Daerah Yang Diarsir Merupakan Penyelesaian Dari Pertidaksamaan

A.PENGERTIAN PROGRAM LINER

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimumdari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperolehdari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalampersoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsiobjektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakansistem pertidaksamaan linear.

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variable

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang peubah bebasnya berbentuk linear (pangkat satu). Kalian tentu masih ingat bentuk-bentuk di bawah ini.

1. 2x ≥ 4; pertidaksamaan linear satu peubah 2. 3x + y < 0; pertidaksamaan linear dua peubah 3. x – 2y ≤ 3; pertidaksamaan linear dua peubah

4. x + y – 2z > 0; pertidaksamaan linear tiga peubah

Contoh sistem pertidaksamaan linear dua peubah adalah sebagai berikut. 3x + 8y ≥ 24, x + y ≥ 4, x ≥ 0,

y ≥ 0.

1. Daerah Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Peubah

Penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubahadalah pasangan berurut (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut.Himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan dengan suatu daerah pada bidangkartesius (bidang XOY) yang diarsir. Untuk lebih memahami daerah himpunanpenyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah, pelajari contoh-contoh berikut.

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear di bawah ini. a. 2x + 3y ≥ 12             c. 4x – 3y < 12

b. 2x – 5y > 20                d. 5x + 3y ≤ 15

Penyelesaian:

a. Mula-mula dilukis garis 2x + 3y = 12 dengan menghubungkan titik potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y.Titik potong garis dengan sumbu X berarti y = 0, diperoleh x = 6 (titik (6,0)).

Titik potong garis dengan sumbu Y berarti x = 0, diperoleh y = 4 (titik (0,4)).
Garis 2x + 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

2 x0 + 3x 0 < 12
0 < 12

Jadi 0 ≥ 12 salah, artinya tidak dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidakmemuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini

b. Mula-mula dilukis garis 2x – 5y = 20 dengan menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X,  y = 0, diperoleh x = 10 (titik (10,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y, x = 0, diperoleh y = –4 (titik (0,–4))

Garis 2x – 5y = 20 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

2 x0 – 5 x0 > 20
0 > 20 (salah), artinya tidak dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidakmemuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar

c. Mula-mula dilukis garis 4x – 3y = 12 dengan menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0 diperoleh x = 3 (titik (3,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0 diperoleh y = –4 (titik (0,–4))

Garis 4x – 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

4 x0 – 3x 0 < 12
0 < 12 (benar), artinya dipenuhi sebagai daerah
penyelesaian.Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di ba

d. Mula-mula dilukis garis 5x + 3y = 15 dengan menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0, diperoleh x = 3 (titik (3,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0, diperoleh y = 5 (titik (0,5))

Garis 5x + 3y = 15 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

5 x0 + 3x 0 ≤15
0 ≤ 15 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar.

Berdasarkan contoh di atas, cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dengan dua peubah dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Lukislah garis ax + by = c pada bidang kartesius dengan menghubungkan titik potong garis pada sumbu X di titik (c/a ,0) dan pada sumbu Y di titik (0,c/b ).

2. Selidiki sebuah titik uji yang terletak di luar garis dengan cara menyubstitusikannya pada pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan dipenuhi (benar), maka daerah yang memuat titik tersebut merupakan daerah himpunan penyelesaian. Jika pertidaksamaan tidak dipenuhi (salah), maka daerah yang tidak memuat titik uji merupakan daerah himpunan penyelesaian.

2. Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear

a. Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear

Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah adalah himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam bidang kartesius yang memenuhi semua pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut. Sehingga daerah himpunan penyelesaianny amerupakan irisan himpunan-himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubah itu. Agar kalian lebih mudah dalam memahami daerah penyelesaian dari sistem pertidak-samaan linear dua peubah, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

Contoh : Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut.
a. 3x + 5y ≤ 15               b. x + y ≤ 6

x ≥ 0                    2x + 3y ≤ 12 y ≥ 0                              x ≥ 1

y ≥  2

Penyelesaian:

a. Mula-mula gambar garis 3x + 5y =15, x = 0, dan y =0 Untuk 3x + 5y ≤ 15 Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 3x 0 + 5x 0 ≤ 15

0 ≤ 15 (benar), artinya dipenuhi

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuatntitik (0,0) Untuk x ≥ 0, pilih titik (1,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

1 ≥ 0 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1) Untuk y ≥ 0, pilih titik (1,1) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 1 ≥ 0 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1).

Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas, yaitu seperti terlihat pada gambar berikut ini (daerah yang diarsir).

b. Mula-mula gambar garis x + y =6, 2x + 3y = 12, x = 1, dan y = 2. Untuk x + y ≤ 6, pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

1 x0 + 1 x0 ≤ 6
0 ≤ 6 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0).
Untuk 2x + 3y ≤ 12, pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidak-samaan sehingga diperoleh:

2 x0 + 3x 0 ≤ 12
0 ≤ 12 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0).

Untuk x ≥ 1, pilih titik (2,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh 2 ≥ 1 (benar), artinya dipenuhi. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (2,1).

Untuk y ≥ 2, pilih titik (1,3) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh 3 ≥ 2 (benar), artinya dipenuhi. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,3).

Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut merupakan irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaianpertidaksamaan di atas, yang seperti terlihat pada gambar di samping (daerahyang diarsir)

b. Menentukan Sistem Pertidaksamaan jika Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Peubah Diketahui

Cara menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah telah dipelajari sebelumnya. Sekarang bagaimana menentukan sistem pertidaksamaan jika daerah himpunan penyelesaiannya yang diketahui? Untuk itu simaklah beberapa contoh di bawah ini.

Contoh: Daerah yang diarsir di bawah ini merupakan daerah himpunan penyelesaiaan dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua peubah. Tentukanlah sistem pertidaksamaan tersebut.

Penyelesaian:

a. Garis l1 melalui titik (2,0) dan (0,2), persamaan garis l1 adalah:

x/2 + y/2 = 1 menjadi x+y=2

Garis l2 melaui titik (1,0) dan (0,2), persamaan garis l2 adalah:

x/1 + y/2 = 1 menjadi 2x+y=2

Dari gambar terlihat bahwa daerah himpunan penyelesaian (yang diarsir) berada di bawah garis l1, di atas garis l2, di kanan sumbu Y, dan di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannya adalah:

x + y ≤ 2, 2x + y ≥ 2, x ≥ 0, dan y ≥  0

b. Garis l1 melalui titik (4,0) dan (0,4), persamaan garis l1 adalah:

x/4 + y/4 = 1 menjadi x+y=4

Garis l2 melalui titik (2,0) dan (0,–1), persamaan garis l2 adalah:

x/2 + y/-1 = 1 menjadi -x+2y = -2

x-2y  = 2

Dari gambar terlihat bahwa daerah himpunan penyelesaian (yang diarsir) berada di bawah garis l1, di atas garis l2, di kanan sumbu Y, dan di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannya adalah:

x + y ≤ 4, x – 2y ≤ 2, x ≥ 0, dan y ≥ 0

Nilai Optimum Dari Sistem Pertidaksamaan Linier.

Dengan mengetahui cara menentukan daerah penyeleseaian sistem pertidak samaan dan cara membuat model matematika, maka nilai optimum dari masalah program linear dapat dipecahkan dengan mudah. Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut:

1.       Menentukan model matematika

2.       Menentukan daerah penyelesaian

3.       Menentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut

4.       Menentukan nilai optimum daerah penyelesaian dengan cara membandingkan hasil subtitusi titik-titik pojok terhadap fungsi objektif yang telah dicari dengan menggunakan model matematika.

Contoh (contoh minggu lalu):

Harga sebuah  baju Rp. 25.000 sedangkan sebuah celana
Rp.50.000. modal yang tersisa Rp.1.500.000. kapasitas took tersebut maksimal memuat 50 buah. Tentukan model matematika untuk memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya, jika laba untuk baju Rp.3.000 dan untuk celana Rp.2.000?

Jawab:

1.       Model matematika

Misalkan x= banyaknya baju dan y= banyaknya celana.

Jumlah barang	harga	laba
Baju (x)	1	Rp. 25.000	Rp.3.000
Celana (y)	1	Rp.50.000	Rp.2.000
Jumlah	50	Rp.1.500.000.	Fobj

Nilai Optimum

Untuk menentukan nilai optimum maka kita harus menentukan terlebih dahulu daerah penyelesaian pertidaksamaan linear, dengan begitu untuk mencari nilai optimum dapat menjadi lebih mudah. Langkah-langkah yang harus dikerjakan ketika menentukan nilai optimum diantaranya sebagai berikut :

1. Tentukan kendala dari permasalahan program linear
2. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan yang ditanyakan
3. Tentukan titik-titik pojok daru daerah penyelesaian yang telah ditemukan
4. Setelah mengerjakan ketiga langkah itu, tentukan nilai optimum dari daerah penyelesaian tersebut lalu bandingkan hasil subtitusi titik-titik pojok dengan fungsi yang ditentukan dengan model matika

Perhatikan contoh soal cerita dibawah ini untuk lebih mempermudah

Contoh :

Toko bahagia menjual peralatan alat tulis, harga sebuah buku Rp.5.000 dan sebuah puplen Rp.2.500. Pemilik toko tersebut mempunyai modal 250.000 dan toko tersebut hanya mampu menampung hingga 50 buah. Tentukan model matematika untuk mendapatkan keuntungan jika laba dari 1 buah buku 1.000 dan dari pulpen 500?

Jawab :

1. Tentukan kendala dari permasalahan program linear tersebut

Misalkan buku = x dan pulpen = y, maka

Fungsi Kendala

5000x + 2500y  ≤ 250000

2x + y  ≤ 100

x + y  ≤ 50

Fungsi Objektif

1000x + 500y

1. Tentukan daerah penyelesaian

Untuk menentukan daerah penyelesaian dapat ditentukan sama seperti pembahasan diatas

Ubah menjadi bentuk persamaan 2x + y = 100 ; x + y = 50

Buatlah dengan dua titik bantu

2x + y = 100

Misalkan x = 0, untuk 2x + y = 100 maka y = 100

Misalkan y = 0 , untuk 2x + y = 100 maka 2x = 100 dan x = 50

maka (x, y) yaitu (0, 100) (50, 0)

x + y = 50

maka (x, y) yaitu (0, 50) (50, 0)

Setelah itu gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaannya.

Untuk mengetahui daerah penyelesaiannya uji dengan titik (0, 0)

 CONTOH SOAL

1.
Luas daerah parkir

. Luas rata-rata sebuah mobil

dan luas rata-rata bus

Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda empat (mobil dan bus). Jika tarif parkir mobil Rp2000,00 dan tarif parkir bus Rp5000,00 maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah ….
(Soal Ujian Nasional)

A.     Rp40.000,00 B.     Rp50.000,00 C.     Rp60.000,00 D.     Rp75.000,00

E.     Rp90.000,00

Pembahasan:

Misalkan:

x = banyak mobil
y = banyak bus

Perhatikan tabel di bawah!

Diperoleh dua persamaan:

Menentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan:

Akan ditentukan nilai maksimum dengan metode titik sudut.

Titik koordinat O, A, dan C dapat diperoleh dengan melihat gambar, yaitu O(0,0), A(0, 15), dan C(30,0). Untuk koordinat B dapat diperoleh dengan menggunakan eliminasi dan substitusi.

Substitusi nilai y = 10 pada persamaan x + y = 30 untuk mendapatkan nilai x.

Koordinat titik B adalah (20, 10)

Perhitungan keuntungan maksimal yang dapat diperoleh:

Jawaban: E

2.Biaya produksi satu buah payung jenis A adalah Rp20.000,00 per buah, sedangkan biaya satu buah produksi payung jenis B adalah Rp30.000,00. Seorang pengusaha akan membuat payung A dengan jumlah tidak kurang dari 40 buah. Sedangkan banyaknya payung jenis B yang akan diproduksi minimal adalah dari 50 buah. Jumlah maksimal produksi kedua payung tersebut adalah 100 buah. Biaya minimum yang dikeluarkan untuk melakukan produksi kedua payung sesuai ketentuan tersebut adalah ….(Soal Ujian Nasional)

A.     Rp2.000.000,00 B.     Rp2.300.000,00 C.     Rp2.200.000,00 D.     Rp2.100.000,00

E.     Rp2.000.000,00

Pembahasan:

Pemisalan:

x = banyak payung A
y = banyak payung B

Model matematika dari permasalahan tersebut adalah:

Fungsi tujuan: meminimumkan

Fungsi kendala:

Daerah penyelesaian yang memenuhi permasalahan:

Nilai minimim akan diperoleh melalui titik koordinat yang dilalui garis selidik yang pertama kali, yaitu titik A(40, 50). Sehingga, biaya produksi minimum adalah

Jawaban: B

3.Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.(Soal Ujian Nasional)

Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah…. A . 88 B. 94 C. 102 D. 106

E. 196

Pembahasan
Cari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan titik potongnya:

Cara pertama dalam membuat persamaan garis

y − y1 = m (x − x1)

dengan

m = Δy/Δx

Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 20) adalah m = 20/−12 = − 5/3

y − 20 = − 5/3 (x − 0) y − 20 = − 5/3 x y + 5/3 x = 20

3y + 5x = 60

Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan (0, 15) :
m = 15/−18 = − 5/6

y − 15 = − 5/6 (x − 0) y + 5/6 x = 15

6y + 5x = 90

Cara kedua dalam membuat persamaan garis

bx + ay = ab

Untuk garis yang memotong sumbu x di 12 dan y di 20 adalah:

20x + 12 y = 240 sederhanakan lagi

5x + 3y = 60

Untuk garis yang memotong sumbu x di 18 dan y di 15 adalah:

15x + 18y = 270 sederhanakan lagi

5x + 6y = 90

Titik potong kedua garis:
6y + 5x = 90 3y + 5x = 60 _________ – 3y = 30 y = 10 3(10) + 5x = 60 5x = 30 x = 6

Titik potong kedua garis adalah (6, 10)

Uji titik: f (x, y) = 7x + 6y Titik (0, 0) → f (x, y) = 7(0) + 6(0) = 0 Titik (12,0) → f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84 Titik (0, 15) → f (x, y) = 7(0) + 6(15) = 90

Titik (6, 10) → f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102

Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102

4.Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat?(Soal Ujian Nasional)
A. 6 jenis I B. 12 jenis II C. 6 jenis I dan 6 jenis II D. 3 jenis I dan 9 jenis II

E. 9 jenis I dan 3 jenis II

Pembahasan
Barang I akan dibuat sebanyak x unit

Barang II akan dibuat sebanyak y unit

Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan model matematikanya:

x + 3y ≤ 18

2x + 2y ≤ 24

Fungsi objektifnya:
f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik potong x + 3y = 18 |x2|

2x + 2y = 24 |x 1|

2x + 6y = 36 2x + 2y = 24 ____________ _ 4y = 12 y = 3 2x + 6(3) = 36 2x = 18 x = 9

Titik potong kedua garis (9, 3)

Berikut grafik selengkapnya:

Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 y Titik (0,0) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (0) = 0 Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0) = 3000 000 Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) = 3450 000

Titik (0, 6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) = 2400 000

Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II.

5.Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah…(Soal Ujian Nasional)
A. Rp13.400.000,00 B. Rp12.600.000,00 C. Rp12.500.000,00 D. Rp10.400.000,00

E. Rp8.400.000,00

Pembahasan

Banyak sepeda maksimal 25

Uang yang tersedia 42 juta

Titik potong (i) dan (ii)

Keuntungan

Jawaban: A

6.Seorang pedagang gorengan menjual pisang goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk satu pisang goreng Rp1.000,00 dan satu bakwan Rp400,00. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika pisang goreng dijual Rp1.300,00/biji dan bakwan Rp600,00/biji, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang adalah…(Soal Ujian Nasional)
A. Rp102.000,00 B. Rp96.000,00 C. Rp95.000,00 D. Rp92.000,00

E. Rp86.000,00

Pembahasan

Gorengan jadi x, bakwan jadi y

Modelnya: 1000x + 400y ≤ 250000, sederhanakan, bagi 100 dapat persamaan (i) (i) 10x + 4y ≤ 2500 (ii) x + y ≤ 400

f(x,y) = 300x + 200y

Titik potong garis (i) dan (ii) dengan sumbu x dan y masing-masing:

Grafik selengkapnya:

Uji titik A, B, C

7.Nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 7, x + y ≥ 5, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah…(Soal Ujian Nasional)
A. 14 B. 20 C. 23 D. 25

E. 35

Pembahasan
Langsung cari titik potongnya dulu: 2x + y = 7 x + y = 5 ———— − x = 2

y = 3

Dapat titik A (2, 3)

Berikut grafik selengkapnya:

Uji titik f(x, y) = 4x + 5y A(2, 3) = 4(2) + 5(3) = 23 B(5, 0) = 4(5) + 5(0) = 20

C(0, 7) = 4(0) + 5(7) = 35

Terlihat nilai minimumnya adalah 20.

8.Hitunglah nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 2x + 5y dari grafik dibawah ini.(Soal Ujian Nasional)

Jawab :

Model matematika dari grafik diatas.

2x + y = 4 sehingga pertidaksamaan linearnya 2x+y≤4

x + y = 3 sehingga pertidaksamaan linearnya x+y≥3

Titik potong kedua garis adalah

2x + y = 4

x + y = 3    –

x = 1

x + y = 3

1 + y = 3

y = 2

Nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 2x + 5y

A (0,2) = 0 + 10 = 10

B (1,2) = 2 + 10 = 12

C (3,0) = 6 + 0 = 6

Maka diperoleh nilai minimum adalah 6.

9.Di sebuah tempat wisata memiliki tempat parkir dengan luas 1760 m2. Untuk memarkir mobil rata rata memerlukan luas 4m2 sedangkan untuk memarkir bus rata rata memerlukan luas 20m2, sementara daya tampung tempat parkir tersebut adalah 200 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil adalah Rp 1.000,- per jam, sedangkan biaya parkir untuk bus adalah Rp 2.000,- per jam. Dalam satu jam tempat parkir tersebut telah terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang keluar ataupun masuk, maka hitunglah penghasilan maksimum dari tempat parkir itu.(Soal Ujian Nasional)

Jawab :

Misalkan Mobil = x dan Bus = y.

	Mobil (x)	Bus (y)	Jumlah
Luas	4	20	1760
Daya Tampung	x	y	200
Biaya	Rp 1.000,-	Rp 2.000,-	Fungsi Tujuan

Sehingga model matematika (persamaan linearnya) diperoleh

4x + 20y = 1760 atau x + 5y = 440

x + y = 400

Fungsi tujuan = 1000x + 2000y

Titik Potong dua garis

x + 5y = 440

x + y   = 200     –

4y = 240

y = 60

x + y  = 200

x = 140

Titik potongnya (140, 60)

Sehingga batas-batas dari daerah penyelesaiannya dengan fungsi tujuan = 1000x + 2000y

–        (140,60) = 140.000 + 120.000 =
260.000 (maksimum)

–        (200,0) = 200.000 + 0 = 200,000

–        (0,88) = 0 + 176.000 = 176.000

Jadi, penghasilan tempat parkir dalam satu jam adalah Rp 260.00,-

10.Perhatikan gambar di bawah ini:

Pada daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear. Carilah sistem pertidaksamaan pada grafik tersebut.(Soal Ujian Nasional)

Jawab :

Melalui titik (4,0) dan (0,12) diperoleh persamaan garis x + 3y = 12, maka setelah diarsir pertidaksamaan adalah x+3y≥12

Melalui titik (8,0) dan (0,4) diperoleh persamaan garis 2x + y = 8, maka setelah diarsir pertidaksamaan adalah 2x+y≥8

Pada sumbu x, daerah yang diarsir adalah bagian atas maka y≥0

Pada sumbu y, daerah yang diarsir adalah bagian kanan maka  x≥0

Maka sistem pertidaksaan linear dari grafik diatas adalah ≥0, y≥0, 2x+y≥8, x+3y≥12