Himpunan Pasangan Berurutan Berikut Yang Menyatakan Relasi Kurang Dari Adalah

55 Views

KlikBelajar.com – Himpunan Pasangan Berurutan Berikut Yang Menyatakan Relasi Kurang Dari Adalah

kampungilmu.web.id – Dalam bidang matematika,
pasangan terurut
adalah gabungan antara dua objek berbeda menjadi satu (integrasi). Contohnya,
$a$
adalah unsur pertama dan
$b$
adalah unsur kedua; dalam pasangan terurut, pasangan tersebut ditulis
$(a,b)$ . Pasangan itu adalah
terurut, berarti
$(a,b)$
tidak sama dengan
$(b,a)$ , melainkan
$a=b$ .

Pasangan terurut berhubungan erat dengan perkalian himpunan. Himpunan bagi semua pasangan terurut di mana unsur pertama adalah anggota himpunan
$X$
dan unsur kedua adalah anggota himpunan
$Y$
dinamakan Produk Kartesian bagi
$X$
dan
$Y$ , dan ditulis
$X\times {}Y$ .

Materi Matematika Pasangan Berurutan

Pasangan Berurutan

Contoh:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}
Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah:
{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Relasi
Relasi adalah himpunan dari pasangan terurut ang memenuhi aturan tertentu
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}
Jika ada relasi R dari A ke B dengan aturan ”faktor dari”, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi tersebut adalah:
R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}
Diagram panahnya:

Fungsi

Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke hanya satu anggota himpunan B
Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B
A disebut domain (daerah asal)
B disebut kodomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil)
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)
Contoh:

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:
Domain = Df = {1, 2, 3, 4}
Range = Rf = {2, 4}
Menentukan Daerah Asal Fungsi

Baca : Bangun Ruang Yg Tidak Memiliki Titik Sudut Adalah

Agar suatu fungsi terdefinisi (mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real), maka ada beberapa syarat yang harus dipenuhi.
1. Fungsi di dalam akar

2. Fungsi pecahan

3. Fungsi dimana penyebutnya adalah fungsi lain dalam bentuk akar

4. Fungsi logaritma

Contoh:
Daerah asal untuk fungsi

adalah:
x2 + 3x – 4 > 0
(x + 4)(x – 1) > 0
Pembuat nol: x = –4 dan x = 1
Jika x = 0 maka hasilnya 02 + 3.0 – 4 = –4 (negatif)

Jadi Df = {x | x < –4 atau x > 1}

Aljabar Fungsi

Jika f : x → f(x) dan g : x → g(x) maka:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f × g)(x) = f(x) × g(x)

Daerah asalnya:
Df+g, Df–g, Df×g = Df ∩ Dg (irisan dari Df dan Dg)
Df/g = Df ∩ Dg dan g(x) ≠ 0

Komposisi fungsi

Notasi:

f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca ”f bundaran g”)
(f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)
Ilustrasi:

Contoh: f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1)) = g(2) = 0
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
1. Tidak bersifat komutatif
(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)
2. Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)
3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Contoh 1:

f(x) = 3x + 2
g(x) = 2x + 5
h(x) = x2 – 1
Cari (f o g)(x), (g o f)(x), dan (f o g o h)(x)!
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)
= 3(2x + 5) + 2
= 6x + 15 + 2 = 6x + 17
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)
= 2(3x + 2) + 5
= 6x + 4 + 5 = 6x + 9
(f o g o h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x2 – 1))
= f(2(x2 – 1) + 5)
= f(2×2 – 2 + 5)
= f(2×2 + 3)
= 3(2×2 + 3) + 2
= 6×2 + 9 + 2 = 6×2 + 11

atau dengan menggunakan rumus (f o g)(x) yang sudah diperoleh sebelumnya,

(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(x2 – 1)
= 6(x2 – 1) + 17
= 6×2 – 6 + 17
= 6×2 + 11

Baca : Pada Gambar Dibawah Panjang Ef Adalah

Contoh 2:

f(x) = 3x + 2
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari g(x)!
(f (g(x)) = 6x + 17
3.g(x) + 2 = 6x + 17
3.g(x) = 6x + 17 – 2
3.g(x) = 6x + 15
g(x) = 2x + 5

Contoh 3:
g(x) = 2x + 5
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari f(x)!
f(2x + 5) = 6x + 17
misalkan: 2x + 5 = a → 2x = a – 5
f(a) = 3(a – 5) + 17
f(a) = 3a – 15 + 17
f(a) = 3a + 2
f(x) = 3x + 2

Contoh 4:
f(x) = x2 + 2x + 5
(f o g)(x) = 4×2 – 8x + 8
Cari g(x)!
f(g(x)) = 4×2 – 8x + 8
(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4×2 – 8x + 8

Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna

(g(x) + 1)2 – 1 + 5 = 4×2 – 8x + 8
(g(x) + 1)2 = 4×2 – 8x + 8 – 4
(g(x) + 1)2 = 4×2 – 8x + 4
(g(x) + 1)2 = (2x – 2)2
g(x) + 1 = 2x – 2 atau g(x) + 1 = –(2x – 2)
g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3
atau
f(g(x)) = 4×2 – 8x + 8
(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4×2 – 8x + 8
Karena pangkat tertinggi di ruas kanan = 2, maka misalkan g(x) = ax + b
(ax + b)2 + 2(ax + b) + 5 = 4×2 – 8x + 8
a2x2 + 2abx + b2 + 2ax + 2ab + 5 = 4×2 – 8x + 8
a2x2 + (2ab + 2a)x + (b2 + 2ab + 5) = 4×2 – 8x + 8
Samakan koefisien x2 di ruas kiri dan kanan:
a2 = 4 → a = 2 atau a = –2
samakan koefisien x di ruas kiri dan kanan:
untuk a = 2 → 2ab + 2a = –8
4b + 4 = –8
4b = –12 → b = –3
untuk a = –2 → 2ab + 2a = –8
–4b + 4 = –8
–4b = –12 → b = 3
Jadi g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3

Invers Fungsi

Notasi

Invers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f–1 (x)

Ilustrasi

Contoh: Jika f(2) = 1 maka f–1(1) =2
Jika digambar dalam koordinat cartesius, grafik invers fungsi merupakan pencerminan dari grafik fungsinya terhadap garis y = x

Materi Matematika Pasangan Berurutan

Sifat-Sifat Invers Fungsi:
(f–1)–1(x) = f(x)
(f o f–1)(x) = (f–1 o f)(x) = I(x) = x, I = fungsi identitas
(f o g)–1(x) = (g–1 o f–1)(x)
Ingat: (f o g–1)(x) ¹ (f o g)–1(x)

Baca : Pasangan Garam Yang Bersifat Basa Ditunjukkan Nomor

Mencari invers fungsi
Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x)
Carilah x dalam y, namai persamaan ini dengan x = f–1(y)
Ganti x dengan y dan y dengan x, sehingga menjadi y = f–1(x), yang merupakan invers fungsi dari f
Contoh 1:
f(x) = 3x – 2
invers fungsinya:

Contoh 2:

Cara Cepat!

Contoh 3:
f(x) = x2 – 3x + 4
Invers fungsinya