Identitas Logaritma

Identitas Logaritma.

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Logaritma
Domain dan Citra
Domain dari fungsi




(

,



)


{\displaystyle (0,\infty )}



Daerah hasil fungsi




(






,



)


{\displaystyle (-\infty ,\infty )}



Nilai-nilai spesifik
Nilai di




+





{\displaystyle +\infty }












{\displaystyle \infty }



Nilai maksimum Tidak ada
Nilai minimum Tidak ada
Sifat khusus
Akar




one


{\displaystyle 1}



Invers




x
=

b

y




{\displaystyle x=b^{y}}



Turunan






1

x
ln



b





{\displaystyle {\frac {one}{x\ln b}}}



Antiturunan




x

log

b





x





ten

ln



b



+
C


{\displaystyle 10\log _{b}x-{\frac {x}{\ln b}}+C}



Identitas logaritma atau dikenal sebagai
hukum logaritma, ialah kumpulan rumus-rumus yang melibatkan logaritma dan bertujuan untuk mempermudah kalkulasi pada bentuk-bentuk yang cukup rumit.

Fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai






b

x


=
c








b



log



c
=
x


{\displaystyle b^{x}=c\iff \,^{b}\!\log c=x}



.

dimana




b


{\displaystyle b}




adalah adalah ground atau bilangan pokok[one]
dari logaritma, dengan syarat





<
b
<
1


{\displaystyle 0<b<1}




atau



b
>
1


{\displaystyle b>1}






x


{\displaystyle ten}




adalah bilangan yang dilogaritmakan yang disebut dengan numerus[two], dan bilangan positif




c


{\displaystyle c}




adalah hasil dari logaritma[2]
[1]
yang disebut dengan antilogaritma.
[butuh rujukan]

Sebagai catatan, notasi logaritma yang dipakai dalam halaman ini tetap memiliki makna yang sama dengan





log

b





10


{\displaystyle \log _{b}ten}



, kendatipun notasinya berbeda.

Berikut adalah
daftar identitas logaritma
beserta dengan pembuktian-pembuktiannya, antara lain:

Sifat dasar

[sunting
|
sunting sumber]

Sifat trivial

[sunting
|
sunting sumber]

Salah satu yang paling mendasar dalam identitas logaritma, ialah







b



log



b
=
1


{\displaystyle ^{b}\!\log b=i}



, karena





b

ane


=
b


{\displaystyle b^{ane}=b}



. Terdapat sifat dasar lain, yaitu

Sebagai pengecualian, logaritma dengan




b
=



{\displaystyle b=0}




tidak memiliki nilai. Hasil limit dari







b



log




=








{\displaystyle ^{b}\!\log 0=-\infty }




ketika




b






+




{\displaystyle b\to 0^{+}}



. Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.

Perkalian dan pembagian

[sunting
|
sunting sumber]








  • b



    log



    ten
    y
    =



    b



    log



    x
    +



    b



    log



    y


    {\displaystyle ^{b}\!\log xy=\,^{b}\!\log 10+\,^{b}\!\log y}




    [3]

Sifat ini dapat diperumum ke kasus dengan numerus merupakan hasil perkalian banyak suku,








b



log




(






i
=
1


n



10

i



)

=





i
=
1


n





b



log




x

i




{\displaystyle ^{b}\!\log \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{due north}\,^{b}\!\log x_{i}}



.








  • b



    log




    (


    x
    y


    )

    =



    b



    log



    10






    b



    log



    y


    {\displaystyle ^{b}\!\log \left({\frac {x}{y}}\correct)=\,^{b}\!\log ten-\,^{b}\!\log y}




    [3]

Penambahan dan pengurangan

[sunting
|
sunting sumber]

Lebih umumnya lagi,








b



log




(






i
=



due north



x

i



)

=



b



log




x




+



b



log




(

ane
+





i
=
1


north





a

i



a







)

=



b



log




ten




+



b



log




(

1
+





i
=
1


northward



b


(




b



log




x

i







b



log




ten





)




)



{\displaystyle ^{b}\!\log \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\correct)=\,^{b}\!\log x_{0}+\,^{b}\!\log \left(ane+\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\,^{b}\!\log x_{0}+\,^{b}\!\log \left(1+\sum _{i=1}^{northward}b^{\left(^{b}\!\log x_{i}-^{b}\!\log x_{0}\right)}\right)}



.

Perubahan basis

[sunting
|
sunting sumber]

Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai








b



log



x
=






p



log



x





p



log



b





{\displaystyle ^{b}\!\log x={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}}




[iii]

dengan syarat





<
p
<
i


{\displaystyle 0<p<1}



dan



p
>
1


{\displaystyle p>1}






p



1


{\displaystyle p\neq ane}



, dengan mengikuti definisi logaritma.[4]

Perkalian dan pembagian dalam footing logaritma

[sunting
|
sunting sumber]

Pertukaran ground

[sunting
|
sunting sumber]

Pertukaran ground pada logaritma dapat dirumuskan sebagai








b



log



ten
=


1




x



log



b





{\displaystyle ^{b}\!\log x={\frac {1}{^{x}\!\log b}}}



.

Logaritma dalam eksponen

[sunting
|
sunting sumber]

Klik ‘tampil’ untuk melihat bukti

Menggunakan sifat perubahan basis, akan memperoleh






x



log



a


log



10




=

x




x



log



a


=
a


{\displaystyle x^{\frac {\log a}{\log x}}=ten^{^{ten}\!\log a}=a}



.









{\displaystyle \blacksquare }



Membatalkan eksponen

[sunting
|
sunting sumber]

Sama halnya dengan penambahan dan pengurangan, maupun perkalian dan pembagian, logaritma dapat membatalkan eksponen karena kedua operasi tersebut saling invers. Secara matematis ini mengartikan,






b




b



log



x


=
x


{\displaystyle b^{^{b}\!\log x}=x}




karena







b



antilog



(



b



log



x
)
=
x


{\displaystyle ^{b}\!\operatorname {antilog} (\,^{b}\!\log x)=ten}



; dan








b



log



(

b

x


)
=
x


{\displaystyle ^{b}\!\log(b^{10})=x}




karena







b



log



(



b



antilog



x
)
=
10


{\displaystyle ^{b}\!\log(\,^{b}\!\operatorname {antilog} x)=x}



.[6]

Perhatikan bahwa sifat logaritma di atas dapat kita pakai untuk membuktikan bahwa







b



log




10


i
n



=


i
northward





b



log



ten


{\displaystyle ^{b}\!\log x^{\frac {ane}{n}}={\frac {one}{north}}\,^{b}\!\log x}



.

Logaritma dengan footing lain

[sunting
|
sunting sumber]

Logaritma natural

[sunting
|
sunting sumber]

Logaritma dalam kalkulus

[sunting
|
sunting sumber]

Limit

[sunting
|
sunting sumber]

Untuk membuktikan limit tersebut, perhatikan grafik fungsi logaritma basis




b


{\displaystyle b}




sembarang (untuk



b
>
1


{\displaystyle b>1}







<
b
<
1


{\displaystyle 0<b<1}



,

Pembuktian yang serupa terhadap limit dari fungsi logaritma alami.

Sebagai tambahan, berikut adalah identitas logaritma dalam limit.

Turunan

[sunting
|
sunting sumber]

Turunan logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai








d



d

10




log

b





(
ten
)
=


1

x
ln



(
b
)





{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}(10)={\frac {1}{x\ln(b)}}}



, dengan



x
>



{\displaystyle x>0}





b
>



{\displaystyle b>0}






b



1


{\displaystyle b\neq i}



.

Klik ‘tampil’ untuk melihat bukti
Perhatikan bahwa





y
=

log

b





x


{\displaystyle y=\log _{b}10}




jika dan hanya jika




x
=

b

y




{\displaystyle x=b^{y}}



,

maka kita memperoleh





ln



10
=
y



ln



b


{\displaystyle \ln x=y\cdot \ln b}



.

Dengan substitusi kembali, diperoleh






log

b





x
=



ln



x


ln



b





{\displaystyle \log _{b}x={\frac {\ln x}{\ln b}}}



.

Jika kita turunkan, maka kita mendapatkan








d



d

x




log

b





(
x
)
=


one

x
ln



(
b
)





{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}}




[seven]

Turunan dalam footing lain, antara lain








  • d



    d

    ten



    ln



    x
    =


    1
    ten




    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} 10}}\ln ten={\frac {1}{ten}}}



Integral

[sunting
|
sunting sumber]

Integral logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai









log

b





(
ten
)

d
10
=
ten

log

b





(
x
)





x

ln



(
b
)



+
C
=
x

(


log

b





(
x
)





1

ln



(
b
)




)

+
C


{\displaystyle \int \log _{b}(x)\,dx=ten\log _{b}(x)-{\frac {10}{\ln(b)}}+C=x\left(\log _{b}(x)-{\frac {one}{\ln(b)}}\right)+C}




[8]

Integral dalam basis lain, antara lain








  • ln



    (
    ten
    )

    d
    x
    =
    x
    ln



    (
    10
    )



    ten
    +
    C



    {\displaystyle \int \ln(x)\,dx=ten\ln(x)-10+C\,}



Sebagai catatan, halaman ini hanya menjelaskan dasar-dasarnya saja. Lihat Daftar integral dari fungsi logaritmik sebagai identitas adisionalnya.

Deret

[sunting
|
sunting sumber]





  • ln



    (
    1
    +
    ten
    )
    =





    n



    ane





    (



    1

    )

    n



    1



    10

    n



    due north




    {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{north\geq 1}{\frac {(-1)^{n-one}x^{north}}{n}}}



Pendekatan logaritma

[sunting
|
sunting sumber]

Bentuk pecahan berlanjut

[sunting
|
sunting sumber]

Logaritma alami

[sunting
|
sunting sumber]





  • ln



    (
    one
    +
    x
    )
    =








    10









    ane




    x
    +









    1

    2


    ten









    ii



    ane
    x
    +









    ii

    2


    ten









    3



    2
    x
    +









    3

    2


    10









    4



    3
    x
    +









    four

    2


    10









    5



    iv
    x
    +






























    {\displaystyle \ln(i+10)={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{ii}x}{ii-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{four-3x+{\cfrac {4^{2}x}{v-4x+\ddots }}}}}}}}}}}







  • ln




    (

    1
    +


    ten
    y



    )

    =








    x









    y
    +








    1
    10









    2
    +








    1
    ten









    3
    y
    +








    2
    x









    2
    +








    2
    x









    5
    y
    +








    iii
    ten









    two
    +

































    =








    2
    ten









    two
    y
    +
    x











    (
    1
    x

    )

    2











    iii
    (
    2
    y
    +
    10
    )











    (
    2
    x

    )

    2











    v
    (
    2
    y
    +
    x
    )











    (
    three
    ten

    )

    ii











    7
    (
    2
    y
    +
    x
    )




























    {\displaystyle \ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{two}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{ii}}{v(2y+ten)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+ten)-\ddots }}}}}}}}}



Lihat pula

[sunting
|
sunting sumber]

  • Daftar identitas eksponensiasi

Rujukan

[sunting
|
sunting sumber]

  1. ^


    a




    b



    Archangelia Maria Lelu, Desain Pembelajaran Pada Materi Fungsi Logaritma Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Hasil Pembelajaran Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas X MIPA, hlm. fifteen.
  2. ^


    a




    b



    Entis Sutisna, Southward.Pd, Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X, hlm. 29.
  3. ^


    a




    b




    c




    Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016).
    Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas 10. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8.





  4. ^

    Referensinya (pada bagian definisi) mencakup di sini.

  5. ^


    Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016).
    Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-viii.





  6. ^


    “Antilogarithm”.
    Wolfram MathWorld.





  7. ^

    Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006).
    Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid ane. hlm. 336. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)

  8. ^


    “Logarithm Rules”.
    RapidTables.




  9. ^


    a




    b




    “approximation of the log function”.
    planetmath.org
    . Diakses tanggal 2013-03-22 fifteen:18:38.






Identitas Logaritma

Source: https://id.wikipedia.org/wiki/Daftar_identitas_logaritma

Baca :   Bilangan Bulat Yang Lebih Dari Dan Kurang Dari 7

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …