Fungsi Kuadrat Yang Sumbu Simetrinya Sumbu Y Adalah

Fungsi Kuadrat Yang Sumbu Simetrinya Sumbu Y Adalah

Postingan ini membahas contoh soal fungsi kuadrat dan pembahasannya + jawabannya. Lalu apa itu fungsi kuadrat ?. Suatu fungsi
f
pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukan oleh f(x) = ax2
+ bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Ada dua cara menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu dengan menggunakan tabel koordinat bebarapa titik dan menggunakan titik-titik penting yang dilalui grafik. Titik-titik penting tersebut adalah titik potong grafik dengan sumbu X, titik potong grafik dengan sumbu Y dan titik balik.

Berdasarkan nilai diskriminannya (D = b2
– 4ac), grafik fungsi kuadrat (y = ax2
+ bx + c) ) terdiri dari 6 kemungkinan yaitu sebagai berikut.

  1. Jika a > 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. Jenis titik baliknya minimum.
  2. Jika a > 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di satu titik atau menyinggung sumbu X. Jenis titik baliknya minimum.
  3. Jika a > 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit positif). Jenis titik baliknya minimum.
  4. Jika a < 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda. Jenis titik baliknya maksimum.
  5. Jika a < 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X dan titik baliknya maksimum.
  6. Jika a < 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit negatif) dan titik baliknya maksimum.
Jenis grafik fungsi kuadrat

Rumus yang berlaku pada fungsi kuadrat sebagai berikut.

Fungsi kuadrat
Rumus fungsi kuadrat

Contoh soal fungsi kuadrat

Contoh soal 1

Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2
+ 4x – 21 pada himpunan bilangan nyata.

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menggambar
grafik fungsi kuadrat
sebagai berikut:

Menentukan titik potong sumbu x dengan cara pemfaktoran:

x2
+ 4x – 21 = 0

(x1
+ 7) (x2
– 3) = 0

x1
= -7 dam x2
= 3

Titik potong pada sumbu X adalah A(-7 ; 0) dan B ((3 ; 0)

Menentukan titik potong sumbu Y dengan subtitusi x = 0 atau f(0)

f(x) = x2
+ 4x – 21

f(0) = 02
+ 4 . 0 – 21 = -21

Jadi titik potong sumbu Y adalah (0 ; -21)

Menentukan titik balik (xp
, yp) dengan rumus dibawah ini:

xp
=

-b

2a


=

-4

2 . 1


= – 2.

yp
=

– D

4 . a


=

– (b2
– 4 . a . c)

4 . a



yp
=

– (42
– 4 . 1 . -21)

4 . 1


= – 25.

Jadi titik balik (-2 ; -25)

Dengan demikian gambar grafik kuadrat soal nomor 1 sebagai berikut:

Grafik fungsi kuadrat nomor 1
Grafik fungsi kuadrat nomor 1


Contoh soal 2

Selidikilah apakah grafik fungsi berikut memotong sumbu X, menyinggung sumbu X atau tidak memotong sumbu X.

  1. y = x2
    + 9x + 20
  2. y = 2x2
    – 3x + 1

Pembahasan / penyelesaian soal

  1. a = 1 dan D = b2
    – 4ac = 92
    – 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
  2. a = 2 dan D = b2
    – 4ac = -32
    – 4 . 2 . 1 = 9 – 8 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.

Contoh soal 3

Selidiki apakah fungsi kuadrat dibawah ini tergolong definit positif, definit negatif atau bukan keduanya.

  1. y = 3x2
    – 4x – 2
  2. y = 4x2
    – 3x + 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Definit positif jika a > 0 dan D < 0 sedangkan definit negatif jika a < 0 dan D < 0.

  1. a = 3 dan D = b2
    – 4ac = (-4)2
    – 4 . 3 . -2 = 16 + 24 = 40. Karena a > 0 dan D > 0 maka fungsi kuadrat bukan definit positif dan bukan definit negatif (bukan keduanya).
  2. a = 1 dan D = b2
    – 4ac = (-3)2
    – 4 . 4 . 5 = 9 – 80 = – 71. Karena a > 0 dan D < 0 maka fungsi kuadrat definit positif.

Contoh soal Fungsi kuadrat pilihan ganda (PG)

Contoh soal 1

Baca :   24 Km Jam Berapa M Detik

Persamaan sumbu simetri dari f(x) = 6 – 5x – x2
adalah …
A. x = -2
B. x = 2
C. x = -2\frac {1} {2}

D. x = 3
E. x = 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

  • a = -1
  • b = -5
  • c = 6

Cara menjawab soal ini yaitu dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri yaitu sebagai berikut.

→ Pers. sumbu simetri = –

b

2a



→ Pers. sumbu simetri = –

-5

2 . -1


= -2

1

2

Soal ini jawabannya C.


Contoh soal 2

Grafik fungsi f(x) = x2
+ 4x – 30 simetris terhadap garis x = a. Nilai a = …
A. -4
B. -2
C. -1
D. 2
E. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri diperoleh hasil sebagai berikut.

→ x = –

b

2a



→ a = –

4

2 . 1


= -2

Soal ini jawabannya B.


Contoh soal 3

Nilai m agar grafik fungsi y = (m – 1)x2
– 2mx + (m – 3) selalu berada dibawah sumbu X (definit negatif) adalah …
A. m = 1
B. m > 1
C. m < 1
D. m > 3/4
E. m < 3/4

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

  • a = m – 1
  • b = -2m
  • c = m – 3

Syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0.

  • a < 0
  • m – 1 < 0
  • m < 1
  • D < 0
  • b2
    – 4ac < 0
  • (-2m)2
    – 4 (m – 1) (m – 3) < 0
  • 4m2
    – 4 (m2
    – 4m + 3) < 0
  • 4m2
    – 4m2 + 16m – 12 < 0
  • 16m – 12 < 0
  • 16m < 12
  • m <
    \frac {12} {16}
  • m < 3/4

Syarat 1 dan 2 terpenuhi sehingga kita tentukan irisannya yaitu sebagai berikut.

Fungsi kuadrat
Irisan fungsi kuadrat

Jadi nilai m < 3/4. Soal ini jawabannya E.


Contoh soal 4

Koordinat titik balik grafik y = x2
– 6x + 8 adalah …
A. (3, -1)
B. (-3, -1)
C. (4, 2)
D. (6, 8)
E. (-6, 8)

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

  • a = 1
  • b = -6
  • c = 8

Dengan menggunakan rumus koordinat titik balik diperoleh hasil sebagai berikut.

→ x = –

b

2a



→ x = –

-6

2 . 1


= 3

→ y = –

D

4a



→ y = –

b2
– 4ac

4a



→ y = –

(-6)2
– 4 . 1 . 8

4 . 1



→ y = –

36 – 32

4


= -1

Jadi koordinat titik balik (3, -1). Soal ini jawabannya A.


Contoh soal 5

Koordinat titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2
– 2x – 3 adalah …
A. (1, 4)
B. (-1, 4)
C. (4, 1)
D. (1, -4)
E. (-1, -4)

Pembahasan / penyelesaian soal

→ x = –

b

2a



→ x = –

-2

2 . 1


= 1

→ y = –

D

4a



→ y = –

b2
– 4ac

4a



→ y = –

(-2)2
– 4 . 1 . -3

4 . 1



→ y = –

4 + 12

4


= -4

Jadi titik baliknya (1, -4). Soal ini jawabannya D.


Contoh soal 6

Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.

Contoh soal fungsi kuadrat
Contoh soal 6 fungsi kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = x2
– 2x + 15

B. y = x2
– 2x – 15

C. y = x2
+ 2x + 15

D. y = x2
– 8x – 15
E. y = x2
– 8x + 15

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

  • x1
    = -5
  • x2
    = -3
  • y = 15

Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:

  • y = a (x – x1) (x – x2)
  • y = a (x – (-5)) (x – (-3))
  • y = a (x + 5) (x + 3)
  • y = a (x2
    + 3x + 5 x + 15)
  • y = a (x2
    + 8x + 15)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = 15 sehingga didapat:

  • 15 = a (02
    + 8 . 0 + 15)
  • 15 = a . 15
  • a = 15/15 = 1

Jadi fungsi kuadratnya adalah:

  • y = 1 (x2
    + 8x + 15)
  • y = x2
    + 8x + 15

Jadi soal ini jawabannya C.


Contoh soal 7

Fungsi kuadrat
Contoh soal fungsi kuadrat nomor 7

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = 2x2
+ 2x – 4

B. y = 2x2
– 2x – 4

C. y = x2
+ x – 4
D. y = x2
– 2x – 4

E. y = x2
– x – 4

Baca :   Jenis Air Kondisi Air Setelah Disaring Keterangan

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik diatas kita ketahui:

  • x1
    = -1
  • x2
    = 2
  • y = -4

Maka persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:

  • y = a (x – (-1)) (x – 2)
  • y = a (x + 1) (x – 2)
  • y = a (x2
    – x – 2)

Menentukan nilai a dengan cara subtitusi x = 0 dan y = -4 sehingga didapat hasil dibawah ini:

  • -4 = a (02
    – 0 – 2)
  • -4 = a . -2
  • a = -4/-2 = 2

Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

  • y = 2 (x2
    – x – 2)
  • y = 2x2
    – 2x – 4

Soal ini jawabannya B.


Contoh soal 8

Perhatikan gambar dibawah ini.

Fungsi kuadrat
Contoh soal fungsi kuadrat nomor 8

Jika fungsi kuadrat grafik diatas dinyatakan oleh f(x) = ax2 + bx + c maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah…
A. a < 0, b < 0, dan c < 0

B. a < 0, b > 0 dan c > 0

C. a < 0, b > 0 dan c < 0

D. a > 0, b < 0 dan c > 0

E. a > 0, b < 0 dan c < 0

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita bentuk terlebih dahulu persamaan fungsi kuadrat grafik diatas sebagai berikut:

  • y = a (x – (-3)) (x – (-1))
  • y = a (x + 3) (x + 1)
  • y = a (x2
    + 4x + 3)
  • -3 = a (02
    + 4 . 0 + 3)
  • -3 = a . 3
  • a = -3/3 = -1
  • y = -1 (x2
    + 4x + 3)
  • y = -x2
    – 4x – 3

Berdasarkan persamaan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = -4 dan c = -3 atau a < 0, b < 0 dan c < 0. Jadi jawaban soal ini adalah A.


Contoh soal 9

Perhatikan gambar dibawah ini.

Fungsi kuadrat
Contoh soal fungsi kuadrat nomor 9

Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…
A. (-1, 0) dan (-8, 0)
B. (-1, 0) dan (8, 0)

C. (1, 0) dan (-8, 0)

D. (1, 0) dan (8, 0)

E. (2, 0) dan (5, 0)

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

  • titik balik xp = 9/2
  • titik balik yp = -49/4
  • y = 8

xp
=

-b

2 . a


=

9

2



Sehingga kita dapat a =

2

2


= 1 dan b = -9.

yp
=

-(b2
– 4 . a . c)

4 . a


=

-49

4



b2
– 4 . a . c = 49

92
– 4 . 1 . c = 49

81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32

c =

32

4


= 8

Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah:

y = ax2
+ bx + c

y = xp
– 9x + c

Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut:

xp
– 9x + 8 = 0

(x1
– 8) (x2
– 1) = 0

x1
= 8 dan x2
= 1

Jadi titik potong sumbu X adalah (8,0) dan (1,0). Soal ini jawabannya D.


Contoh soal 10

Diketahui f(x) = x2
+ 4x – 5, maka nilai minimumnya adalah …
A. -17
B. -9
C. -5
D. -2
E. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Tentukan terlebih dahulu titik ekstrem dengan mengunakan rumus sebagai berikut.

→ y = –

D

4a



→ y = –

b2
– 4ac

4a



→ y = –

42
– 4. 1 . -5

4. 1


= -9

Kemudian subtitusi y ke f(x) = x2
+ 4x – 5 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

  • -9 = x2 + 4x – 5
  • 0 = x2 + 4x – 5 + 9
  • x2
    + 4x + 4 = 0
  • (x + 2)2
    = 0
  • x = -2

Subtitusi x = -2 ke f(x) sehingga diperoleh nilai minimum sebagai berikut.

  • f(x) = x2
    + 4x – 5
  • f(-2) = (-2)2
    + 4 . (-2) – 5
  • f(-2) = 4 – 8 – 5 = -9

Jadi soal ini jawabannya B.


Contoh soal 11

Nilai maksimum dari fungsi kuadrat f(x) = -x2
+ 2x + 15 adalah …
A. -32
B. -16
C. 1
D. 16
E. 32

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menghitung nilia maksimum fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus dibawah ini.

→ y = –

D

4a



→ y = –

b2
– 4ac

Baca :   Cara Cepat Membersihkan Bunga Es

4a



→ y = –

22
– 4. -1 . 15

4. -1



→ y =

64

4


= 16

Soal ini jawabannya D.


Contoh soal 12

Sebuah peluru ditembakkan vertikal dengan persamaan lintasan h(t) = 150t – 5t2. Tinggi maksimum peluru adalah …
A. 925 m
B. 1.015 m
C. 1.025 m
D. 1.125 m
E. 1.225 m

Pembahasan / penyelesaian soal

→ y = –

D

4a



→ y = –

b2
– 4ac

4a



→ y = –

(150)2
– 4. -1 . 0

4. -5



→ y =

22500

20


= 1.125 m

Soal ini jawabannya D.


Contoh soal 13

Diketahui jumlah 2 bilangan adalah 72. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah…
A. 72

B. 144

C. 360

D. 1.296

E. 5.184

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita lalukan pemisalan 2 bilangan yaitu x dan y sehingga kita peroleh:

  • x + y = 72
  • y = 72 – x
  • x . y = x (72 – x) = 72x – x2
  • K = -x2
    + 72x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = 72 dan c = 0. Hasil kali maksimum kita gunakan rumus dibawah ini:

Jadi soal ini jawabannya D.

K =

-(b2
– 4 . a . c)

4 . a



K =

-(722
– 4 . -1 . 0)

4 . -1


=

5184

4


= 1296

Jadi soal ini jawabannya D.


Contoh soal 14

Dua bilangan selisihnya 30. Agar hasil kalinya minimum maka kedua bilangan tersebut adalah…
A. 15 dan -15

B. 20 dan -10

C. 25 dan -5

D. 40 dan 10

E. 50 dan 20

Pembahasan / penyelesaian soal

Kita misalkan kedua bilangan tersebut x dan y maka kita peroleh:

  • x – y = 30
  • y = x – 30
  • K = x . y = x . (x – 30) = x2
    – 30x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = 1, b = -30 dan c = 0. Maka untuk menentukan nilai minimum kita gunakan rumus dibawah ini.

K =

-(b2
– 4 . a . c)

4 . a



K =

-(-302
– 4 . 1 . 0)

4 . 1


=

-900

4


= – 225

K = -225 dan K = x2
– 30x maka kita dapat:

x2
– 30 x = -225

x2
– 30x + 225 = 0

(x – 15)2
= 0

x = 15

Kita subtitusi x = 15 ke persamaan y = x – 30 maka kita peroleh y = 15 – 30 = -15. Jadi hasil perkalian minimum jika kedua bilangan tersebut adalah 15 dan -15.

Jadi soal ini jawabannya A.


Contoh soal 15

Diketahui persegipanjang dengan keliling 64 cm. Agar luas persegi panjang maksimum maka besar panjang dan lebarnya adalah…
A. 64 cm dan 1 cm

B. 32 cm dan 2 cm

C. 32 cm dan 4 cm

D. 16 cm dan 16 cm

E. 16 cm dan 8 cm

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menyelesaikan soal ini kita misalkan panjang = P dan lebar = L maka kita peroleh:

  • 2 (P + L) = 64
  • P + L = 32
  • P = 32 – L
  • Luas = P . L = (32 – L) . L = 32 L – L2
  • Luas = L2
    – 32L

Dari fungsi kuadrat luas diatas kita ketahui a = 1, b = -32 dan c = 0. Selanjutnya kita menentukan luas maksimum dengan cara dibawah ini:

Luas =

-(b2
– 4 . a . c)

4 . a



Luas =

-(-322
– 4 . 1 . 0)

4 . 1


=

1024

4


= – 256

Luas = -256 dan Luas = L2
– 32L sehingga kita peroleh hubungan sebagai berikut:

  • L2
    – 32L = – 256
  • L2
    – 32L + 256 = 0
  • (L – 16)2
    = 0
  • L = 16

L = 16 kita subtitusi ke persamaan L + P = 32 maka P = 32 – L = 32 – 16 = 16. Jadi panjang dan lebar persegi panjang agar maksimum adalah P = 16 cm dan L = 16 cm. Jadi soal ini jawabannya D.

Related posts:

Fungsi Kuadrat Yang Sumbu Simetrinya Sumbu Y Adalah

Sumber: https://soalfismat.com/contoh-soal-fungsi-kuadrat-dan-pembahasannya/

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …