Contoh Soal Sudut Antara Dua Vektor

Contoh Soal Sudut Antara Dua Vektor

perkalian dua vektor

Perkalian skalar antara dua vektor $\overrightarrow{a}$ dan $\overrightarrow{b}$ dituliskan dengan notasi $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$  dibaca $\overrightarrow{a}$ dot $\overrightarrow{b}$ atau $\overrightarrow{a}$ perkalian titik $\overrightarrow{b}$ .

Jika $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\  a_{2}\\  a_{3} \end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\  b_{2}\\  b_{3} \end{pmatrix}$, rumus perkalian skalar dua vektor adalah sebagai berikut.



$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}$

Pada vektor bangun datar jika $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\end{pmatrix}$, maka $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}.$

Jika vektor $a$
 dan vektor $b$ membentuk sudut
ß

, perkalian skalar kedua vektor tersebut dirumuskan sebagai berikut.


$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left | a \right |.\left | b \right |.cos\beta $

dengan |a| adalah panjang/ besar vektor a yang di hitung dengan $\left | a \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$


Contoh soal 1

Besar vektor $a$ dan $b$ berturut-turut adalah 6 satuan dan 5 satuan. Jika kedua vektor tersebut membentuk sudut 60°, hitung perkalian skalar antara vektor $a$ dan $b$.



Penyelesaian

Dari soal diatas, kalian tinggal masuk kedalam rumus:

$\begin{align*}a.b&=\left | a \right |.\left | b \right |.cos\beta  \\ &=6.5.cos60^{o} \\ &= 30.\frac{1}{2}=15\end{align*}$


Contoh soal 2

Diketahui vektor $a=\begin{pmatrix}3\\ -3\\ 2\end{pmatrix}$ dan $b=\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 3\end{pmatrix}$. Hitung nilai dari $a.b$ dan $b.a$



Penyelesaian

$a.b=3.2+(-3).1+2.3=6+(-3)+6=9$

$b.a=2.3+1.(-3)+3.2=6+(-3)+6=9$

Berdasarkan hasil tersebut, diperoleh bahwa $a.b=b.a$ -> sifat komutatif.


Contoh soal 3

Diketahui vektor $a=\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 4\end{pmatrix}$ dan $b=\begin{pmatrix}3\\ 2p\\ 2\end{pmatrix}$. Jika $a.b=3$ tentukan nilai dari p.



Penyelesaian

Dari soal diketahui bahwa $a.b=3$, maka dapat diselesaikan dengan cara perkalian antara dua vektor:

$\begin{align*}a.b &=3 \\ \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 4\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}3\\ 2p\\ 2\end{pmatrix}&=3 \\ 1.3+(-2).2p+4.2 &= 3\\ 3-4p+8 &=3 \\ -4p&= 3-3-8 \\-4p&=-8 \\p&=\frac{-8}{-4}=2\end{align*}$

Jika $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\  a_{2}\\  a_{3} \end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\  b_{2}\\  b_{3} \end{pmatrix}$ adalah vektor-vektor pada bangun ruang dan sudut yang dibentuk oleh vektor $a$ dan $b$ adalahß, besar cosß dapat ditentukan dengan rumus berikut:

Baca :   Jenis Bunga Untuk Wisuda


Contoh soal 4

Jika diketahui $a=\begin{pmatrix}2\\ -4\\ -2\end{pmatrix}$ dan $b=\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -2\end{pmatrix}$ adalah vektor pada bangun ruang, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.



Penyelesaian

Terlebih dahulu, kalian dapat menentukan nilai dari $a.b$ dan panjang vektor $a$ dan $b$

$\begin{align*}a.b &= \begin{pmatrix}2\\ -4\\ -2\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -2\end{pmatrix}\\  &=2(-1)+(-4).(-1)+(-2).2 \\  &= -2+4+4\\&=6\end{align*}$

$\begin{align*}\left | a \right | &=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}+(-2)^{2}}\\  &=\sqrt{4+16+4} \\  &=\sqrt{24} \\ \left | b \right | &=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}} \\&=\sqrt{1+1+4} \\&=\sqrt{6}\end{align*}$

Setelah itu, kalian dapat menentukan sudut antara dua vektor tersebut dengan rumus berikut:

$\begin{align*}cos\beta  &=\frac{a.b}{\left | a \right |.\left | b \right |} \\  &=\frac{6}{\sqrt{24}.\sqrt{6}} \\  &= \frac{6}{\sqrt{144}}\\  &= \frac{6}{12}\\ cos\beta  &= \frac{1}{2}\\\beta &=60^{o}\end{align*}$

cos yang bernilai $\frac{1}{2}$ adalah cos 60°


Contoh soal 5

Diketahui vektor $a=\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 0\end{pmatrix}$ dan $b=\begin{pmatrix}-2\\ 4\\ 2\end{pmatrix}$ adalah vektor pada bangun ruang, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.



Penyelesaian

Sama seperti contoh 4, terlebih dahulu kalian dapat menentukan nilai dari $a.b$ dan panjang vektor $a$ dan $b$

$\begin{align*}a.b &= \begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-2\\ 4\\ 2\end{pmatrix}\\  &=-3(-2)+(3).(4)+(0).2 \\  &= 6+12+0\\&=18\end{align*}$

$\begin{align*}\left | a \right | &=\sqrt{(-3)^{2}+(3)^{2}+(0)^{2}}\\  &=\sqrt{9+9+0} \\  &=\sqrt{18}\\&=3\sqrt{2} \\ \left | b \right | &=\sqrt{(-2)^{2}+(4)^{2}+(2)^{2}} \\&=\sqrt{4+16+4} \\&=\sqrt{24}\\&=2\sqrt{6}\end{align*}$

Setelah itu, kalian dapat menentukan sudut antara dua vektor tersebut dengan rumus berikut:

$\begin{align*}cos\beta  &=\frac{a.b}{\left | a \right |.\left | b \right |} \\  &=\frac{18}{3\sqrt{2}.2\sqrt{6}} \\  &= \frac{18}{6\sqrt{12}}\\ &=\frac{18}{6.2\sqrt{3}}\\ &=\frac{18}{12\sqrt{3}} \\ &=\frac{3}{2\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ &=\frac{2}{6}\sqrt{3} \\ cos\beta &= \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \beta &=30^{0}\ \end{align*}$

cos yang bernilai $\frac{1}{2}\sqrt3 $ adalah cos 30°


Demikian materi perkalian skalar dua vektor dan cara menentukan besar sudut antara dua vektor yang dapat kalian pelajari. Jika ada pertanyaan, silakan tulis di komentar.

Contoh Soal Sudut Antara Dua Vektor

Sumber: https://www.infogurumaju.my.id/2021/03/perkalain-dua-vektor-dan-sudut-antara-dua-vektor.html

Check Also

Harga Beras 10 Kg Di Pasar

Harga Beras 10 Kg Di Pasar 4 menit Kamu pasti sudah sering sekali mendengar ungkapan, …