Identitas Logaritma

Logaritma
Domain dan Citra
Domain dari fungsi	$$ ( , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )}
Daerah hasil fungsi	$$ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )}
Nilai-nilai spesifik
Nilai di $$ + ∞ {\displaystyle +\infty }	$$ ∞ {\displaystyle \infty }
Nilai maksimum	Tidak ada
Nilai minimum	Tidak ada
Sifat khusus
Akar	$$ one {\displaystyle 1}
Invers	$$ x = b y {\displaystyle x=b^{y}}
Turunan	$$ 1 x ln ⁡ b {\displaystyle {\frac {one}{x\ln b}}}
Antiturunan	$$ x log b ⁡ x − ten ln ⁡ b + C {\displaystyle 10\log _{b}x-{\frac {x}{\ln b}}+C}

Identitas logaritma atau dikenal sebagai
hukum logaritma, ialah kumpulan rumus-rumus yang melibatkan logaritma dan bertujuan untuk mempermudah kalkulasi pada bentuk-bentuk yang cukup rumit.

Fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai

$$



b

x


=
c

⟺






b



log
⁡


c
=
x


{\displaystyle b^{x}=c\iff \,^{b}\!\log c=x}

.

dimana

$$


b


{\displaystyle b}

adalah adalah ground atau bilangan pokok^[one]
dari logaritma, dengan syarat

<
b
<
1


{\displaystyle 0<b<1}

atau

b
>
1


{\displaystyle b>1}

$$


x


{\displaystyle ten}

adalah bilangan yang dilogaritmakan yang disebut dengan numerus^[two], dan bilangan positif

$$


c


{\displaystyle c}

adalah hasil dari logaritma^[2]
[1]
yang disebut dengan antilogaritma.
^{[butuh rujukan]}

Sebagai catatan, notasi logaritma yang dipakai dalam halaman ini tetap memiliki makna yang sama dengan

$$



log

b


⁡


10


{\displaystyle \log _{b}ten}

, kendatipun notasinya berbeda.

Berikut adalah
daftar identitas logaritma
beserta dengan pembuktian-pembuktiannya, antara lain:

Sifat dasar

[sunting
|
sunting sumber]

Sifat trivial

[sunting
|
sunting sumber]

Salah satu yang paling mendasar dalam identitas logaritma, ialah

$$





b



log
⁡


b
=
1


{\displaystyle ^{b}\!\log b=i}

, karena

$$



b

ane


=
b


{\displaystyle b^{ane}=b}

. Terdapat sifat dasar lain, yaitu

Sebagai pengecualian, logaritma dengan

$$


b
=



{\displaystyle b=0}

tidak memiliki nilai. Hasil limit dari

$$





b



log
⁡



=
−


∞




{\displaystyle ^{b}\!\log 0=-\infty }

ketika

$$


b
→





+




{\displaystyle b\to 0^{+}}

. Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.

Perkalian dan pembagian

[sunting
|
sunting sumber]

• 
  
  $$
  
  
  
  
  
  b
  
  
  
  log
  ⁡
  
  
  ten
  y
  =
  
  
  
  b
  
  
  
  log
  ⁡
  
  
  x
  +
  
  
  
  b
  
  
  
  log
  ⁡
  
  
  y
  
  
  {\displaystyle ^{b}\!\log xy=\,^{b}\!\log 10+\,^{b}\!\log y}
  
  

  
  
  
  ^[3]

Sifat ini dapat diperumum ke kasus dengan numerus merupakan hasil perkalian banyak suku,

$$





b



log
⁡



(


∏



i
=
1


n



10

i



)

=

∑



i
=
1


n





b



log
⁡



x

i




{\displaystyle ^{b}\!\log \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{due north}\,^{b}\!\log x_{i}}

.

• 
  
  $$
  
  
  
  
  
  b
  
  
  
  log
  ⁡
  
  
  
  (
  
  
  x
  y
  
  
  )
  
  =
  
  
  
  b
  
  
  
  log
  ⁡
  
  
  10
  −
  
  
  
  
  
  b
  
  
  
  log
  ⁡
  
  
  y
  
  
  {\displaystyle ^{b}\!\log \left({\frac {x}{y}}\correct)=\,^{b}\!\log ten-\,^{b}\!\log y}
  
  

  
  
  
  ^[3]

Penambahan dan pengurangan

[sunting
|
sunting sumber]

Lebih umumnya lagi,

$$





b



log
⁡



(


∑



i
=



due north



x

i



)

=



b



log
⁡



x




+



b



log
⁡



(

ane
+

∑



i
=
1


north





a

i



a







)

=



b



log
⁡



ten




+



b



log
⁡



(

1
+

∑



i
=
1


northward



b


(




b



log
⁡



x

i



−



b



log
⁡



ten





)




)



{\displaystyle ^{b}\!\log \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\correct)=\,^{b}\!\log x_{0}+\,^{b}\!\log \left(ane+\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\,^{b}\!\log x_{0}+\,^{b}\!\log \left(1+\sum _{i=1}^{northward}b^{\left(^{b}\!\log x_{i}-^{b}\!\log x_{0}\right)}\right)}

.

Perubahan basis

[sunting
|
sunting sumber]

Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai

$$





b



log
⁡


x
=






p



log
⁡


x





p



log
⁡


b





{\displaystyle ^{b}\!\log x={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}}

^[iii]

dengan syarat

<
p
<
i


{\displaystyle 0<p<1}

dan

p
>
1


{\displaystyle p>1}

$$


p
≠


1


{\displaystyle p\neq ane}

, dengan mengikuti definisi logaritma.^[4]

Perkalian dan pembagian dalam footing logaritma

[sunting
|
sunting sumber]

Pertukaran ground

[sunting
|
sunting sumber]

Pertukaran ground pada logaritma dapat dirumuskan sebagai

$$





b



log
⁡


ten
=


1




x



log
⁡


b





{\displaystyle ^{b}\!\log x={\frac {1}{^{x}\!\log b}}}

.

Logaritma dalam eksponen

[sunting
|
sunting sumber]

Membatalkan eksponen

[sunting
|
sunting sumber]

Sama halnya dengan penambahan dan pengurangan, maupun perkalian dan pembagian, logaritma dapat membatalkan eksponen karena kedua operasi tersebut saling invers. Secara matematis ini mengartikan,

$$



b




b



log
⁡


x


=
x


{\displaystyle b^{^{b}\!\log x}=x}

karena

$$





b



antilog
⁡


(



b



log
⁡


x
)
=
x


{\displaystyle ^{b}\!\operatorname {antilog} (\,^{b}\!\log x)=ten}

; dan

$$





b



log
⁡


(

b

x


)
=
x


{\displaystyle ^{b}\!\log(b^{10})=x}

karena

$$





b



log
⁡


(



b



antilog
⁡


x
)
=
10


{\displaystyle ^{b}\!\log(\,^{b}\!\operatorname {antilog} x)=x}

.^[6]

Perhatikan bahwa sifat logaritma di atas dapat kita pakai untuk membuktikan bahwa

$$





b



log
⁡



10


i
n



=


i
northward





b



log
⁡


ten


{\displaystyle ^{b}\!\log x^{\frac {ane}{n}}={\frac {one}{north}}\,^{b}\!\log x}

.

Logaritma dengan footing lain

[sunting
|
sunting sumber]

Logaritma natural

[sunting
|
sunting sumber]

Logaritma dalam kalkulus

[sunting
|
sunting sumber]

Limit

[sunting
|
sunting sumber]

Untuk membuktikan limit tersebut, perhatikan grafik fungsi logaritma basis

$$


b


{\displaystyle b}

sembarang (untuk

b
>
1


{\displaystyle b>1}

<
b
<
1


{\displaystyle 0<b<1}

,

Pembuktian yang serupa terhadap limit dari fungsi logaritma alami.

Sebagai tambahan, berikut adalah identitas logaritma dalam limit.

Turunan

[sunting
|
sunting sumber]

Turunan logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

$$





d



d

10




log

b


⁡


(
ten
)
=


1

x
ln
⁡


(
b
)





{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}(10)={\frac {1}{x\ln(b)}}}

, dengan

x
>



{\displaystyle x>0}

b
>



{\displaystyle b>0}

$$


b
≠


1


{\displaystyle b\neq i}

.

Turunan dalam footing lain, antara lain

• 
  
  $$
  
  
  
  
  
  d
  
  
  
  d
  
  ten
  
  
  
  ln
  ⁡
  
  
  x
  =
  
  
  1
  ten
  
  
  
  
  {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} 10}}\ln ten={\frac {1}{ten}}}
  
  

  
  
  

Integral

[sunting
|
sunting sumber]

Integral logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

$$


∫



log

b


⁡


(
ten
)

d
10
=
ten

log

b


⁡


(
x
)
−




x

ln
⁡


(
b
)



+
C
=
x

(


log

b


⁡


(
x
)
−




1

ln
⁡


(
b
)




)

+
C


{\displaystyle \int \log _{b}(x)\,dx=ten\log _{b}(x)-{\frac {10}{\ln(b)}}+C=x\left(\log _{b}(x)-{\frac {one}{\ln(b)}}\right)+C}

^[8]

Integral dalam basis lain, antara lain

• 
  
  $$
  
  
  ∫
  
  
  ln
  ⁡
  
  
  (
  ten
  )
  
  d
  x
  =
  x
  ln
  ⁡
  
  
  (
  10
  )
  −
  
  
  ten
  +
  C
  
  
  
  {\displaystyle \int \ln(x)\,dx=ten\ln(x)-10+C\,}
  
  

  
  
  

Sebagai catatan, halaman ini hanya menjelaskan dasar-dasarnya saja. Lihat Daftar integral dari fungsi logaritmik sebagai identitas adisionalnya.

Deret

[sunting
|
sunting sumber]

• 
  
  $$
  
  
  ln
  ⁡
  
  
  (
  1
  +
  ten
  )
  =
  
  ∑
  
  
  
  n
  ≥
  
  
  ane
  
  
  
  
  
  (
  −
  
  
  1
  
  )
  
  n
  −
  
  
  1
  
  
  
  10
  
  n
  
  
  
  due north
  
  
  
  
  {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{north\geq 1}{\frac {(-1)^{n-one}x^{north}}{n}}}
  
  

  
  
  

Pendekatan logaritma

[sunting
|
sunting sumber]

Bentuk pecahan berlanjut

[sunting
|
sunting sumber]

Logaritma alami

[sunting
|
sunting sumber]

• 
  
  $$
  
  
  ln
  ⁡
  
  
  (
  one
  +
  x
  )
  =
  
  
  
  
  
  
  
  
  10
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ane
  −
  
  
  
  x
  +
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  1
  
  2
  
  
  ten
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ii
  −
  
  
  ane
  x
  +
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ii
  
  2
  
  
  ten
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  3
  −
  
  
  2
  x
  +
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  3
  
  2
  
  
  10
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  4
  −
  
  
  3
  x
  +
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  four
  
  2
  
  
  10
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  5
  −
  
  
  iv
  x
  +
  ⋱
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  {\displaystyle \ln(i+10)={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{ii}x}{ii-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{four-3x+{\cfrac {4^{2}x}{v-4x+\ddots }}}}}}}}}}}
  
  

  
  
  

• 
  
  $$
  
  
  ln
  ⁡
  
  
  
  (
  
  1
  +
  
  
  ten
  y
  
  
  
  )
  
  =
  
  
  
  
  
  
  
  
  x
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  y
  +
  
  
  
  
  
  
  
  
  1
  10
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  2
  +
  
  
  
  
  
  
  
  
  1
  ten
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  3
  y
  +
  
  
  
  
  
  
  
  
  2
  x
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  2
  +
  
  
  
  
  
  
  
  
  2
  x
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  5
  y
  +
  
  
  
  
  
  
  
  
  iii
  ten
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  two
  +
  ⋱
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  =
  
  
  
  
  
  
  
  
  2
  ten
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  two
  y
  +
  x
  −
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  (
  1
  x
  
  )
  
  2
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  iii
  (
  2
  y
  +
  10
  )
  −
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  (
  2
  x
  
  )
  
  2
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  v
  (
  2
  y
  +
  x
  )
  −
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  (
  three
  ten
  
  )
  
  ii
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  7
  (
  2
  y
  +
  x
  )
  −
  
  
  ⋱
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  {\displaystyle \ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{two}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{ii}}{v(2y+ten)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+ten)-\ddots }}}}}}}}}
  
  

  
  
  

Lihat pula

[sunting
|
sunting sumber]

• Daftar identitas eksponensiasi

Rujukan

[sunting
|
sunting sumber]

1. ^
   
   
   <sup>a
   
   
   
   
   b</sup>
   
   
   
   Archangelia Maria Lelu, Desain Pembelajaran Pada Materi Fungsi Logaritma Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Hasil Pembelajaran Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas X MIPA, hlm. fifteen.
2. ^
   
   
   <sup>a
   
   
   
   
   b</sup>
   
   
   
   Entis Sutisna, Southward.Pd, Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X, hlm. 29.
3. ^
   
   
   <sup>a
   
   
   
   
   b
   
   
   
   
   c</sup>
   
   
   
   
   Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016).
   Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas 10. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8.
   
   
   
   
4. 
   ^
   
   Referensinya (pada bagian definisi) mencakup di sini.
5. 
   ^
   
   
   Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016).
   Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-viii.
   
   
   
   
6. 
   ^
   
   
   “Antilogarithm”.
   Wolfram MathWorld.
   
   
   
   
7. 
   ^
   
   Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006).
   Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid ane. hlm. 336. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
8. 
   ^
   
   
   “Logarithm Rules”.
   RapidTables.
   
   
   
   
9. ^
   
   
   <sup>a
   
   
   
   
   b</sup>
   
   
   
   
   “approximation of the log function”.
   planetmath.org
   . Diakses tanggal 2013-03-22 fifteen:18:38.