Dua Buah Planet Yaitu P Dan Q Mengorbit Matahari

BAB II

HUKUM NEWTON TENTANG GRAVITASI

PILIHAN GANDA

1. Tetapkan gravitasi G memiliki satuan-satuan dasar SI yaitu ….

1. 1. m³s^-2kg^-1
   2. m^-3s²kg^-1
   3. m³s^-2
   4. m^-3s^-2
   5. m²s^-2kg^-1

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

Gravitasi

Ditanyakan :

Satuan SI ?

Jawaban :

​\( G=\frac { F.{ r }^{ 2 } }{ m.M } \\ G=\frac { N.㎡ }{ ㎏.㎏ } \\ G=\frac { ㎏.㎨.㎡ }{ { ㎏ }^{ 2 } } \\ G=㎥{ s }^{ -2 }{ ㎏ }^{ -1 } \)​

2. Dua bola timah identik dengan jari-jari r bersentuhan dan tarik-menarik dengan gaya gravitasi F (lihat Gambar a). Gaya gravitasi antara dua bola timah sejenis dengan jari-jari 3r (lihat Gambar b) adalah ….

1. 1. 1/9 F
   2. 1/3 F
   3. 3F
   4. 27 F
   5. 81 F

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

Jari-jari = r dan 3r

Gaya = F

Ditanyakan :

Gaya pada b=?

Jawaban :

​\( F=\frac { G.m1.m2 }{ { r }^{ 2 } } \\ F1=\frac { G.m1.m2 }{ { \left( 3r \right) }^{ 2 } } \\ F1=\frac { 1 }{ 9 } .\frac { G.m1.m2 }{ { r }^{ 2 } } \\ F1=\frac { 1 }{ 9 } .F \)​

3. Massa planet A sekitar 4 kali massa planet B dan jarak antar pusat planet A ke planet B adalah R. Suatu benda uji bermassa M yang berada pada jarak r dari pusat planet A dan garis lurus yang menghubungkan kedua planet memiliki gaya gravitasi nol. Jarak r tersebut adalah …. R (SNMPTN 2008)

1. 1. 0,25
   2. 0,5
   3. 2/3
   4. 0,75
   5. 0,8

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Massa A = 4Massa b

Jarak = R

Benda uji bermassa M

Jarak benda = r

Ditanyakan :

r =?

Jawaban :

​\( ma=4mb\\ F1=\frac { G.ma.m }{ { r }^{ 2 } } \\ F2=\frac { G.mb.m }{ { \left( R-r \right) }^{ 2 } } \\ F1=F2\\ \frac { G.ma.m }{ { r }^{ 2 } } =\frac { G.mb.m }{ { \left( R-r \right) }^{ 2 } } \\ \frac { 4 }{ { r }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { \left( R-r \right) }^{ 2 } } \\ { \left( \frac { R-r }{ r } \right) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } \\ \frac { R-r }{ r } =\frac { 1 }{ 2 } \\ R-r=\frac { r }{ 2 } \\ R=r+\frac { r }{ 2 } \\ R=\frac { 3 }{ 2 } r\\ r=\frac { 2 }{ 3 } R \)​

4. Dua buah planet berbentuk bola mempuyai rapat massa rata-rata sama, sedangkan jari-jari R₁dan R₂. Perbandingan medan gravitasi pada permukaan planet pertama terhadap medan gravitasi pada permukaan planet kedua adalah … (SNMPTN 2005)

1. 1. R₁
      : R₂
   2. R₂
      : R₁
   3. R₁
      ²
      : R₂
      ²
   4. R₂
      ²
      : R₁
      ²
   5. ​\( \sqrt { { R }1 } :\sqrt { { R }2 } \)​

Jawaban :

Jawaban : D

Diketahui :

Rapat massa sama

Jari -jari = R1 dan R2

Ditanyakan :

Perbandingan medang gravitasi =?

Jawaban :

​\( \frac { { g }_{ 1 } }{ { g }_{ 2 } } =\frac { G.m1/{ r1 }^{ 2 } }{ G.m2/{ r2 }^{ 2 } } \\ \frac { { g }_{ 1 } }{ { g }_{ 2 } } =\frac { { r2 }^{ 2 } }{ r1^{ 2 } } \)​

5. Sebuah bintang yang baru terbentuk memiliki kerapatan ρ, sedangkan jari-jari R_­
   dan percepatan gravitasi  pada permukaan sebesar g. Dalam perkembangannya, bintang tersebut mengembang higga memiliki kerapatan ρ₁
   = 0,75ρ dan jari-jari R₁
   = 1,25R. percepatan gravitasi di permukaannya pada keadaan tersebut adalah …. (SNMPTN 2007)

1. 1. 9/25 g
   2. 18/25 g
   3. 9/16 g
   4. 15/16 g
   5. g

Jawaban :

Jawaban : D

Diketahui :

Kerapatan = ρ

Jari – jari  = R

Gravitasi = g

ρ₁
= 0,75ρ

jari-jari R₁
= 1,25R

Ditanyakan :

Percepatan gravitasi ?

Jawaban :

​\( { g }_{ 2 }=G.\frac { m2 }{ { { r }_{ 2 } }^{ 2 } } \\ { g }_{ 2 }=\frac { G.\left( 0,75 \right) .{ \left( 1,25 \right) }^{ 3 }.m1 }{ { \left( 1,25 \right) }^{ 2 }{ R }^{ 2 } } \\ { g }_{ 2 }=\left( 0,75 \right) .\left( 1,25 \right) \frac { G.m1 }{ { R }^{ 2 } } \\ { g }_{ 2 }=\frac { 3 }{ 4 } .\frac { 5 }{ 4 } g\\ { g }_{ 2 }=\frac { 15 }{ 16 } g \)​

6. Sebuah satelit bumi yang sedang mengorbit dalam suatu orbit melingkar berpindahan ke orbit melingkar lain yang jari-jari orbitnya lebih besar. Besaran berikut yang dimiliki satelit akan bertambah besarnya karena perpindahan ke orbit baru adalah ….

1. 1. gaya gravitasi
   2. potensial gravitasi
   3. percepatan gravitasi
   4. kecepatan sudut
   5. kecepatan linear singgung

Jawaban :

Jawaban : E

Diketahui :

Satelit bumi mengorbit melingkar

Ditanyakan :

Besaran yang bertambah =?

Jawaban :

Gaya Gravitasi

F = G Mm / r²

Maka, jika r lebih besar, maka nilai F akan semakin kecil

Potensial Gravitasi

V = Ep / m

V = -G M / r

Maka, jika r bertambah besar, maka nilai V akan semakin kecil

Percepatan Gravitasi

g = GM / R²

Jadi, jika R semakin besar, maka nilai g akan semakin kecil

Kecepatan sudut

vs = √GM / R

Jadi, jika R semakin besar, maka nilai vs akan semakin kecil

Kecepatan linier singgung

v = vs . R

v = √GM

Jadi, Jika R semakin besar, maka kecepatan linier singgung akan bertambah besar

7. Grafik berikut yang terbaik menampilkan variasi potensial gravitasi V dari permukaan bumi (Bm) ke permukaan bulan (Bl) adalah ….

1. 1. 
   2. 
   3. 
   4. 
   5. 

Jawaban :

Jawaban : E

Diketahui :

Grafik gravitasi V dari permukaan bumi (Bm) ke permukaan bulan (Bl)

Ditanyakan :

Grafik yang benar =?

Jawaban :

Potensial gravitasi v = G.M/R.

Potensial berbanding terbalik dengan jarak, artinya ketika jaraknya semakin besar, potensial semakin kecil

8. Perhatikan hal – hal berikut ini :

• 1. Kecepatan bumi mengelilingi matahari
  2. Berubah-ubah
  3. Paling cepat saat bumi paling dekat ke matahari
  4. Paling lambat saat bumi paling jauh dari matahari
  5. Konstan

Pernyataan di atas yang paling benar adalah ….

(SNMPTN 2000)

1. 1. (1), (2), dan (3)
   2. (1) dan (3)
   3. (2) dan (4)
   4. (4) saja
   5. semuanya benar

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

1. Kecepatan bumi mengelilingi matahari
2. Berubah-ubah
3. Paling cepat saat bumi paling dekat ke matahari
4. Paling lambat saat bumi paling jauh dari matahari
5. Konstan

Ditanyakan :

Pernyataan yang benar =?

Jawaban :

(1), (2), dan (3)

Orbit bumi tidak berbentuk lingkaran sempurna, melainkan elips. Bumi bergerak lebih cepat pada saat jaraknya dengan matahari dekat, dan akan bergerak lebih lambat saat jaraknya dengan matahari menjauh. Membuat orbit lingkaran, maka perlu sistem tata surya yang sangat- sangat stabil, tidak ada gangguan sama sekali.

9. Dua satelit berada pada orbitnya mengitari suatu planet. Suatu satelit memiliki orbit dengan jari-jari 8,0 x 10⁶
   Periode orbit untuk satelit ini adalah 1,0 x 10⁶
   s. Satelit lainnya memiliki orbit dengan jari-jari 2,0 x 10⁷
   m. periode orbit untuk satelit ini adalah ….

1. 1. 5,0 x 10⁵
      s
   2. 2,5 x 10⁵
      s
   3. 4,0 x 10⁵
      s
   4. 1,3 x 10⁵
      s
   5. 6,0 x 10⁵
      s

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

Jari-jari 1 = 8,0 x 10⁶

Periode 1 = 1,0 x 10⁶
s

Jari-jari 2 = 2,0 x 10⁷
m

Ditanyakan :

Periode 2 =?

Jawaban :

​\( \frac { { T1 }^{ 2 } }{ { r1 }^{ 3 } } =\frac { { T2 }^{ 2 } }{ { r2 }^{ 3 } } \\ \frac { { \left( { 10 }^{ 6 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( 8.{ 10 }^{ 6 } \right) }^{ 3 } } =\frac { { T2 }^{ 2 } }{ { \left( 2.{ 10 }^{ 7 } \right) }^{ 3 } } \\ \frac { { 10 }^{ 12 } }{ 512\times { 10 }^{ 18 } } =\frac { { T2 }^{ 2 } }{ 8\times { 10 }^{ 21 } } \\ { T2 }^{ 2 }=\frac { 8\times { 10 }^{ 18 }\times { 10 }^{ 12 } }{ 512\times { 10 }^{ 18 } } \\ { T2 }=3,95\times { 10 }^{ 6 }s\\ { T2 }=4\times { 10 }^{ 6 }s \)​

10. Ketika sebuah satelit berada 10⁶
    m dari bulan, periode orbitnya adalah 25 menit. Ketika planet itu turun ke orbit yang rendah 1,6 x 10⁵
    m, periode barunya adalah ….

1. 1. 36 sekon
   2. 54 sekon
   3. 72 sekon
   4. 84 sekon
   5. 96 sekon

Jawaban :

Jawaban : E

Diketahui :

r1 = 10⁶
m

r1 = 1,6 x 10⁵
m

T1  = 25 menit = 1500 s

Ditanyakan :

T2=?

Jawaban :

​\( \frac { { T1 }^{ 2 } }{ { r1 }^{ 3 } } =\frac { { T2 }^{ 2 } }{ { r2 }^{ 3 } } \\ \frac { { 1500 }^{ 2 } }{ { \left( { 10 }^{ 6 } \right) }^{ 3 } } =\frac { { T2 }^{ 2 } }{ { \left( 1,6.{ 10 }^{ 5 } \right) }^{ 3 } } \\ { T2 }^{ 2 }=\frac { { \left( 1500 \right) }^{ 2 }\times { \left( { 1,6.10 }^{ 5 } \right) }^{ 3 } }{ { \left( { 10 }^{ 6 } \right) }^{ 3 } } \\ { T2 }=9,21\times { 10 }^{ 1 }s\\ { T2 }=96s \)​

11. Planet A dan B masing-masing berjarak rata-rata sebesar p dan q terhadap matahari. Planet A mengitari matahari dengan periode T. jika p = 4 q,maka B mengitari matahari dengan periode sebesar ….

1. 1. 1/12 T
   2.  1/10 T
   3.  1/8 T
   4. 1/6 T
   5. 1/4 T

Jawaban :

Jawaban : C

Diketahui :

R_A              = p

R_B
            = q

p                = 4q

T_A              = T

Ditanyakan :

T_B
= ?

Jawaban :

​\( \frac { { TA }^{ 2 } }{ { rA }^{ 3 } } =\frac { { TB }^{ 2 } }{ { rB }^{ 3 } } \\ \frac { { T }^{ 2 } }{ { p }^{ 3 } } =\frac { { TB }^{ 2 } }{ { q }^{ 3 } } \\ \frac { { T }^{ 2 } }{ { \left( 4q \right) }^{ 3 } } =\frac { { TB }^{ 2 } }{ { q }^{ 3 } } \\ \frac { { T }^{ 2 } }{ { 64q }^{ 3 } } =\frac { { TB }^{ 2 } }{ { q }^{ 3 } } \\ { TB }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 64 } { T }^{ 2 }\\ { TB }=\frac { 1 }{ 8 } T \)​

12. Dua buah planet P dan Q mengorbit matahari. Apabila perbandingan antara jarak planet P dan planet Q ke matahari adalah 4: 9 dan periode planet P mengelilingi matahari 24 hari, maka periode planet planet Q mengelilingi matahari adalah …. (SNMPTN 2002)

1. 1. 51 hari
   2. 61 hari
   3.  71 hari
   4.  81 hari
   5. 91 hari

Jawaban :

Jawaban :

Diketahui :

T_P
/ T_Q
= 4 / 9

T_P
= 24 hari

Ditanyakan :

T_Q
=?

Jawaban :

​\( { \left( \frac { Tp }{ Tq } \right) }^{ 2 }={ \left( \frac { Rp }{ Rq } \right) }^{ 3 }\\ \frac { { 24 }^{ 2 } }{ { Tq }^{ 2 } } ={ \left( \frac { 4 }{ 9 } \right) }^{ 3 }\\ \frac { 576 }{ { Tq }^{ 2 } } =\frac { 64 }{ 729 } \\ { Tq }^{ 2 }=\frac { 576.729 }{ 64 } \\ { Tq }^{ 2 }=6561\\ { Tq }=\sqrt { 6561 } \\ Tq=81hari \)​

13. Sebuah satelit mengorbit bumi yang memiliki jari-jari R. grafik yang menampilkan kelajuan v dari satelit terhadap r, jarak satelit kepusat bumi adalah ….

1. 1. 
   2. 
   3. 
   4. 
   5. 

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

Jari-jari = R

Kelajuan = v

Ditanyakan :

Grafik yang benar =?

Jawaban :

Satelit mengorbit bumi pada jarak R dinyatakan sebagai :

​\( V=\sqrt { \frac { G.M }{ R } } \)​

Sehingga grafik yang tepat adalah a.

14. Sebuah satelit bumi mengorbit setinggi 3600 km di atas permukaan bumi. Jika jari-jari bumi 6400 km, dan gerak satelit di anggap melingkar beraturan, maka kelajuannya (dalam km/s) adalah ….

1. 1. 6,4
   2. 64
   3. 640
   4. 6400
   5. 64000

Jawaban :

Jawaban : A

Diketahui :

r_bumi
= 6400 km

r_satelit
= (6400 + 3600)

r_satelit
= 10000 km

Ditanyakan :

Kelajuan =?

Jawaban :

​\( { a }_{ satelit }={ \left( \frac { { r }_{ bumi } }{ { r }_{ satelit } } \right) }^{ 2 }\times { g }_{ bumi }\\ { v }_{ satelit }={ \left( \frac { { r }_{ bumi } }{ { r }_{ satelit } } \right) }^{ 2 }\times { g }_{ bumi }\times { r }_{ satelit }\\ { v }_{ satelit }={ \left( \frac { 6400 }{ 10000 } \right) }^{ 2 }\times 0,01\times 10000\\ { v }_{ satelit }=6,4km/s \)​

15. Dua buah satelit A dan B mengorbit sebuah planet yang sama dengan jari-jari orbitnya masing-masing berurutan R dan 2R. Jika kecepatan orbit satelit A adalah v maka kecepatan orbit satelit B adalah …. (UM-UGM 2008)

1. 1. v
   2. ​\( \sqrt { 2 } \)​v
   3. ​\( \frac { v }{ \sqrt { 2 } } \)​
   4. 2v
   5. ​\( 2\sqrt { 3 } \)​v

Jawaban :

Jawaban : B

Diketahui :

Jari – jari A = R

Jari – jari B = 2R

Kecepatan A = A

Ditanyakan :

Kecepatan B =?

Jawaban :

​\( { V }_{ A }=\sqrt { g.{ R }_{ A } } \\ { V }_{ A }=\sqrt { g.{ R } } \\ { V }_{ A }=V\\ { V }_{ B }=\sqrt { g.2R } \\ { V }_{ B }=\sqrt { 2gR } \\ { V }_{ B }=\sqrt { 2 } v \)​

ESAI

Kerjakan soal-soal berikut di buku latihan anda. Jika diperlukan ambil G = 6,7 x 10
^-11
Nm²/kg²
; g = 10 m/s²

Hukum Gravitasi Umum Newton

1. Dua bola jarak antar pusatnya adalah 2,0 m seperti ditunjukan pada gambar. Bola satu massanya 6,0 kg dan bola lainnya 4,0 kg. Berapa gaya gravitasi diantara kedua bola ini ?

Diketahui :

Jarak antar pusat = 2m

Massa bola = 6 kg dan 4 kg

Ditanyakan :

Gravitasi antar bola =?

Jawaban :

​\( F=\frac { G.m1.m2 }{ { r }^{ 2 } } \\ F=\left( 6,7\times { 10 }^{ -11 } \right) \frac { 6.4 }{ { 2 }^{ 2 } } \\ F=\frac { 160,8\times { 10 }^{ -11 } }{ 4 } \\ F=40,2\times { 10 }^{ -11 }N \)​

2. Explorer 38, sebuah satelit peneliti radio astronomi yang bermassa a kg, mengitari Bumi dalam-suatu orbit yang berjari-jariR dimana R adalah jari-jari bumi. Anggap gaya gravitasi pada massa 1 kg di permukaan Bumi adalah 10 N. Hitunglah gaya gravitasi pada satelit itu.

Diketahui :

m = a kg

r = 3/2 R

Massa 1 kg, gravitasi = 10 N

Ditanyakan :

Gravitasi pada satelit = ?

Jawaban :

​\( { g }_{ satelit }={ \left( \frac { { r }_{ bumi } }{ { r }_{ satelit } } \right) }^{ 2 }{ g }_{ bumi }\\ { g }_{ satelit }={ \left( \frac { R }{ \frac { 3 }{ 2 } R } \right) }^{ 2 }\times 10\\ { g }_{ satelit }=\frac { 4 }{ 9 } .10\\ { g }_{ satelit }=4,44㎨\\ F=g.m\\ F=4,44aN \)​​

3. Dua buah partikel bermassa 0,20 kg dan 0,30 kg terpisah sejauh 0,15 m. Partikel ketiga yang bermassa 0,050 kg di letakkan di antara keduanya dan pada garis hubung kedua partikel itu. Hitung :

1. 1. Gaya grativasi yang bekerja pada partikel ketiga jika pertikel itu di letakan 0,005 m dari benda bermassa 0,30 kg
   2. Dimanakah di antara garis hubung tersebut partikel ketiga harus di letakkan agar gaya gravitasi tidak bekerja pada partikel itu ?

Diketahui :

Massa partikel = 0,2 kg; 0,3; dan 0,05 kg

Jarak = 0,15 m

Ditanyakan :

1. Gaya grativasi yang bekerja pada partikel ketiga jika pertikel itu di letakan 0,005 m dari benda bermassa 0,30 kg
2. Dimanakah di antara garis hubung tersebut partikel ketiga harus di letakkan agar gaya gravitasi tidak bekerja pada partikel itu ?

Jawaban :

Jika q = 0,005 , maka p = 0,15 – 0,005 = 0,145 m

Jawaban a :

​\( F3=F13+F23\\ F3=-\frac { G.m1.m3 }{ { p }^{ 2 } } +\frac { G.m2.m3 }{ { q }^{ 2 } } \\ F3=G\left( \frac { m2.m3 }{ { q }^{ 2 } } -\frac { G.m1.m3 }{ { p }^{ 2 } } \right) \\ F3=6,7\times { 10 }^{ -11 }\left( \frac { 0,3.0,05 }{ { \left( 0,005 \right) }^{ 2 } } -\frac { 0,2.0,05 }{ { \left( 0,145 \right) }^{ 2 } } \right) \\ F3=6,7\times { 10 }^{ -11 }\left( 600+0,48 \right) \\ F3=4,023\times { 10 }^{ -8 }N \)​

Jawaban b :

​\( F13=F23\\ \frac { G.m1.m3 }{ { p }^{ 2 } } =\frac { G.m2.m3 }{ { \left( 0,15-p \right) }^{ 2 } } \\ \frac { 0,2.0,05 }{ { p }^{ 2 } } =\frac { 0,3.0,05 }{ 0,0225-{ p }^{ 2 } } \\ 0,01\left( 0,0225-{ p }^{ 2 } \right) =0,015{ p }^{ 2 }\\ 225\times { 10 }^{ -6 }-0,01{ p }^{ 2 }=0,015{ p }^{ 2 }\\ 225\times { 10 }^{ -6 }=0,025{ p }^{ 2 }\\ { p }^{ 2 }=95\times { 10 }^{ -3 } \)​

4. Hitung besar dan arah resultan gaya gravitasi yang bekerja pada benda bermassa m. Nyatakan jawaban dalam G, m, dan a.

Diketahui :

Massa = m

Ditanyakan :

Besar dan arah resultan gaya gravitasi =?

Jawaban :

​\( F1=F4=F14\\ F14=\frac { G.m.4m }{ { a }^{ 2 } } \\ F14=\frac { 4Gm^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \\ F2=F3=F23\\ F23=\frac { G.m.2m }{ { a }^{ 2 } } \\ F23=\frac { 2Gm^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \)​

​\( \sum { Fx= } \frac { 4Gm^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { 2Gm^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \\ \sum { Fx= } \frac { 2Gm^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \\ \sum { Fy= } \frac { 2Gm^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { 4Gm^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \\ \sum { Fy= } \frac { -2Gm^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \)​

​\( \sum { F= } \sqrt { { \sum { Fx } }^{ 2 }+{ \sum { Fy } }^{ 2 } } \\ \sum { F= } \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ \left( -2 \right) }^{ 2 } } \\ \sum { F= } \sqrt { 8 } F\\ \sum { F= } 2\sqrt { 2 } F \)​

​\( \tan { \theta =\frac { \sum { Fx } }{ \sum { Fy } } } \\ \tan { \theta =\frac { -2F }{ 2F } } \\ \tan { \theta =-1 } \\ \theta =-0,45° \)​

5. Tiga buah partikel di letakan di titik-titik sudut sebuah segitiga siku-siku. Hitung besar dan tangen arah resultan gaya gravitasi yang bekerja pada partikel bermassa m. Nyatakan jawaban anda dalam G, m dan a.

Diketahui :

Tiga partikel di titik – titik sudut sebuah segitiga siku – siku.

Ditanyakan :

Besar dan tangen arah resultan =?

Jawaban :

​\( { F }_{ qp }={ F }_{ pq }=G\frac { { m }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \\ { F }_{ po }={ F }_{ op }=G\frac { { 2m }^{ 2 } }{ { 3a }^{ 2 } } \\ { F }_{ oq }={ F }_{ qo }=\frac { 2G{ m }^{ 2 } }{ { 4a }^{ 2 } } \\ Titik\quad p={ F }_{ P } \)​

​\( { F }_{ P }=\sqrt { { { F }_{ op } }^{ 2 }+{ { F }_{ qp } }^{ 2 } } \\ { F }_{ P }=\sqrt { { \left( \frac { G{ 2m }^{ 2 } }{ { 3a }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { { Gm }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \right) }^{ 2 } } \\ { F }_{ P }=\sqrt { { \frac { { G }^{ 2 }{ 4m }^{ 4 } }{ { 9a }^{ 4 } } }+\frac { { G }^{ 2 }{ m }^{ 4 } }{ { a }^{ 4 } } } \\ { F }_{ P }=\sqrt { { \frac { { G }^{ 2 }{ 4m }^{ 4 } }{ { 9a }^{ 4 } } }+\left( \frac { 4 }{ 9 } +1 \right) } \\ { F }_{ P }=\frac { { G }{ m }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \left( \frac { 2 }{ 3 } +1 \right) \\ \tan { \theta } =\frac { { F }_{ op } }{ { F }_{ qp } } \\ \tan { \theta } =\frac { \frac { G2{ m }^{ 2 } }{ { 3a }^{ 2 } } }{ \frac { G{ m }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } \\ \tan { \theta } =\frac { 2 }{ 3 } \\ \theta =33,7° \)​

6. Dengan anggapan bahwa bulan berbentuk bola seragam yang jari-jarinya 1,7 x 10⁶
   m dan bermassa 7,3 x 10²²
   kg, hitunglah percepatan gravitasi di permukaan bulan.

Diketahui :

m      = 7,3 x 10²²
kg

R      = 1,7 x 10⁶
m

Ditanyakan :

Percepatan gravitasi =?

Jawaban :

​\( g=\frac { G.m }{ { R }^{ 2 } } \\ g=6,7\times { 10 }^{ -11 }\left( \frac { 7,3\times { 10 }^{ 22 } }{ \left( 1,7\times { 10 }^{ 6 } \right) ^{ 2 } } \right) \\ g=1,69㎨ \)​

7. Sebuah bola bermassa M memiliki jari-jari R/2. Tentukan percepatan gravitasi dan potensial gravitasi pada titik-titik P, Q dan T.

Diketahui :

Massa M = M

Jari – jari = R/2

Ditanyakan :

Percepatan dan potensial gravitasi =?

Jawaban :

​\( { g }_{ p }=\frac { Gm }{ { \left( \frac { R }{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ { g }_{ p }=\frac { 4Gm }{ { R }^{ 2 } } \\ { g }_{ q }=\frac { Gm }{ { R }^{ 2 } } \\ { g }_{ T }=\frac { Gm }{ { \left( \frac { 5R }{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ { g }_{ T }=\frac { 4Gm }{ { 25R }^{ 2 } } \)​

8. Jika percepatan gravitasi pada permukaan bumi adalah 10 m/s², berapakah percepatan gravitasi pada ketinggian R ( R = jari-jari bumi) di atas permukaan bumi ?

Diketahui :

g       = 10 m/s²

r        = R

h       = 3R / 2

Ditanyakan :

Percepatan gravitasi pada ketinggian R =?

Jawaban :

​\( r’=r+h\\ r’=5/2R\\ \frac { g’ }{ g } =\frac { \frac { Gm }{ \frac { 5R }{ 2 } } }{ \frac { Gm }{ { r }^{ 2 } } } \\ \frac { g’ }{ g } =\frac { { R }^{ 2 } }{ \frac { 25 }{ 4 } { R }^{ 2 } } \\ \frac { g’ }{ g } =\frac { 4 }{ 25 } \\ g’=\frac { 4 }{ 25 } g\\ g’=\frac { 4 }{ 25 } .10\\ g’=1,6㎨ \)​

9. Percepatan gravitasi di permukaan bumi adalah 9,8 m/s². Hitung percepatan gravitasi di permukaan planet yang memiliki :

1. 1. Massa sama dan jari-jari dua kali;
   2. Jari-jari sama dan massa jenis dua kali;
   3. Jari-jari setengah kali dan massa jenis dua kali.

Diketahui :

Gravitasi bumi = 9,8 m/s²

Ditanyakan :

Percepatan gravitasi planet yang :

1. Massa sama dan jari-jari dua kali = ?
2. Jari-jari sama dan massa jenis dua kali =?
3. Jari-jari setengah kali dan massa jenis dua kali =?

Jawaban :

Jawaban a :

​\( mp=mb\\ Rp=2Rb\\ \frac { gp }{ gb } =\frac { G.mp }{ { Rp }^{ 2 } } \times \frac { { Rb }^{ 2 } }{ G.mb } \\ gp=gb\times { \left( \frac { Rb }{ Rp } \right) }^{ 2 }\\ gp=\frac { 1 }{ 4 } \times 9,8\\ gp=2,45㎨ \)​

Jawaban b :

​\( Rp=Rb\\ \rho p=2\rho p\\ \frac { mp }{ R{ p }^{ 3 } } =2\frac { { mb } }{ R{ b }^{ 3 } } \\ \frac { mp }{ mb } =\frac { 2{ R{ p }^{ 3 } } }{ R{ b }^{ 3 } } \\ \frac { mp }{ mb } =2\\ gp=gb\times \frac { G.mp }{ { rp }^{ 2 } } \times \frac { { rb }^{ 2 } }{ G.mb } \\ gp=2gb\\ gp=2.9,8\\ gp=19,6㎨ \)​

Jawaban c :

​\( Rp=\frac { 1 }{ 2 } Rb\\ \frac { mp }{ R{ p }^{ 3 } } =2\frac { { mb } }{ R{ b }^{ 3 } } \\ \frac { mp }{ mb } =\frac { 2{ R{ p }^{ 3 } } }{ R{ b }^{ 3 } } \\ \frac { mp }{ mb } =2{ \left( \frac { \frac { 1 }{ 2 } Rb }{ Rb } \right) }^{ 3 }\\ \frac { mp }{ mb } =\frac { 1 }{ 4 } \\ gp=gb\times \frac { G.mp }{ { rp }^{ 2 } } \times \frac { { rb }^{ 2 } }{ G.mb } \\ gp=gb\times \frac { mp }{ mb } \times { \left( \frac { Rb }{ Rp } \right) }^{ 2 }\\ gp=\frac { 1 }{ 4 } \times { \left( \frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) }^{ 2 }\times gb\\ gp=gb=9,8㎨ \)​

10. Pada ketinggian berapa, di atas permukaan bumi, percepatan gravitasi akan berkurang;

1. 1. 1 persen dibandingkan dengan permukaan bumi;
   2. 5 persen dibandingkan dengan permukaan bumi?

Diketahui :

Gravitasi dan ketinggian di atas permukaan bumi.

Ditanyakan :

Pada ketinggian berapa, percepatan gravitasi berkurang terhadap :

1. 1 persen dibandingkan dengan permukaan bumi;
2. 5 persen dibandingkan dengan permukaan bumi?

Jawaban :

Jawaban a :

​\( \frac { ga-gb }{ ga } \times 100%=1%\\ \frac { GM\left( \frac { 1 }{ { R }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { \left( R+h \right) }^{ 2 } } \right) }{ GM\frac { 1 }{ { R }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 100 } \\ \frac { 1 }{ { R }^{ 2 } } =100\left( \frac { 1 }{ { R }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { \left( R+h \right) }^{ 2 } } \right) \\ h=\frac { 5 }{ 995 } \\ R=\frac { 1 }{ 199 } \)​

Jawaban b :

​\( \frac { ga-gb }{ ga } \times 100%=5%\\ \frac { 100 }{ { \left( R+h \right) }^{ 2 } } =\frac { 95 }{ { R }^{ 2 } } \\ h=\frac { 1 }{ 39 } R\) \)​

11. Gunakan informasi dalam table di bawah ini untuk menghitung :

1. 1. Kuat medan gravitasi bumi pada bulan.
   2. Jarak dari permukaan bumi ke titik antara bumi dan bulan dimana kuat medan gravitasi di titik tersebut akibat bumi dan bulan adalah nol. Jarak bumi-bulan adalah 3,8 x 10⁸
      m
   3. Tentukan potensial gravitasi di titik pada soal (b) di mana medan gravitasinya nol.

	Kuat medan gravitasi di permukaan ( Nkg-1)	Jari-jari (km)
Bumi	9,8	6400
Bulan	1,6	1600

Diketahui :

Kuat medan bumi dan bulan

Jari – jari bumi dan bulan

Ditanyakan :

1. Kuat medan gravitasi bumi pada bulan.
2. Jarak dari permukaan bumi ke titik antara bumi dan bulan dimana kuat medan gravitasi di titik tersebut akibat bumi dan bulan adalah nol. Jarak bumi-bulan adalah 3,8 x 10⁸
   m
3. Tentukan potensial gravitasi di titik pada soal (b) di mana medan gravitasinya nol.

Jawaban :

Jawaban a :

​\( g=\frac { G.Mbumi }{ { R }^{ 2 } } \\ g=\frac { 6,7\times { 10 }^{ -11 }\times 6\times { 10 }^{ 24 } }{ { \left( 3,8\times { 10 }^{ 8 } \right) }^{ 2 } } \\ g=2,8\times { 10 }^{ -3 }㎨ \)​

Jawaban b :

​\( G\frac { Mbumi }{ { r }^{ 2 } } =G\frac { Mbulan }{ { \left( R-r \right) }^{ 2 } } \\ \frac { 6\times { 10 }^{ 24 } }{ { r }^{ 2 } } =\frac { 6,1\times { 10 }^{ 22 } }{ \left( 3,8\times { 10 }^{ 8 }-r \right) ^{ 2 } } \\ r=3,4\times { 10 }^{ 8 }m㎨ \)​

Jawaban c :

​\( V=-G\left( \frac { Mbumi }{ { r } } +\frac { Mbulan }{ { \left( R-r \right) } } \right) \\ V=-6,7\times { 10 }^{ -11 }\left( \frac { 6\times { 10 }^{ 24 } }{ 3,4\times { 10 }^{ 8 } } +\frac { 6,1\times { 10 }^{ 22 } }{ 0,4\times { 10 }^{ 8 } } \right) \\ V=-1293\times { 10 }^{ 3 }J \)​

12. Soal :

1. 1. Hitung besar dan arah percepatan gravitasi dari suatu titik P yang terletak pada garis sumbu dari garis penghubung dua buah massa yang terpisah sejauh 2a, seperti ditunjukan pada gambar. Nyatakan jawaban anda dalam G, m dan a
   2. Hitunglah juga potensial gravitasi di titik P. Nyatakan dalam G, M dan a

Diketahui :

Titik P

Ditanyakan :

1. Besar dan arah percepatan gravitasi titik P=?
2. Potensial gravitasi titik P =?

Jawaban :

Jawaban a :

​\( r=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ \left( 2a \right) }^{ 2 } } \\ r=\sqrt { { 5a }^{ 2 } } \\ g=\frac { Gm }{ { 5a }^{ 2 } } \\ { \left( 2a \right) }^{ 2 }={ r }^{ 2 }+{ r }^{ 2 }-{ 2r }^{ 2 }\cos { \alpha } \\ { 4a }^{ 2 }={ r }^{ 2 }\left( 1+1-2\cos { \alpha } \right) \\ \cos { \alpha } =\frac { 6 }{ 10 } \)​

Jawaban b :

​\( \left| gp \right| =\sqrt { { g }^{ 2 }+{ g }^{ 2 }+2g.g\cos { \alpha } } \\ \left| gp \right| =\frac { 4 }{ 9 } g\sqrt { 5 } \\ \left| gp \right| =\frac { 4Gm }{ 25{ a }^{ 2 } } \sqrt { 5 } \)​

Gerak Planet

13. Dua planet P dan Q mengorbit matahari. Perbandingan antara periode revolusi planet P dan planet Q mengitari matahari 8 : 1. Apabila jarak planet Q ke matahari adalah 1,6 satuan astronomi, tentukan jarak planet P ke matahari.

Diketahui :

Perbandingan revolusi planet P dan Q = 8 : 1

Jarak planet Q ke matahari = 1,6 satuan astronomi

Ditanyakan :

Jarak planet P ke matahari =?

Jawaban :

​\( \frac { { Tp }^{ 2 } }{ { Rp }^{ 3 } } =\frac { { Tq }^{ 2 } }{ { Rq }^{ 3 } } \\ \frac { { \left( 8Tq \right) }^{ 2 } }{ { Rp }^{ 3 } } =\frac { { Tq }^{ 2 } }{ { \left( 1,6\mathring { A } \right) }^{ 3 } } \\ \frac { 64 }{ { Rp }^{ 3 } } =\frac { 1 }{ { \left( 1,6\mathring { A } \right) }^{ 3 } } \\ Rp=6,4\mathring { A } \)​

14. Dua planet P dan Q mengorbit matahari. Perbandingan antara jarak planet P dan planet Q ke matahari adalah 4 : 9. Apabila periode planet P mengelilingi matahari adalah 24 hari, tentukan periode planet Q.

Diketahui :

Perbandingan jarak planet P dan Q ke matahari = 4 : 9

Periode planet P mengelilingi matahari = 24 hari

Ditanyakan :

Periode planet Q = ?

Jawaban :

Rp : Rq = 4 : 9

Tp = 24 hari

​\( \frac { { Tq }^{ 2 } }{ { Rq }^{ 3 } } =\frac { { Tp }^{ 2 } }{ { Rp }^{ 3 } } \\ \frac { Tq }{ Tp } =\sqrt { \frac { { Rq }^{ 3 } }{ { \left( \frac { 4 }{ 9 } Rq \right) }^{ 3 } } } \\ \frac { Tq }{ Tp } =\sqrt { \frac { 729 }{ 64 } } \\ \\ \frac { Tq }{ Tp } =\frac { 27 }{ 8 } \\ Tq=\frac { 27 }{ 8 } Tp\\ Tq=\frac { 27 }{ 8 } .24\quad hari\\ Tq=51\quad hari \)​

15. Sebuah satelit komunikasi mengorbit bumi dengan periode 24 jam dalam orbit yang tampak stasioner ketika dilihat dari permukaan bumi. Orbitnya disebut orbit sinkronos karena satelit-satelit bergerak berkeliling pada laju yang sama dengan laju rotasi bumi. Gunakanlah hukum Kepler ketiga untuk menghitung ketinggian satelit komunikasi.

Diketahui :

Ts = 24 jam

Ditanyakan :

Ketinggian satelit komunikasi =?

Jawaban :

​\( k=\frac { { 4\pi }^{ 2 } }{ \left( 9,8 \right) \times { \left( 6,4\times { 10 }^{ 6 } \right) }^{ 2 } } \\ k={ 10 }^{ -13 }{ m }^{ -3 }/{ s }^{ 2 }\\ { r }^{ 3 }=\frac { { T }^{ 2 } }{ k } \\ { r }^{ 3 }=\frac { { \left( 86400 \right) }^{ 2 } }{ { 10 }^{ -13 } } \\ { r }^{ 3 }=\frac { 746496\times 10^{ 4 } }{ { 10 }^{ -13 } } \\ { r }^{ 3 }=746496{ \times 10 }^{ 17 }\\ r=421\times { 10 }^{ 5 }m\\ r=42100㎞ \)​

Ketinggian satelit dari permukaan bumi: 42100 – 6400 = 35700 km