Himpunan Pasangan Berurutan Yang Merupakan Fungsi Adalah

51 Views

KlikBelajar.com – Himpunan Pasangan Berurutan Yang Merupakan Fungsi Adalah

kampungilmu.web.id – Dalam bidang matematika,
pasangan terurut
adalah gabungan antara dua objek berbeda menjadi satu (integrasi). Contohnya,
$a$
adalah unsur pertama dan
$b$
adalah unsur kedua; dalam pasangan terurut, pasangan tersebut ditulis
$(a,b)$ . Pasangan itu adalah
terurut, berarti
$(a,b)$
tidak sama dengan
$(b,a)$ , melainkan
$a=b$ .

Pasangan terurut berhubungan erat dengan perkalian himpunan. Himpunan bagi semua pasangan terurut di mana unsur pertama adalah anggota himpunan
$X$
dan unsur kedua adalah anggota himpunan
$Y$
dinamakan Produk Kartesian bagi
$X$
dan
$Y$ , dan ditulis
$X\times {}Y$ .

Materi Matematika Pasangan Berurutan

Pasangan Berurutan

Contoh:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}
Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah:
{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Relasi
Relasi adalah himpunan dari pasangan terurut ang memenuhi aturan tertentu
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}
Jika ada relasi R dari A ke B dengan aturan ”faktor dari”, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi tersebut adalah:
R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}
Diagram panahnya:

Fungsi

Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke hanya satu anggota himpunan B
Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B
A disebut domain (daerah asal)
B disebut kodomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil)
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)
Contoh:

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:
Domain = Df = {1, 2, 3, 4}
Range = Rf = {2, 4}
Menentukan Daerah Asal Fungsi

Agar suatu fungsi terdefinisi (mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real), maka ada beberapa syarat yang harus dipenuhi.
1. Fungsi di dalam akar

Baca : Cara Menentukan Faktor

2. Fungsi pecahan

3. Fungsi dimana penyebutnya adalah fungsi lain dalam bentuk akar

4. Fungsi logaritma

Contoh:
Daerah asal untuk fungsi

adalah:
x2 + 3x – 4 > 0
(x + 4)(x – 1) > 0
Pembuat nol: x = –4 dan x = 1
Jika x = 0 maka hasilnya 02 + 3.0 – 4 = –4 (negatif)

Jadi Df = {x | x < –4 atau x > 1}

Aljabar Fungsi

Jika f : x → f(x) dan g : x → g(x) maka:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f × g)(x) = f(x) × g(x)

Daerah asalnya:
Df+g, Df–g, Df×g = Df ∩ Dg (irisan dari Df dan Dg)
Df/g = Df ∩ Dg dan g(x) ≠ 0

Komposisi fungsi

Notasi:

f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca ”f bundaran g”)
(f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)
Ilustrasi:

Contoh: f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1)) = g(2) = 0
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
1. Tidak bersifat komutatif
(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)
2. Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)
3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Contoh 1:

f(x) = 3x + 2
g(x) = 2x + 5
h(x) = x2 – 1
Cari (f o g)(x), (g o f)(x), dan (f o g o h)(x)!
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)
= 3(2x + 5) + 2
= 6x + 15 + 2 = 6x + 17
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)
= 2(3x + 2) + 5
= 6x + 4 + 5 = 6x + 9
(f o g o h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x2 – 1))
= f(2(x2 – 1) + 5)
= f(2×2 – 2 + 5)
= f(2×2 + 3)
= 3(2×2 + 3) + 2
= 6×2 + 9 + 2 = 6×2 + 11

atau dengan menggunakan rumus (f o g)(x) yang sudah diperoleh sebelumnya,

(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(x2 – 1)
= 6(x2 – 1) + 17
= 6×2 – 6 + 17
= 6×2 + 11

Contoh 2:

f(x) = 3x + 2
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari g(x)!
(f (g(x)) = 6x + 17
3.g(x) + 2 = 6x + 17
3.g(x) = 6x + 17 – 2
3.g(x) = 6x + 15
g(x) = 2x + 5

Baca : Alat Untuk Menaikkan Atau Menurunkan Tegangan Listrik Adalah

Contoh 3:
g(x) = 2x + 5
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari f(x)!
f(2x + 5) = 6x + 17
misalkan: 2x + 5 = a → 2x = a – 5
f(a) = 3(a – 5) + 17
f(a) = 3a – 15 + 17
f(a) = 3a + 2
f(x) = 3x + 2

Contoh 4:
f(x) = x2 + 2x + 5
(f o g)(x) = 4×2 – 8x + 8
Cari g(x)!
f(g(x)) = 4×2 – 8x + 8
(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4×2 – 8x + 8

Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna

(g(x) + 1)2 – 1 + 5 = 4×2 – 8x + 8
(g(x) + 1)2 = 4×2 – 8x + 8 – 4
(g(x) + 1)2 = 4×2 – 8x + 4
(g(x) + 1)2 = (2x – 2)2
g(x) + 1 = 2x – 2 atau g(x) + 1 = –(2x – 2)
g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3
atau
f(g(x)) = 4×2 – 8x + 8
(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4×2 – 8x + 8
Karena pangkat tertinggi di ruas kanan = 2, maka misalkan g(x) = ax + b
(ax + b)2 + 2(ax + b) + 5 = 4×2 – 8x + 8
a2x2 + 2abx + b2 + 2ax + 2ab + 5 = 4×2 – 8x + 8
a2x2 + (2ab + 2a)x + (b2 + 2ab + 5) = 4×2 – 8x + 8
Samakan koefisien x2 di ruas kiri dan kanan:
a2 = 4 → a = 2 atau a = –2
samakan koefisien x di ruas kiri dan kanan:
untuk a = 2 → 2ab + 2a = –8
4b + 4 = –8
4b = –12 → b = –3
untuk a = –2 → 2ab + 2a = –8
–4b + 4 = –8
–4b = –12 → b = 3
Jadi g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3

Invers Fungsi

Notasi

Invers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f–1 (x)

Ilustrasi

Contoh: Jika f(2) = 1 maka f–1(1) =2
Jika digambar dalam koordinat cartesius, grafik invers fungsi merupakan pencerminan dari grafik fungsinya terhadap garis y = x

Materi Matematika Pasangan Berurutan

Sifat-Sifat Invers Fungsi:
(f–1)–1(x) = f(x)
(f o f–1)(x) = (f–1 o f)(x) = I(x) = x, I = fungsi identitas
(f o g)–1(x) = (g–1 o f–1)(x)
Ingat: (f o g–1)(x) ¹ (f o g)–1(x)

Mencari invers fungsi
Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x)
Carilah x dalam y, namai persamaan ini dengan x = f–1(y)
Ganti x dengan y dan y dengan x, sehingga menjadi y = f–1(x), yang merupakan invers fungsi dari f
Contoh 1:
f(x) = 3x – 2
invers fungsinya:

Baca : Pembentukan Bayangan Pada Cermin Cekung Di Ruang 1 2 3

Contoh 2:

Cara Cepat!

Contoh 3:
f(x) = x2 – 3x + 4
Invers fungsinya