Faktor Persekutuan Dari 20 Dan 24 Adalah

Dalam matematika, khususnya teori bilangan, faktor persekutuan terbesar atau dikenal juga sebagai persekutuan bilangan terbesar (dilambangkan

$$


FPB


{\displaystyle \operatorname {FPB} }

^[1]
atau

$$


PBT


{\displaystyle \operatorname {PBT} }

^[2]
dalam bahasa Indonesia, dan

$$


gcd


{\displaystyle \gcd }

dalam bahasa Inggris, abreviasi dari kata
greatest common divisor
^[3]) terhadap bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat. Sebagai contoh, diberikan bilangan bulat

$$


12


{\displaystyle 12}

dan

$$


20


{\displaystyle 20}

. Maka,

$$


FPB
⁡


(
12
,
20
)
=
4


{\displaystyle \operatorname {FPB} (12,20)=4}

. Mengenai cara-cara dan metode akan dijelaskan di bawah.

Gagasan faktor persekutuan terbesar dapat diperluas melalui polinomial, lihat faktor persekutuan terbesar polinomial atau persekutuan bilangan terbesar polinomial untuk melihat lebih lanjut.

Notasi

[sunting
|
sunting sumber]

Untuk

$$


a


{\displaystyle a}

dan

$$


b


{\displaystyle b}

bilangan bulat sembarang, notasi faktor persekutuan terbesar dinotasikan sebagai

$$


FPB
⁡


(
a
,
b
)


{\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b)}

atau

$$


PBT
⁡


(
a
,
b
)


{\displaystyle \operatorname {PBT} (a,b)}

. Dalam versi bahasa Inggris, dinotasikan sebagai

$$


gcd
(
a
,
b
)


{\displaystyle \gcd(a,b)}

atau

$$


GCD
⁡


(
a
,
b
)


{\displaystyle \operatorname {GCD} (a,b)}

. Ada beberapa penulisan notasi faktor persekutuan terbesar, yaitu

$$



g
.
c
.
d

⁡


(
a
,
b
)


{\displaystyle \operatorname {g.c.d} (a,b)}

atau

$$


(
a
,
b
)


{\displaystyle (a,b)}

.^[4]

Definisi

[sunting
|
sunting sumber]

Misalkan

$$


a


{\displaystyle a}

dan

$$


b


{\displaystyle b}

adalah dua bilangan bulat yang diberikan. Misalkan

$$


d


{\displaystyle d}

membagi

$$


a


{\displaystyle a}

dan

$$


b


{\displaystyle b}

dan

$$


d


{\displaystyle d}

bilangan asli terbesar, maka faktor persekutuan terbesar terhadap bilangan bulat

$$


a


{\displaystyle a}

dan

$$


b


{\displaystyle b}

adalah^[5]

$$


FPB
⁡


(
a
,
b
)
=
d


{\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b)=d}

.

Lebih umumnya lagi, untuk sebarang bilangan bulat

$$



a

1


,
…


,

a

n




{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}

dan

$$


d


{\displaystyle d}

bilangan asli terbesar yang membagi

$$



a

1


,
…


,

a

n




{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}

, maka faktor persekutuan terbesarnya adalah^[4]

$$


FPB
⁡


(

a

1


,
…


,

a

n


)
=
d


{\displaystyle \operatorname {FPB} (a_{1},\dots ,a_{n})=d}

.

Sifat

[sunting
|
sunting sumber]

Bagian ini memerlukan pengembangan. Anda dapat membantu dengan mengembangkannya.

Berikut adalah sifat-sifat faktor persekutuan terbesar, antara lain:

• Untuk sebarang bilangan bulat positif
  
  
  $$
  
  
  a
  ,
  b
  ,
  d
  
  
  {\displaystyle a,b,d}
  
  

  
  
  , bila
  
  

  $$
  
  
  d
  
  
  {\displaystyle d}
  
  

  
  
  
  membagi
  
  

  $$
  
  
  a
  
  
  {\displaystyle a}
  
  

  
  
  
  dan
  
  

  $$
  
  
  b
  
  
  {\displaystyle b}
  
  

  
  
  , maka
  
  

  $$
  
  
  d
  ∣
  
  
  FPB
  ⁡
  
  
  (
  a
  ,
  b
  )
  
  
  {\displaystyle d\mid \operatorname {FPB} (a,b)}
  
  

  
  
  .

• Untuk sebarang bilangan bulat positif
  
  
  $$
  
  
  a
  ,
  b
  
  
  {\displaystyle a,b}
  
  

  
  
  ,
  
  

  $$
  
  
  FPB
  ⁡
  
  
  (
  a
  ,
  b
  )
  =
  b
  
  
  {\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b)=b}
  
  

  
  
  
  jika dan hanya jika
  
  

  $$
  
  
  b
  ∣
  
  
  a
  
  
  {\displaystyle b\mid a}
  
  

  
  
  .

• Untuk sebarang bilangan bulat positif
  
  
  $$
  
  
  a
  ,
  b
  ,
  d
  
  
  {\displaystyle a,b,d}
  
  

  
  
  ,
  
  

  $$
  
  
  FPB
  ⁡
  
  
  (
  a
  d
  ,
  b
  d
  )
  =
  d
  ⋅
  
  
  FPB
  ⁡
  
  
  (
  a
  ,
  b
  )
  
  
  {\displaystyle \operatorname {FPB} (ad,bd)=d\cdot \operatorname {FPB} (a,b)}
  
  

  
  
  .

• 
  
  $$
  
  
  FPB
  ⁡
  
  
  (
  a
  ,
  
  )
  =
  FPB
  ⁡
  
  
  (
  
  ,
  a
  )
  =
  
  |
  
  a
  
  |
  
  
  
  {\displaystyle \operatorname {FPB} (a,0)=\operatorname {FPB} (0,a)=|a|}
  
  

  
  
  , sifat ini sangat penting dalam kalkulasi algoritme Euklides

Contoh

[sunting
|
sunting sumber]

Terdapat cara sederhana mengenai pencarian suatu faktor persekutuan terbesar terhadap dua bilangan. Sebagai contoh, kita ambil contoh bilangan bulat di atas sebelumnya, yakni

$$


12


{\displaystyle 12}

dan

$$


20


{\displaystyle 20}

. Untuk mengetahui mengapa

$$


FPB
⁡


(
12
,
20
)
=
4


{\displaystyle \operatorname {FPB} (12,20)=4}

, kita perhatikan faktor-faktor dari kedua bilangan di bawah ini.

• Faktor dari
  
  
  $$
  
  
  12
  
  
  {\displaystyle 12}
  
  

  
  
  
  adalah
  
  

  $$
  
  
  1
  ,
  2
  ,
  3
  ,
  
  
  
  4
  
  
  
  ,
  6
  ,
  12
  
  
  {\displaystyle 1,2,3,{\color {red}{4}},6,12}
  
  

  
  
  

• Faktor dari
  
  
  $$
  
  
  20
  
  
  {\displaystyle 20}
  
  

  
  
  
  adalah
  
  

  $$
  
  
  1
  ,
  2
  ,
  
  
  
  4
  
  
  
  ,
  5
  ,
  10
  ,
  20
  
  
  {\displaystyle 1,2,{\color {red}{4}},5,10,20}
  
  

  
  
  

Karena faktor persekutuan terbesar dua bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat, maka kita simpulkan

$$


FPB
⁡


(
12
,
20
)
=
4


{\displaystyle \operatorname {FPB} (12,20)=4}

. Terdapat cara lain untuk mengerjakan ini.

Pohon faktor

[sunting
|
sunting sumber]

Sebagai contoh, tinjau kedua bilangan di atas. Kita buatkan pohon faktor dari masing-masing bilangan:

        12         20              /\         /\             3  4       2  10               /\          /\              2  2        2  5
      

Kita memperoleh

$$


12
=




2

2





×


3


{\displaystyle 12={\color {red}{2^{2}}}\times 3}

dan

$$


20
=




2

2





×


5


{\displaystyle 20={\color {red}{2^{2}}}\times 5}

, maka,

$$


FPB
⁡


(
12
,
20
)
=

2

2




{\displaystyle \operatorname {FPB} (12,20)=2^{2}}

, di mana hasilnya adalah

$$


4


{\displaystyle 4}

.

Visualisasi geometri

[sunting
|
sunting sumber]

Ada cara lain untuk mengetahui faktor persekutuan terbesar, yaitu melalui visualisasi geometri. Sebagai contoh, pada gambar di samping kanan, kita memperoleh ubin dengan ukuran 24 kali 60. Ubin tersebut kita bagi lagi menjadi 1 kali 1, 2 kali 2, 3 kali 3, 4 kali 4, 6 kali 6, dan terbesarnya adalah 12 kali 12. Jadi, 12 merupakan faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 60, karena

$$





24
12



=
2


{\displaystyle {\tfrac {24}{12}}=2}

dan

$$





60
12



=
5


{\displaystyle {\tfrac {60}{12}}=5}

.

Koprima

[sunting
|
sunting sumber]

Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.^[4]

Penerapan

[sunting
|
sunting sumber]

Menyederhanakan pecahan

[sunting
|
sunting sumber]

Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan^[6]. Sebagai contoh, tinjau pecahan

$$




4
8




{\displaystyle {\frac {4}{8}}}

. Kita dapat sederhanakan pecahan ini dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari

$$


4


{\displaystyle 4}

dan

$$


8


{\displaystyle 8}

adalah

$$


FPB
⁡


(
4
,
8
)
=
2


{\displaystyle \operatorname {FPB} (4,8)=2}

. Kita tuliskan sebagai

$$




4
8


=



2
×


2


2
×


4



=


1
2




{\displaystyle {\frac {4}{8}}={\frac {2\times 2}{2\times 4}}={\frac {1}{2}}}

.

Kelipatan persekutuan terkecil

[sunting
|
sunting sumber]

Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.

$$


KPK
⁡


(
a
,
b
)
=



a
b


FPB
⁡


(
a
,
b
)





{\displaystyle \operatorname {KPK} (a,b)={\frac {ab}{\operatorname {FPB} (a,b)}}}

.^[7]

Algoritme Euklidean

[sunting
|
sunting sumber]

Cara lain untuk mencari
FPB
adalah dengan menggunakan algoritme Euklidean. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut:

• a₁
  = maximum(a,b)-minimum(a,b)

b₁
= minimum(a,b)

• a₂
  = maximum(a₁,b₁)-minimum(a₁,b₁)

b₂
= minimum(a₁,b₁)

.

.

.

• a_i
  = maximum(a_i-1,b_i-1)-minimum(a_i-1,b_i-1)

b_i
= minimum(a_i-1,b_i-1)

Algoritme tersebut berhenti hingga diperoleh a_i
= b_i.

FPB dari a dan b adalah a_i
= b_i.

Algoritme ini dapat lebih jauh disederhanakan lagi dengan pembagian Euklidean, yang dideskripsikan sebagai berikut:

$$


gcd
(
a
,

)
=



{\displaystyle \gcd(a,0)=0}

$$


gcd
(
a
,
b
)
=
gcd
(
b
,
a


m
o
d


b
)


{\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,a\,\mathrm {mod} \,b)}

dengan

$$


a


m
o
d


b


{\displaystyle a\,\mathrm {mod} \,b}

adalah operasi modulus.

Pencarian algoritme Euklid dengan pembagian memerlukan sekitar

$$


O
(
log
⁡


(
min
(
a
,
b
)
)
)


{\displaystyle O(\log(\min(a,b)))}

pembagian.

Lihat pula

[sunting
|
sunting sumber]

• Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Rujukan

[sunting
|
sunting sumber]

1. 
   ^
   
   
   Itsnaini, Faqihah Muharroroh. “Apa Perbedaan KPK dan FPB? Ini Penjelasannya”.
   detikedu
   . Diakses tanggal
   2021-11-14
   .
   
   
   
   
2. 
   ^
   
   Suci Yuniati, MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN MENGGUNAKAN METODE “PEBI”, hlm. 158
3. 
   ^
   
   
   “Definition of greatest common divisor | Dictionary.com”.
   www.dictionary.com
   (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal
   2021-11-14
   .
   
   
   
   
4. ^
   
   
   <sup>a
   
   
   
   
   b
   
   
   
   
   c</sup>
   
   
   
   
   Weisstein, Eric W. “Greatest Common Divisor”.
   mathworld.wolfram.com
   (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal
   2021-11-20
   .
   
   
   
   
5. 
   ^
   
   
   “8.1: The Greatest Common Divisor”.
   Mathematics LibreTexts
   (dalam bahasa Inggris). 2017-09-20. Diakses tanggal
   2021-11-21
   .
   
   
   
   
6. 
   ^
   
   
   “Greatest Common Factor”.
   www.mathsisfun.com
   . Diakses tanggal
   2021-11-21
   .
   
   
   
   
7. 
   ^
   
   
   Weisstein, Eric W. “Least Common Multiple”.
   mathworld.wolfram.com
   (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal
   2021-11-21
   .