Integral Fungsi Trigonometri

Edutafsi.com – Integral Fungsi Trigonometri. Ketika membahas mengenai pengertian dan jenis-jenis integral, edutafsi telah menyinggung sedikit mengenai jenis integral bedasarkan bentuk fungsinya. Jika dilihat dari bentuk fungsinya, maka ada beberapa jenis integral seperti integral fungsi konstanta, integral fungsi pangkat, integral fungsi eksponen, integral fungsi trigonometri, dan sebagainya. Integral fungsi trigonometri adalah sebuah integral yang integrannya berupa fungsi trigonometri. Dengan kata lain, pada integral tersebut fungsi yang akan diintegrasikan adalah fungsi berbentuk trigonometri. Lalu, bagaimana bentuk dan rumus dasar untuk integral fungsi trigonometri? Pada kesempatan ini, edutafsi akan memaparkan beberapa rumus yang umum dalam integral fungsi trigonometri.

A. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Sama sepertti integral pada umumnya, integral fungsi trigonometri secara garis besar dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu integral tak tentu fungsi trigonometri dan integral tentu fungsi trigonometri. Sesuai dengan definisi integral tak tentu dan integral tentu, maka perbedaan keduanya terletak pada ada tidaknya batas untuk variabel integrasinya. Pada integral tak tentu fungsi trigonometri tidak ada batas untuk variabel integrasinya sedangkan pada integral tentu ada batas variabel integrasinya.

Integral tak tentu fungsi trigonometri merupakan bentuk integral yang integran nya berbentuk fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tidak memiliki batas. Karena variabel integrasinya tidak memiliki batasan, maka hasil dari integral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelsaian umum yang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah sebuah tetapan integrasi yang disimbolkan dengan huruf c.

Karena fungsi integran (fungsi yang akan diintegralkan) berbentuk fungsi trigonometri, maka penyelesaiannya pun melibatkan beberapa konsep atau identitas trigonometri. Oleh sebab itu, dalam materi ini, murid sebaiknya mengingat kembali konsep-konsep penting yang ada dalam materi trigonometri termasuk identitas trigonometri dan turunan fungsi trigonometri.

Karena integral merupakan operasi balikan dari diferensial (anti diferensial), maka integral dari fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan berpatokan pada hasil dari turunan beberapa fungsi trigonometri. Misalnya, turunan dari sin x adalah cos x, maka integral dari cos x adalah sin x + c.

Secara umum, jika f(x) merupakan sebuah fungsi dalam bentuk trigonometri, maka integral tak tentu dari fungsi f(x) dapat diselesaikan dengan rumus dasar integral tak tentu sebagai berikut:

Keterangan :
f(x) = fungsi integran (dalam hal ini berbentuk trigonometri)
F(10) = penyelesaian umum dari integral f(x)

dx = variabel integrasi
c = tetapan integrasi.

Untuk melihat bagaimana proses menentukan hasil integral tak tentu fungsi trigonometri, berikut ini edutafsi jabarkan beberapa fungsi trigonometri yang umum digunakan dalam soal integral.

#1 Integral Fungsi cos 10

Jika diberikan fungsi F(x) = sin x dan f(x) adalah turunan dari F(10), maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(sin x)/dx
⇒ f(x) = cos 10

Karena turunan dari sin x adalah cos 10, maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ cos x dx = sin x + c

Secara umum, persamaan tersebut dapat diperluas sebagai berikut:

∫ cos ax dx = 1/a sin ax + c

∫ cos (ax + b) dx = one/a sin (ax + b) + c

Contoh :

Jika diberikan f(x) = cos 3x + 5, maka tentukanlah integral dari f(x).

Pembahasan :

Dik : f(10) = cos 3x + 5 maka a = 3 dan b = 5

Dit :  ∫ f(x) dx = …. ?

Berdasarkan rumus di atas, maka diperoleh :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ (cos 3x + v) dx
⇒ ∫ f(x) dx = 1/3 sin (3x + 5) + c.

#2 Integral Fungsi sin 10

Jika diberikan fungsi F(10) = cos 10 dan f(ten) adalah turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(10) = d(cos x)/dx
⇒ f(x) = -sin x

Karena turunan dari cos x adalah -sin x, maka integral dari f(10) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ -sin 10 dx = cos 10 + c
⇒ ∫ sin ten dx = -cos ten + c

Secara umum, persamaan tersebut dapat diperluas sebagai berikut:

∫ sin ax dx = – 1/a cos ax + c

∫ sin (ax + b) dx = – 1/a cos (ax + b) + c

Contoh :

Tentukanlah hasil integrasi dari ∫ half dozen sin 2x dx!

Pembahasan :

Dik : f(ten) = six sin 2x maka a = 2
Dit :  ∫ 6 sin 2x dx = …. ?

Berdasarkan rumus di atas, maka diperoleh :
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = 6 ∫ sin 2x dx
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = 6 (-ane/2 cos 2x + c)
⇒ ∫ half dozen sin 2x dx = -3 cos 2x + c.

#3 Integral Fungsi sec²
ten

Jika diberikan fungsi F(x) = tan x dan f(x) adalah turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(10) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(tan x)/dx
⇒ f(x) = sec²
x

Karena turunan dari tan x adalah sec^two
x, maka integral dari f(10) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(ten) + c
⇒ ∫ sec²
x dx = tan x + c

Secara umum, persamaan dapat diperluas sebagai berikut:

∫ sec²
ax dx = one/a tan ax + c

∫ sec²
(ax + b) dx = 1/a tan (ax + b) + c

Contoh :

Tentukan hasil dari ∫ -iv sec²
(8x) dx!

Pembahasan :
Dik : f(ten) =  -4 sec²
(8x), maka a = viii
Dit : ∫ f(x) dx = …?

Berdasarkan rumus integral di atas, diperoleh:
⇒ ∫ -4 sec²
(8x) dx = -iv ∫ secⁱⁱ
(8x) dx
⇒ ∫ -4 secⁱⁱ
(8x) dx = -4 (1/8 tan 8x + c)
⇒ ∫ -4 sec²
(8x) dx = -½ tan 8x + c.

#four Integral Fungsi tan ten. sec x

Jika diberikan fungsi F(x) = sec 10 dan f(x) adalah turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(10) = d(sec x)/dx
⇒ f(10) = tan x. sec x

Karena turunan dari sec x adalah tan x. sec ten, maka integral dari f(10) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ tan x. sec ten dx = sec x + c

Secara umum, persamaan dapat diperluas sebagai berikut:

∫ tan ax. sec ax dx = 1/a sec ax + c

∫ tan (ax + b). sec (ax + b) dx = i/a sec (ax + b) + c

Contoh :

Jika diberi sebuah fungsi f(x) = tan (2x + five). sec (2x + v), maka tentukan integral dari f(x).

Pembahasan :

Dik : f(x) = tan (2x + 5). sec (2x + 5), maka a = 2 dan b = v
Dit : ∫ f(x) dx = …?

Berdasarkan rumus integral di atas, maka diperoleh:
⇒ ∫ f(10) dx = ∫ tan (2x + 5). sec (2x + 5) dx
⇒ ∫ f(x) dx = ½ sec (2x + 5) + c.

B. Integral Tentu Fungsi trigonometri

Integral tentu fungsi trigonometri adalah integral dengan integran berupa fungsi trigonometri dan memiliki batas untuk variabel integrasinya. Karena fungsi integran berbentuk trigonometri, maka batas variabel integrasinya berupa besar sudut dan umumnya dinyatakan dengan π radian.

Secara umum, jika f(10) merupakan sebuah fungsi dalam bentuk trigonometri, maka integral tentu dari fungsi f(x) dengan batas atas b dan batas bawah a dapat diselesaikan dengan rumus dasar integral tentu sebagai berikut:

_a∫^b
f(x) dx = F(b) − F(a)

Keterangan :
f(x) = fungsi integran (dalam hal ini berbentuk trigonometri)
dx = variabel integrasi (berupa sudut dinyatakan dalam π radian)
a = batas bawah variabel integrasi
b = batas atas variabel integrasi.

F(b) = hasil integrasi untuk batas atas
F(a) = hasil integrasi untuk batas bawah.

Contoh :

Tentukanlah hasil integral dari f(x) = cos x dengan batas atas ½π dan batas bawah 0.

Pembahasan :

Dik : f(x) = cos x, a = 0, b = ½π
Dit :
_o∫^½π
f(x) dx = …. ?

Untuk mempermudah, kita uraikan satu-persatu. Kita dapat tentukan F(10) terlebih dahulu.
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ cos x dx = sin x + c

⇒ F(x) = sin x ….. (1)

Untuk batas atas, subtitusi 10 = b = π/2 ke persamaan (1):

⇒ F(x) = sin x
⇒ F(π/2) = sin π/2
⇒ F(π/2) = sin 90^o

⇒ F(π/2) = 1

Untuk batas bawah, subtitusi x = a = 0 ke persamaan (ane):

⇒ F(10) = sin 10
⇒ F(0) = sin 0
⇒ F(0) = 0

Berdasarkan rumus integral tentu, maka :
⇒
_a∫^b
f(x) dx = F(b) − F(a)
⇒
_o∫^½π
cos 10 dx = F(π/2) − F(0)
⇒
_o∫^½π
cos x dx = ane – 0
⇒
_o∫^½π
cos x dx = one.

Demikianlah pembahasan singkat mengenai pengertian dan rumus integral fungsi trigonometri yang terdiri dari integral tak tentu dan integral tentu fungsi trigonometri dilengkapi dengan contoh. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini.