Integral Fungsi Trigonometri Kalkulus 2

Integral Fungsi Trigonometri Kalkulus 2.

Blog Koma
– Setelah mempelajari “Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar”, kita akan lanjutkan lagi materi
integral
yang berkaitan dengan
Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri. Sifat-sifat
integral tak tentu
juga berlaku pada integral fungsi trigonometri. Untuk memudahkan, silahkan baca materi “Turunan Fungsi Trigonometri” terlebih dahulu karena integral adalah kebalikan dari turunan.

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar)

Berdasarkan
pengertian integral, $ \int f^\prime (ten) dx = f(x) + c $, dimana $ f^\prime (x) \, $ adalah turuan dari fungsi $ f(x) $ :

Rumus integral Trigonometri :

1). $ f(x) = \sin x \rightarrow f^\prime number (10) = \cos 10 $

artinya $ \int \cos ten dx = \sin x + c $

ii). $ f(x) = \cos ten \rightarrow f^\prime (x) = -\sin 10 $

artinya $ \int – \sin ten dx = \cos 10 + c \, $ atau $ \, \int \sin x dx = -\cos x + c $

3). $ f(x) = \tan x \rightarrow f^\prime number (x) = \sec ^2 ten $

artinya $ \int \sec ^2 ten dx = \tan x + c $

four). $ f(x) = \cot x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc ^2 x $

artinya $ \int – \csc ^ii x dx = \cot x + c \, $ atau $ \, \int \csc ^2 x dx = -\cot ten + c $

5). $ f(x) = \sec ten \rightarrow f^\prime number (x) = \sec x \tan ten $

artinya $ \int \sec x \tan ten dx = \sec x + c $

half-dozen). $ f(x) = \csc x \rightarrow f^\prime (10) = -\csc x \cot x $

artinya $ \int -\csc ten \cot x dx = \csc 10 + c \, $

atau $ \, \int \csc ten \cot x dx = -\csc x + c $

Contoh soal integral fungsi trigonometri :

1). Tentukan hasil integral berikut ini :

a). $ \int 2\sin ten dx $

b). $ \int \sin 10 – \cos x dx $

c). $ \int \frac{\sin ten + \csc ten}{\tan x } dx $

d). $ \int \frac{\tan x + \cot x}{\sin ii x } dx $

Penyelesaian :

*). Rumus dasar trigonometri :

$ \sec x = \frac{ane}{\cos x }, \, \csc x = \frac{ane}{\sin x}, \, \tan 10 = \frac{\sin x}{\cos x}, \, \cot ten = \frac{\cos x}{\sin x} $.

*). Soal yang ada kita arahkan menjadi bentuk rumus dasar integral trigonometri di atas.

a). $ \int 2\sin x dx = ii \int \sin x dx = 2(-\cos x ) + c = -2\cos x + c $

b). $ \int \sin x – \cos x dx = -\cos x – \sin x + c $

c). Kita sederhanakan soalnya :

$ \begin{align} \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan ten } dx & = \int \frac{\sin ten + \csc x}{ \frac{\sin x}{\cos 10} } dx \\ & = \int (\sin x + \csc x) \times \frac{\cos x}{\sin x} dx \\ & = \int ( \sin x . \times \frac{\cos x}{\sin x} + \csc x \times \frac{\cos x}{\sin 10} ) dx \\ & = \int ( \cos 10 + \csc x \cot x ) dx \\ & = \sin x – \csc 10 + c \cease{align} $

Sehingga, hasil dari $ \int \frac{\sin ten + \csc x}{\tan x } dx = \sin x – \csc x + c $.

Baca :   Contoh Soal Konsentrasi Larutan

d). Kita sederhanakan soalnya : $ \sin 2x = 2\sin x \cos 10 $

$ \begin{align} \int \frac{\tan ten + \cot x}{\sin 2 x } dx & = \int \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin 10} }{2 \sin 10 \cos 10 } dx \\ & = \int \frac{\frac{\sin ten}{\cos x} }{two \sin x \cos 10 } + \frac{ \frac{\cos x}{\sin x} }{2 \sin x \cos 10 } dx \\ & = \int \frac{\sin 10}{\cos x . 2 \sin x \cos ten} + \frac{\cos x}{\sin x . 2 \sin 10 \cos x} dx \\ & = \int \frac{1}{\cos 10 . 2 \cos x} + \frac{1}{\sin x . ii \sin 10 } dx \\ & = \int \frac{1}{2} ( \frac{one}{\cos ^2 x } + \frac{one}{\sin ^2 10 } ) dx \\ & = \frac{i}{2} \int \sec ^2 10 + \csc ^2 x dx \\ & = \frac{1}{ii} (\tan x – \cot 10 ) + c \finish{align} $

Sehingga, hasil dari $ \int \frac{\tan ten + \cot x}{\sin 2 x } dx = \frac{ane}{two} (\tan x – \cot x ) + c $.

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar II)

Untuk berikut ini, kita akan pelajari rumus integral trigonometri dengan sudut yang lebih kompleks.

Rumus integral Trigonometri :

1). $ f(x) = \sin (ax+b) \rightarrow f^\prime (x) = a\cos (ax + b) $

artinya $ \int a\cos (ax + b) dx = \sin (ax+b) + c $

atau $ \int \cos (ax + b) dx = \frac{ane}{a} \sin (ax+b) + c $

2). $ f(x) = \cos (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\sin (ax + b) $

artinya $ \int – a\sin (ax + b) dx = \cos (ax + b) + c \, $

atau $ \, \int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a}\cos (ax + b) + c $

3). $ f(x) = \tan (ax + b) \rightarrow f^\prime number (x) = a \sec ^2 (ax + b) $

artinya $ \int a \sec ^2 (ax + b) dx = \tan (ax + b) + c $

atau $ \int \sec ^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + c $

4). $ f(x) = \cot (ax + b) \rightarrow f^\prime (10) = -a\csc ^2 (ax + b) $

artinya $ \int – a\csc ^two (ax + b) dx = \cot (ax + b) + c \, $

atau $ \, \int \csc ^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + c $

5). $ f(x) = \sec (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a\sec (ax + b) \tan (ax + b) $

artinya $ \int a\sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \sec (ax + b) + c $

atau $ \int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{ane}{a} \sec (ax + b) + c $

six). $ f(ten) = \csc (ax + b) \rightarrow f^\prime (ten) = -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) $

artinya $ \int -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = \csc (ax + b) + c $

atau $ \int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = – \frac{1}{a} \csc (ax + b) + c $

Contoh soal integral fungsi trigonometri :

2). Tentukan hasil integral dari :

a). $ \int \sin (2x + 3) dx $

b). $ \int half dozen\sin (1-3x) dx $

c). $ \int \sec ^2 (4x) dx $

d). $ \int \csc ^ii (-2x + 1) + \sin (2x) dx $

e). $ \int \sec (x – one) \tan (x-i) dx $

f). $ \int \csc (5x – iii) \cot (5x – 3) dx $

Baca :   Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Penyelesaian :

a). $ \int \sin (2x + 3) dx = -\frac{one}{2} \cos (2x + 3) + c $

b). $ \int 6\cos (1-3x) dx = \frac{vi}{-3} \sin (1-3x) + c = -2\sin (one-3x) + c $

c). $ \int \sec ^ii (4x) dx = \frac{1}{4} \tan (4x) + c $

d). $ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx = -\frac{1}{-2} \cot (-2x + i) – \frac{ane}{two} \cos (2x) + c $

$ = \frac{1}{two} \cot (-2x + ane) – \frac{ane}{ii} \cos (2x) + c $

e). $ \int \sec (x – i) \tan (x-one) dx = \sec (10-1) + c $

f). $ \int \csc (5x – iii) \cot (5x – 3) dx = -\frac{i}{v} \csc (5x-3) + c $

Rumus Perkalian Fungsi yang sering digunakan

Berikut merupakan rumus perkalian fungsi trigonometri yang sering digunakan dalam integral trigonometri :

*). $ two \sin A \cos B = \sin (A+B) + \sin (A-B) \, $

atau $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $

*). $ two \cos A \sin B = \sin (A+B) – \sin (A-B) \, $

atau $ \, \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) – \sin (A-B)] $

*). $ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) \, $

atau $ \, \cos A \cos B = \frac{i}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $

*). $ -2 \sin A \sin B = \cos (A+B) – \cos (A-B) \, $

atau $ \, \sin A \sin B = -\frac{ane}{2} [\cos (A+B) – \cos (A-B)] $

Dari dua rumus terakshir di atas jika $ A + B = f(10) \, $ maka kita peroleh :

*). $ \cos ^2 p f(x) = \frac{1}{ii} [ 1 + \cos 2p f(x) ] $

*). $ \sin ^2 p f(10) = \frac{i}{2} [ one – \cos 2p f(x) ] $

Untuk materi lebih lengkapnya, silahkan baca : “Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri”.

Contoh Soal :

iii). Tentukan hasil integral fungsi trigonometri berikut ini :

a). $ \int \sin 5x \cos 2x dx $

b). $ \int four\cos 7x \sin 4x dx $

c). $ \int 3cos (3x – 1) \cos (2x + 2) dx $

d). $ \int \cos ^2 3x dx $

eastward). $ \int \sin ^4 5x dx $

Penyelesaian :

a). Gunakan rumus : $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $

$ \begin{align} \int \sin 5x \cos 2x dx & = \int \frac{ane}{2} [ \sin (5x+2x) + \sin (5x-2x)] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{one}{ii} \int [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{ii} [ -\frac{1}{7}\cos (7x) – \frac{ane}{3} \cos (3x)] + c \\ & = -\frac{1}{14}\cos (7x) – \frac{1}{6} \cos (3x) + c \stop{align} $

Baca :   Reaksi Penetralan Pada Titrasi Asam Basa Akan Menghasilkan

b). Gunakan rumus : $ \, \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) – \sin (A-B)] $

$ \begin{marshal} \int 4\cos 7x \sin 4x dx & = \int iv . \frac{1}{2} [ \sin (7x + 4x ) – \sin (7x – 4x)] dx \\ & = \int 2 [ \sin (11x ) – \sin (3x)] dx \\ & = 2 [ – \frac{ane}{11} \cos (11x ) – (-\frac{1}{three}\cos (3x)) + c \\ & = two [ – \frac{1}{11} \cos (11x ) + \frac{1}{3}\cos (3x) + c \\ & = – \frac{two}{11} \cos (11x ) + \frac{ii}{3}\cos (3x) + c \cease{align} $

c). Gunakan rumus : $ \, \cos A \cos B = \frac{ane}{two} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $

$ \brainstorm{align} & \int 3cos (3x – 1) \cos (2x + 2) dx \\ & = \int 3 . \frac{1}{2} [ \cos ((3x – 1) + (2x + 2)) + \cos ((3x – 1) – (2x + two))] dx \\ & = \int \frac{iii}{ii} [ \cos (5x + one) + \cos (10 – iii)] dx \\ & = \frac{3}{2} [ \frac{one}{5} \sin (5x + 1) + \sin (x – 3)] + c \\ & = \frac{3}{10} \sin (5x + 1) + \frac{3}{2} \sin (ten – three) + c \stop{align} $

d). Gunakan rumus : $ \, \cos ^ii p f(x) = \frac{1}{two} [ one + \cos 2p f(10) ] $

$ \int \cos ^2 3x dx $

$ \brainstorm{align} \int \cos ^2 3x dx & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 3x ] dx \\ & = \int \frac{i}{2} [ 1 + \cos 6x ] dx \\ & = \frac{1}{two} [ x + \frac{1}{6} \sin 6x ] + c \\ & = \frac{1}{two}10 + \frac{1}{12} \sin 6x + c \cease{align} $

due east). Gunakan rumus : $ \, \sin ^2 p f(x) = \frac{one}{ii} [ ane – \cos 2p f(x) ] $

$ \begin{align} \int \sin ^4 5x dx & = \int \sin ^two 5x \sin ^2 5x dx \\ & = \int (\sin ^2 5x)^two dx \\ & = \int (\frac{1}{two} [ one – \cos 2 . 5x ])^2 dx \\ & = \int \frac{1}{4} [ 1 – \cos 10x ]^2 dx \\ & = \frac{one}{four} \int [ ane – two \cos 10 x + \cos ^2 x x ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ one – 2 \cos ten x + \frac{1}{2} [ one + \cos 2 . 10x ] ] dx \\ & = \frac{i}{4} \int [ 1 – two \cos 10 ten + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 20x ] ] dx \\ & = \frac{one}{4} \int [ 1 – 2 \cos x x + \frac{1}{2} + \frac{one}{2} \cos 20x ] dx \\ & = \frac{i}{four} [ 10 – \frac{two}{x} \sin 10 x + \frac{one}{ii}x + \frac{i}{ii} . \frac{ane}{twenty} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{1}{4} [ \frac{3}{2}x – \frac{2}{10} \sin x x + \frac{ane}{40} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{viii}ten – \frac{ii}{twoscore} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{viii}10 – \frac{1}{20} \sin 10 10 + \frac{ane}{160} \sin 20x ] + c \end{align} $

Integral Fungsi Trigonometri Kalkulus 2

Source: https://www.konsep-matematika.com/2016/02/integral-tak-tentu-fungsi-trigonometri.html

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …