketiga kategori tersebut.

a. Operasi Perkalian Bilangan Real (Skalar) dengan Matriks

Jika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks A dengan k. Berikut rumus atau konsep perkalian bilangan real dengan matriks.

Agar lebih memahami, Grameds dapat menyimak contoh soal di bawah ini.

Jika diketahui K = 5 dan matriks A = . Hitunglah K x A!

Jawab:

Jika a dan b merupakan bilangan skalar serta D dan H merupakan matriks sembarang dengan ordo yang sama. Maka, akan berlaku sifat-sifat perkalian skalar sebagai berikut.

  • aD + aH = a(D + H)
  • aD + bD = (a + b)D
  • a(bD) = (ab)D

b. Operasi Perkalian Matriks dengan Matriks Berordo Sama

Perkalian matriks dengan ordo yang sama hanya dpaat dilakukan pada matriks persegi. Jumlah kolom dan baris pada kedua matriks yang dikalikan memiliki jumlah yang sama. Berikut konsep atau rumus operasi perkalian matriks dengan matriks berorodo sama.

Untuk lebih memahami perkalian matriks dengan matriks berordo sama, Grameds dapat menyimak contoh soal di bawah ini.

Hitunglah A x B pada matriks di bawah ini.

Jawab:


3. Operasi Perkalian Matriks dengan Matriks Berordo Berbeda

Perkalian matriks A dan B dituliskan AB. Operasi perkalian dua matriks dengan ordo berbeda hanya dapat dilakukan jika banyaknya baris matriks B sama dengan banyaknya kolom matriks A. Berikut konsep perkalian dua matriks dengan ordo yang berbeda.

Agar lebih memahami matriks perkalian ordo yang berbeda. Grameds dapat menyimak contoh soal di bawah ini.

Baca :   Peranan Larutan Buffer Dalam Tubuh Makhluk Hidup Antara Lain

Hitunglah A x B jika diketahui matriks seperti di bawah ini.

Jawab:





Transpose, Determinan, dan Invers Matriks

1. Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan matriks yang dioperasikan dengan melakukan pertukaran elemen baris menjadi kolom dan elemen kolom menjadi baris dari matriks awalnya. Notasi dari matriks transpose biasanya dengan AT.

Operasi transpose hanya terjadi pada matriks dan vektor. Pada skalar tidak terjadi operasi transpose karena hanya terdiri dari satu baris dan satu kolom. Hal tersebut menyebabkan nilai skalar sama dengan transpose skalar tersebut.

Transpose matriks memiliki beberapa sifat, di antaranya sebagai berikut.

  • (AT)T= A
  • (A + B)T= AT + BT
  • (A – B)T= AT – BT
  • (kA)T= k.AT dengan k adalah konstanta
  • (AB)T= BTAT

Agar lebih memahami transpose matriks, Grameds dapat menyimak contoh di bawah ini.


2. Determinan Matriks

Determinan merupakan nilai yang dihitung melalui unsur-unsur matriks berbentuk mirip dengan persegi. Simbol dari determinan matriks A adalah det (A), det A, atau |A|. Matriks persegi sendiri merupakan matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

Jika jumlah baris dan kolom berbeda maka determinannya tidak dapat ditemukan. Perlu diingat bahwa teori dasar matriks adalag penjumlahan kolom pada tabel atau mengurangi, mengalikan, atau membagi nilai yang ada di suatu kolom.

Determinan memiliki sifat tertentu yang khas seperti pada sebuah matriks A dan B yang berordo
n
x
n
sebagai berikut.

  • |AB| = |A| |B|
  • |AT| = |A|. Simbol T merupakan transpose matriks.
  • |A-1| = 1/|A| atau disebut juga dengan invers matriks.
  • |kA| = kn|A|. K merupakan bilangan riil dan n adalah ordo matriks A.
  • Apabila sebuah matriks semua elemen baik baris maupun kolomnya adalah 0, maka nilai determinannya juga 0.
  • Apabila pada matriks dua baris atau kolomnya sama atau kelipatannya, maka nilai determinannya adalah 0.

Agar lebih memahami determinan matriks, Grameds dapat menyimak contoh determinan berikut ini.

a. Tentukan nilai determinan matriks ordo 2 x 2 di bawah ini.

Jawab:

b. Tentukan nilai determinan dari matriks ordo 3 x 3 di bawah ini.



Jawab:


3. Invers Matriks

Invers berarti kebalikan. Adapun, invers matriks merupakan kebalikan dari sebuah matriks. Jika matriks tersebut dikalikan dengan inversnya akan menjadi matriks identitas. Invers matriks dinotasikan dengan A-1. Syarat dari invers matriks, yakni nilai determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol.

Penentuan invers dari sebuah matriks memiliki dua aturan atau cara berdasarkan ordo. Berikut rincian cara menentukan invers.

a. Invers Matriks Berdasarkan Ordo 2 x 2

Invers matriks ordo 2 x 2 dapat dicari nilainya dengan cara di bawah ini.


Untuk lebih memahami invers matriks ordo 2 x 2, Grameds dapat menyimak soal berikut ini.


b. Invers Matriks Berdasarkan Ordo 3 x 3

Invers matriks ordo 3 x 3 dapat dicari dengan metode eliminasi Gauss Jordan. Sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.



Matriks persegi A dieliminasi dengan cara oeprasi aljabar sampai membentuk matriks identitas. Jika matriks A telah menjadi matriks identitas maka akan berubah menjadi invers dari matriks A.

Untuk lebih memahami invers matriks ordo 3 x 3, Grameds dapat menyimak soal berikut ini.

ePerpus adalah layanan perpustakaan digital masa kini yang mengusung konsep B2B. Kami hadir untuk memudahkan dalam mengelola perpustakaan digital Anda. Klien B2B Perpustakaan digital kami meliputi sekolah, universitas, korporat, sampai tempat ibadah.”

logo eperpus

  • Custom log
  • Akses ke ribuan buku dari penerbit berkualitas
  • Kemudahan dalam mengakses dan mengontrol perpustakaan Anda
  • Tersedia dalam platform Android dan IOS
  • Tersedia fitur admin dashboard untuk melihat laporan analisis
  • Laporan statistik lengkap
  • Aplikasi aman, praktis, dan efisien

Invers Matriks a 1 3 1 5 Adalah

Sumber: https://www.gramedia.com/literasi/rumus-rumus-operasi-matriks/

Check Also

Harga Beras 10 Kg Di Pasar

Harga Beras 10 Kg Di Pasar 4 menit Kamu pasti sudah sering sekali mendengar ungkapan, …