Contoh Soal Pertidaksamaan Logaritma

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma adalah nilai-nilai yang memenuhi suatu pertidaksamaan dari fungsi logaritma. Banyak nilai dalam himpunan bagian dapat terdiri dari satu, dua, atau tak hingga jumlahnya. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma diperoleh dari hasil akhir perhitungan dengan mempertimbangkan syarat yang berlaku. Sehingga pengetahuan operasi hitung logaritma dasar k dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma.

Logaritma sendiri adalah sebuah fungsi kebalikan (fungsi invers) dari fungsi eksponen. Simbol logaritma ditulis dengan



log


 yang disertai footing logaritma dan bilangan logaritma atau numerus. Persamaan umum logaritma dinyatakan dalam bentuk
^alog c = b atau log_a b = c. Di mana a = basis logaritma (a ≠ 1), b = hasil logaritma (eksponen dari ground) , dan c = bilangan logaritma (numerus). Syarat yang harus dipenuhi pada fungsi logaritma adalah nilai bilangan logaritma lebih dari 0



(numerus < 0)


. Nilai bilangan logaritma atau numerus yang kurang dari nol tidak akan mempunyai suatu hasil nilai yang sesuai.

Bagaimana cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Cara Menggambar Grafik Fungsi Logaritma dan Bagaimana Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafik yang Diberikan

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang memuat fungsi logaritma. Tanda hubung persamaan logaritma sama seperti pada persamaan umum lainnya yaitu dihubungkan oleh



sama dengan (=)


. Contoh persamaan logaritma adalah
²log eight = three, 2 log 10 = 2, y =
²log 8, dan lain sebagainya.

Pada contoh persamaan logaritma y =
²log eight nilai y sama dengan 3. Hasil tersebut diperoleh dari definisi logaritma di mana jika y =
²log 8 maka 2^y = eight yang dipenuhi ketika nilai y = 3.

Himpunan penyelesaian persamaan logaritma pada umumnya hanya memuat satu nilai yang memenuhi. Seperti pada contoh di atas misalnya, nilai yang memenuhi atau himpunan penyelesaian untuk persamaan y =
²log 8 adalah Hp = {3}.

Contoh lain dari persamaan logaritma:
Berapakah penyelesaian dari two^{log x} = 1?

Penyelesaian:











2^{log x} = 1
2^{log x} = two

log x = 0
ten = 10 = 1

Jadi, himpunan penyelesian persamaan logaritma 2^{log x} = 1 adalah 10 = {ane}.

Baca Juga: Berbagai Bentuk Persamaan Logaritma dan Cara Menyelesaikannya

Pertidaksamaan Logaritma

Bentuk pertidaksamaan logaritma berupa fungsi logaritma dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk tanda pertidaksamaan dapat berupa kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari sama dengan (≤), atau lebih dari sama dengan (≥). Beberapa contoh pertidaksamaan logaritma diberikan seperti berikut.

• y ≤²log eight
• ^twolog²x +
  ²log ten + 8 < 0
• log (x² – 11x + 22) > 1
• ³log(a² – b²) ≥
  ³log(a – b)

Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berupa beberapa nilai yang memenuhi pertidaksamaan. Misalnya pada contoh pertidaksamaan logaritma y ≤²log viii dapat dipenuhi oleh y ≤ 3 → y = { … , 0, one, 3}.

Penyelesaian:

y ≤
^twolog 8
y ≤
²log ii³

y ≤ 3 ×
²log 2
y ≤ 3 × 1
y ≤ 3 → y ≤ {…, 0, 1, three}

Baca Juga: Grafik Fungsi Eskponen dan Cara Menggambarnya

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idshcool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Himpunan Penyelesaian Persamaan Logaritma

Jika 10_one dan 10_ii adalah akar-akar persamaan logaritma log(2xⁱⁱ – 11x + 22) = ane maka nilai ten_one·ten_ii = ….
A. 11
B. half-dozen
C. –¹/_ii

D. –2
E. –5¹/₂

Pembahasan:

Penyelesaian persamaan logaritma:
log(2x^two – 11x + 22) = 1
log(2xⁱⁱ – 11x + 22) = log 10
2x² – 11x + 22 = x
2x² – 11x + 12 = 0

Diperoleh persamaan kuadrat 2x² – 11x + 12 = 0, di mana hasil kali akar-akar persamaan kuadrat secara umum (axⁱⁱ – bx + c = 0) sama dengan
^c/_a. Dengan a adalah koefisien dari 10² dan c adalah konstanta (bilangan tanpa variabel).

Nilai ten₁·10₂ dari persamaan kuadrat 2x² – 11x + 12 = 0:
ten₁·x_two =
¹²/_ii


x₁·10_ii = 6

Jawaban: B

Contoh 2 – Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma

Penyelesaian pertidaksamaan
^x–iilog (8–ten) > 2 adalah ….
A. iii < x < 4
B. –1 < x < 4
C. –four < x < i
D. x < 3 atau x > 4
East. x < –1 atau x > four

Pembahasan:

Penyelesaian pertidaksamaan:

^x–2log (8–ten) > 2 ↔
^10–2log (8–x) > 2 ·
^10–2log (2–x)
^ten–2log (eight–ten) >
^x–2log (2–x)²


(8 – x) > (2 – x)²


8 – x > iv – 4x + x²


x² – 4x + x + iv – viii < 0
ten² – 3x – 4 < 0
(x + 4)(x – 1) < 0

Menentukan himpunan penyelesaian yang sesuai dengan pertidaksamaan.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan
^x
–
iilog (8–10) > 2 adalah –4 < ten < 1.

Jawaban: C

Contoh 3 – Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma

Nilai x yang menjadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma
^0,5log(x² – three) > 0 adalah ….
A. –2<x<2
B. –ii<x<–√3 atau √3<x<two
C. –2<x<2 atau ten < √iii
D. –2<x<√iii
E. 10<√3 atau x > 2

Pembahasan:

Nilai x yang menjadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma harus memenuhi dua syarat. Pertama, nilai x memenuhi pertidaksamaan
^0,5log(x² – 3) > 0. Kedua, nilai x memenuhi pertidaksamaan x^two – 3 > 0 (nilai numerus harus lebih dari 0).

• Syarat I:
  ^0,5log(10² – 3) > 0
  ^0,5log(x^two – three) >
  ^0,5log one
  x² – 3 > 1
  x² – 4 > 0
  (ten – ii)(x + 2) > 0

• Syarat II:
  x² – 3 > 0
  (x – √three)(ten + √3) > 0

Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma:

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma
^0,5log(10² – 3) > 0 adalah –two<10<–√three atau √3<x<2.

Jawaban: B

Demikianlah tadi ulasan himpunan penyelesaian pesamaan logaritma dan himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)cyberspace, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Definisi dan 10 Sifat Logaritma