Contoh Soal Persamaan Lingkaran Kelas 11

KlikBelajar.com – Contoh Soal Persamaan Lingkaran Kelas 11


Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat
Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA tentang Lingkaran. Materi lingkaran, mungkin salah satu materi paling umum kita dengar di matematika. Sejak duduk di Sekolah Dasar, lingkaran sudah diperkenalkan melalui ban sepeda yang sering kita mainkan lalu dihubungkan dengan jari-jari pada roda sepeda.

Penerapan lingkaran dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, yang paling sederhana seperti yang kita sebutkan di awal yaitu ban sepeda yang berbentuk lingkaran.

Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada lingkaran tidaklah sulit, jika kita mengikuti step by step pembahasan yang kita diskusikan di bawah ini, maka kita akan dengan mudah memahami pembahasan soal lingkaran dan kita harapkan dapat meningkatkan daya nalar atau cara berpikir kita untuk menyelesaikan soal-masalah yang kita hadapi pada kehidupan sehari-hari.

Kesulitan menganalisa kalimat soal jadi salah satu masalah paling umum dalam diskusi menyelesaikan soal tentang lingkaran. Mudah-mudahan diksusi kita berikut ini menambah pemahaman kita tentang lingkaran.

Bahan latihan soal lingkaran yang kita pilih adalah soal dari soal UTBK SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), Soal Ujian Mandiri masuk PTN (SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan sebagainya), Soal Ujian Masuk Sekolah Kedinasan atau Soal UN (Ujian Nasional) SMA.

Sebagai catatan, berikut kita tuliskan beberapa aturan dasar pada Lingkaran yang mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah tentang lingkaran.


Daftar Isi:

PERSAMAAN LINGKARAN


  • Pusat $(0,0)$ dengan jari-jari $r$

    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
  • Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$

    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
  • Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

    $\Leftrightarrow $ Pusat $\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}=r^{2}$


  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$


  • Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K \gt r^{2}$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K = r^{2}$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=(p-a)^{2}+(q-b)^{2}$ dan $K \lt r^{2}$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$


  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \gt 0$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K = 0$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \lt 0$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Hubungan garis dengan lingkaran


Misal Jika diketahui persamaan garis $y=mx+n$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, maka dengan mensubstitusi $y=mx+n$ ke lingkaran $L$ akan diperoleh persamaan kuadrat. Dari persamaan kuadrat persekutuan tersebut kita bisa peroleh nilai $D=b^{2}-4ac$

  • Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
  • Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
  • Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran


  • Jika diketahui titik singgung $(x_{1},y_{1})$ pada lingkaran
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$

      $\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1} =r^{2}$
    • Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

      $\Leftrightarrow $ PGS: $(x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2}$
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

      $\Leftrightarrow $ PGS: $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$
  • Jika diketahui gradien garis singgung lingkaran $(m)$
    • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$

      $\Leftrightarrow $ PGS: $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
    • Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

      $\Leftrightarrow $ PGS: $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

Jarak Titik ke Titik


Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke titik $\left( x_{2},y_{2} \right)$ adalah:
$d= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} $


Jarak Titik ke Garis


Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
$d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$


Rumus Alternatif Persamaan Garis Singgung (PGS) lingkaran


  • Persamaan Garis Singgung lingkaran dengan pusat $\left( x_{1},y_{1} \right)$ dan jari-jari $r$ yang sejajar dengan garis $ax+by+c=0$, adalah:

    $ax+by=ax_{1}+by_{1} \pm r \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
  • Persamaan Garis Singgung lingkaran dengan pusat $\left( x_{1},y_{1} \right)$ dan jari-jari $r$ yang tegak lurus dengan garis $ax+by+c=0$, adalah:
    $bx-ay=bx_{1}-ay_{1} \pm r \sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Untuk melatih kemampuan kita dalam bermatematik, terkhusus dalam materi pokok lingkaran, soal-soal berikut dapat kita jadikan bahan latihan.

1. Soal UMPTN 1994 |*Soal Lengkap

Jari-jari dan titik pusat lingkaran $4x^{2}+4y^{2}+4x-12y+1=0$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left( -\dfrac{1}{2},1 \right) \\ (B)\ & \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left( -\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right) \\ (C)\ & \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right) \\ (D)\ & 3\ \text{dan}\ \left( 1,3 \right) \\ (E)\ & 3\ \text{dan}\ \left( -1,3 \right)
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
4x^{2}+4y^{2}+4x-12y+1 &= 0 \\ x^{2}+ y^{2}+ x-3y+\dfrac{1}{4} &= 0 \\ \hline
A=1,\ B=-3,\ & C= \dfrac{1}{4}
\end{align}$

$\begin{align}
\text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\ &= \left (-\dfrac{1}{2}(1),-\dfrac{1}{2}(-3) \right ) \\ &= \left (-\dfrac{1}{2} , \dfrac{3}{2} \right ) \\ \hline
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ &=\sqrt{\dfrac{1}{4}(1)^{2}+\dfrac{1}{4}(-3)^{2}-\dfrac{1}{4}} \\ &= \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4} -\dfrac{1}{4}} \\ &= \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}

\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left( -\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right)$

2. Soal SPMB 2005 Kode 280 |*Soal Lengkap

Jika $a \lt 0$ dan lingkaran $x^{2}+y^{2}-ax+2ay+1=0$ mempunyai jari-jari $2$ maka koordinat pusat lingkaran adalah…
$\begin{align}
(A)\ & \left( -\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right) \\ (B)\ & \left( -\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right) \\ (C)\ & \left( 1,-2 \right) \\ (D)\ & \left( -1, 2 \right) \\ (E)\ & \left( -1,-2 \right) \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-ax+2ay+1 &= 0 \\ A=-a,\ B=2a,\ & C= 1
\end{align}$

$\begin{align}
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ r^{2} &= \frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C \\ 2^{2} &= \dfrac{1}{4}(-a)^{2}+\dfrac{1}{4}(2a)^{2}-1 \\ 4 &= \dfrac{1}{4}a^{2} + a^{2} – 1 \\ 4+1 &= \dfrac{5}{4}a^{2} \\ 5 \cdot \dfrac{4}{5} &= a^{2} \\ 4 &= a^{2} \rightarrow a=\pm 2
\end{align}$
Karena $a \lt 0$ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=-2$, sehingga berlaku:

$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-ax+2ay+1 &= 0 \\ x^{2}+y^{2}+2x-4y+1 &= 0 \\ A=2,\ B=-4,\ & C= 1 \\ \end{align}$

$\begin{align}
\text{Pusat}\ & = \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\ & = \left (-\dfrac{1}{2}(2),-\dfrac{1}{2}(-4) \right ) \\ & = \left (-1 , 2 \right ) \\ \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( -1, 2 \right) $

3. Soal UN Matematika IPA 2006 |*Soal Lengkap

Persamaan lingkaran dengan pusat $P(3,1)$ dan menyinggung garis $3x+4y+7=0$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}-6x-2y+9=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}-6x-2y-6=0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}+6x-2y-9=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Pada soal sudah diberitahu bahwa pusat $P(3,1)$.
Lingkaran menyinggung garis $3x+4y+7=0$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(3,1)$ ke garis $3x+4y+7=0$.

$\begin{align}
r = d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{(3)(3)+(4)(1)+7}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{20}{\sqrt{25}} \right| = 4
\end{align}$

Persamaan lingkaran dengan pusat $P(3,1)$ dan $r=4$

$\begin{align}
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x-3)^{2}+(y-1)^{2} &= 4^{2} \\ x^{2}+y^{2}-6x-2y+9+1 &= 16 \\ x^{2}+y^{2}-6x-2y-6 &= 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-6x-2y-6=0$

4. Soal SPMB 2003 |*Soal Lengkap

Diketahui lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0$ melalui titik $(-2,1)$. Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari-jarinya dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah…
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+y^{2}-4x+12y-90=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}-4x+12y+9=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}-2x+6y-90=0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}-2x+6y+90=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}-2x-6y-90=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0$ melalui titik $(-2,1)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30 &= 0 \\ 2(-2)^{2}+2(1)^{2}-4(-2)+3(1)p-30 &= 0 \\ 8+2+8+3p-30 &= 0 \\ 3p &= 12 \\ p &= 4
\end{align}$

Untuk $p=4$, maka persamaan lingkaran menjadi
$\begin{align}
2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30 &= 0 \\ 2x^{2}+2y^{2}-4x+12y-30 &= 0 \\ x^{2}+ y^{2}-2x+6y-15 &= 0
\end{align}$

$\begin{align}
\text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\ &= \left(-\dfrac{1}{2}(-2),-\dfrac{1}{2}(6) \right ) \\ &= \left( 1, -3 \right) \\ \hline
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ &=\sqrt{\dfrac{1}{4}(-2)^{2}+\dfrac{1}{4}(6)^{2}-(-15)} \\ &=\sqrt{1+9+15} = 5

\end{align}$

Persamaan lingkaran dengan $P\left( 1, -3 \right)$ dan $r=2(5)=10$ adalah:
$\begin{align}
\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-1 \right)^{2}+\left( y+3 \right)^{2} &= 10^{2} \\ x^{2}+y^{2}-2x+6y+1+9 &= 100 \\ x^{2}+y^{2}-2x+6y-90 &= 0 \\ \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-2x+6y-90=0$

5. Soal UMPTN 1992 |*Soal Lengkap

Jika titik $(-5,k)$ terletak pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-5y-21=0$, nilai $k$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & -1\ \text{atau}\ -2 \\ (B)\ & 2\ \text{atau}\ 4 \\ (C)\ & -1\ \text{atau}\ 6 \\ (D)\ & 0\ \text{atau}\ 3 \\ (E)\ & 1\ \text{atau}\ -6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik $(-5,k)$ terletak pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-5y-21=0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}+2x-5y-21 &= 0 \\ (-5)^{2}+k^{2}+2(-5)-5(k)-21 &= 0 \\ 25+k^{2}-10-5k-21 &= 0 \\ k^{2}-5k-6 &= 0 \\ (k-6)(k+1) &= 0 \\ k=6\ \text{atau}\ k=-1 &

\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1\ \text{atau}\ 6$

6. Soal UMPTN 2005 Kode 780 |*Soal Lengkap

Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x+6y+c=0$ menyinggung garis $x=2$, maka nilai $c$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\ (B)\ & -6 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 12
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x+6y+c=0$ titik pusatnya adalah:
$\begin{align}
\text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\ &= \left(-\dfrac{1}{2}(6),-\dfrac{1}{2}(6) \right ) \\ &= \left( -3, -3 \right)

\end{align}$

Lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x+6y+c=0$ menyinggung garis $x=2$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(-3,-3)$ ke garis $x=2$ yaitu $5$.

Jika belum bisa mendapatkan $r=5$ dengan membayangkan posisi lingkaran dengan garis dapat menghitung jarak $P(-3,-3)$ ke garis $x-2=0$ yaitu:
$\begin{align}
r = d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{(1)(-3)+(0)(-3)-2}{\sqrt{(1)^{2}+(0)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-5}{\sqrt{1}} \right| = 5
\end{align}$

Persamaan lingkaran dengan pusat $P(-3,-3)$ dan $r=5$

$\begin{align}
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x+3)^{2}+(y+3)^{2} &= 5^{2} \\ x^{2}+y^{2}+6x+6y+9+9 &= 25 \\ x^{2}+y^{2}+6x+6y-7 &= 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -7$

7. Soal SPMB 2006 Kode 420 |*Soal Lengkap

Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ yang berpusat di $(1,-1)$ dan menyinggung garis $y=x$, maka nilai $a+b+c$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ titik pusatnya $(1,-1)$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\ \left(1,-1 \right ) &= \left(-\dfrac{1}{2}(a),-\dfrac{1}{2}(b) \right ) \\ a &= -2 \\ b &= 2

\end{align}$
Untuk $a=-2$ dan $b=2$ maka persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y+c=0$.

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y+c=0$ menyinggung garis $y=x$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(1,-1)$ ke garis $x-y=0$, yaitu:
$\begin{align}
r = d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{(1)(1)+(-1)(-1)+0}{\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{2}{\sqrt{2}} \right| = \sqrt{2}

\end{align}$

Persamaan lingkaran dengan pusat $P(1,-1)$ dan $r=\sqrt{2}$

$\begin{align}
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x-1)^{2}+(y+1)^{2} &= \left( \sqrt{2} \right)^{2} \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y+1+1 &= 2 \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y &= 0
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $c=0$, sehingga $a+b+c=-2+2+0=0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$

Baca :   Icon Pada Toolbar Standar

8. Soal UMPTN 1994 |*Soal Lengkap

Lingkaran yang melalui titik-titik $(4,2),\ (1,3)$ dan $(-3,-5)$ berjari-jari…
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk membentuk persamaan lingkaran dari tiga titik yang dilalui lingkaran adalah dengan mensubstitusi nilai $(x,y)$ ke persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$. Setelah dapat tiga persamaan dengan dua variabel, lalu dilakukan substitusi atau eliminasi.

$\begin{align}
(4,2)\ & \rightarrow (4)^{2}+(2)^{2}+A(4)+B(2)+C= 0 \\ & \rightarrow 4A +2B +C= -20\ \cdots (pers.1) \\ (1,3)\ & \rightarrow (1)^{2}+(3)^{2}+A(1)+B(3)+C= 0 \\ & \rightarrow A +3B +C= -10\ \cdots\ (pers.2) \\ (-3,-5)\ & \rightarrow (-3)^{2}+(-5)^{2}+A(-3)+B(-5)+C= 0 \\ & \rightarrow -3A -5B +C= -34\ \cdots\ (pers.3)
\end{align}$

Pertama, kita pilih mengeliminasi $C$ dari $(pers.1)$ dan $(pers.2)$
$\begin{array}{c|c|cc}
4A +2B +C= -20 & \\ A +3B +C= -10 & (-) \\ \hline

3A-B = -10\ \cdots\ (pers.4) &
\end{array} $

Kedua, kita mengeliminasi $C$ dari $(pers.2)$ dan $(pers.3)$
$\begin{array}{c|c|cc}
A +3B +C= -10 & \\ -3A -5B +C= -34 & (-) \\ \hline

4A+8B = 24\ & \\ A+2B = 6\ \cdots\ (pers.5) &
\end{array} $

Ketiga, kita mengeliminasi $A$ atau $B$ dari $(pers.4)$ dan $(pers.5)$
$\begin{array}{c|c|cc}
3A-B = -10 & (\times 2) \\ A+2B = 6 & (\times 1) \\ \hline
6A-2B = -20 & \\ A+2B = 6 & (+) \\ \hline

7A = -14 &
A = -2 &
\end{array} $

Keempat, kita substitusi $A=-2$ ke $(pers.4)$ atau $(pers.5)$

$\begin{align}
A+2B = 6\ & \rightarrow -2+2B = 6 \\ & \rightarrow 2B = 8 \\ & \rightarrow B = 4

\end{align}$

Kelima, kita substitusi $A=-2$ dan $B=4$ ke $(pers.1)$, $(pers.2)$ atau $(pers.3)$
$\begin{align}
4A +2B +C= -20\ & \rightarrow 4(-2) +2(4) +C= -20 \\ & \rightarrow -8 + 8 +C= -20 \\ & \rightarrow C = -20
\end{align}$
Untuk $A=-2$, $B=4$ dan $C=-20$, kita sudah dapat menentukan persamaan lingkran atau jari-jari lingkaran.
$\begin{align}
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ &=\sqrt{\frac{1}{4}(-2)^{2}+\frac{1}{4}(4)^{2}-(-20)} \\ &=\sqrt{1+4+20}=5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$

9. Soal UMPTN 2001 Rayon C |*Soal Lengkap]

Jika garis $x=2y+5$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka panjang ruas garis $AB$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 4\sqrt{2} \\ (D)\ & 2\sqrt{5} \\ (E)\ & 4\sqrt{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik potong lingkaran dan garis dapat kita ketahui dengan mensubsitusi $x=2y+5$ ke persamaan $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$.
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+8y+10 & = 0 \\ (2y+5)^{2}+y^{2}-4(2y+5)+8y+10 & = 0 \\ 4y^{2}+20y+25+y^{2}-8y-20+8y+10 & = 0 \\ 5y^{2}+20y+15 & = 0 \\ y^{2}+4y+3 & = 0 \\ (y+3)(y+1) & = 0
\end{align}$
$y=-1\ \text{maka}\ x= 2(-1)+5=3$
$y=-3\ \text{maka}\ x= 2(-3)+5=-1$

Kita peroleh titik potong garis dan lingkaran adalah di $A(3,-1)$ dan $B(-1,-3)$, panjang ruas garis $AB$ adalah
$\begin{align}
d & = \sqrt{(-3+1)^{2}+(-1-3)^{2}} \\ & = \sqrt{4+16} \\ & = 2\sqrt{5}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{5}$

10. Soal UMPTN 1999 Rayon C |*Soal Lengkap

Jika garis $g:x-2y=5$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka luas segitiga yang dibentuk oleh $A$, $B$ dan pusat lingkaran adalah…
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{10} \\ (B)\ & 4\sqrt{2} \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 10
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

kita ketahui bahwa jika garis $y=mx+n$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ berpotongan maka titik potong dapat diperoleh dari akar persamaan kuadrat persekutuan antara garis dan lingkaran.

Pertama, kita substitusi $x-2y=5$ ke $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+8y+10 &= 0 \\ (5+2y)^{2}+y^{2}-4(5+2y)+8y+10 &= 0 \\ 4y^{2}+20y+25+y^{2}-20-8y+8y+10 &= 0 \\ 5y^{2}+20y+15 &= 0 \\ y^{2}+4y+3 &= 0 \\ (y+1)(y+3) &= 0 \\ y=-1\ \text{atau}\ y=-3 &

\end{align}$
Untuk $y=-1$ kita peroleh $x=5+2y=5+2(-1)=3$, titik potong $(3,-1)$

Untuk $y=-3$ kita peroleh $x=5+2y=5+2(-3)=-1$, titik potong $(-1,-3)$

Jika kita gambarkan, titik potong garis dengan lingkaran dan segitiga yang disebutkan oleh soal, seperti berikut ini:

Jika garis $g:x-2y=5$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka luas segitiga yang dibentuk oleh $A$, $B$ dan pusat lingkaran adalah

Dari gambar di atas dapat kita hitung luas segitiga adalah luas setengah persegi dimana panjang sisi persegi adalah:
$\begin{align}
d &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ &= \sqrt{ \left(3-0 \right)^{2}+\left(-1-0 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{ 9+1} = \sqrt{10}
\end{align}$
Luas segitiga adalah $\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 5$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$

11. Soal SPMB 2005 Kode 580 |*Soal Lengkap

Lingkaran $L$ menyinggung sumbu-$x$, menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=4$ dan melalui titik $(4,6)$. Persamaan lingkaran $L$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & (x-4)^{2}+(y+6)^{2}=144 \\ (B)\ & (x-3)^{2}+(y-4)^{2}=5 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}-24x+44=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}-8x+6y+56=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan, ilustrasi apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini:

Lingkaran $L$ menyinggung sumbu-$x$, menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=4$ dan melalui titik $(4,6)$. Persamaan lingkaran $L$ adalah

  • Lingkaran yang akan kita kita tentukan misalkan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$ yaitu $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.
  • Lingkaran menyinggung sumbu-$x$ sehingga dengan pusat $(a,b)$, dapat kita tentukan bahwa $r=b$.
  • Pada segitiga $PQR$ dapat kita terapkan teorema phytagoras,
    $ \begin{align}

    OP^{2} & = OQ^{2}+PQ^{2} \\ (r+2)^{2} & = a^{2}+r^{2} \\ r^{2}+4r+4 & = a^{2}+r^{2} \\ 4r+4 & = a^{2}
    \end{align} $
  • Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ melalui titik $(4,6)$ sehingga berlaku:

    $ \begin{align}

    (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (4-a)^{2}+(6-b)^{2} &= r^{2} \\ a^{2}-8a+16+b^{2}-12b+36 &= r^{2} \\ \hline
    4r+4 = a^{2}\ \text{dan}\ b=r \\

    \hline
    4r+4-8a+16+r^{2}-12r+36 &= r^{2} \\ -8a+56 &= 8r \\ -a+7 &= r
    \end{align} $

Untuk $r=-a+7$ dan $4r+4 = a^{2}$ kita peroleh:
$\begin{align}
4r+4 &= a^{2} \\ 4(-a+7)+4 &= a^{2} \\ -4a+28+4 &= a^{2} \\ a^{2}+4a-32 &= 0 \\ (a+8)(a-4) &= 0 \\ a=-8\ \text{atau}\ a=4 &

\end{align}$
Dengan $a=4$, maka $b=r=-a+7=3$, sehingga persamaan lingkaran adalah:
$ \begin{align}

(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x-4)^{2}+(y-3)^{2} &= 3^{2} \\ x^{2}+y^{2}-8x-6y+16+9 &= 9 \\ x^{2}+y^{2}-8x-6y+16 &= 0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0 $

12. Soal UM-UGM 2004 Kode 111 |*Soal Lengkap

Diketahui sebuah lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+2y-24=0$. Jika melalui titik $P(1,6)$ dibuat garis singgung pada $L$ maka jarak dari $P$ ke titik singgung tadi adalah…
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
x^{2}+y^{2}+2y-24=0 &= 0 \\ A=0,\ B=2,\ C= -24 & \end{align}$

$\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ r^{2} &= \frac{1}{4}(0)^{2}+\frac{1}{4}(2)^{2}-(-24) \\ r^{2} &= 1+24 \\ r &= \sqrt{25}=5 \end{align}$

$\begin{align} \text{Pusat}\ & = \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\ & = \left (-\dfrac{1}{2}(0),-\dfrac{1}{2}(2) \right ) \\ & = \left (0 , -1 \right ) \\ \end{align}$

Jarak titik pusat $O \left (0 , -1 \right )$ ke $P\left (1 , 6 \right )$ adalah:
$\begin{align} OP & = \sqrt{\left (0-1 \right )^{2}+\left (-1-6 \right )^{2}} \\ & = \sqrt{1+49} \\ & = \sqrt{50} \\ \end{align}$

Karena garis singgung tegak lurus dengan jari-jari, sehingga berlaku teorema phytagoras antara titik pusat, titik singgung dan titik $P$. Jarak titik singgung ke titik $P\left (1 , 6 \right )$ adalah:
$\begin{align} d & = \sqrt{OP^{2}-r^{2}} \\ & = \sqrt{50-5^{2}} \\ & = \sqrt{25}=5 \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$

13. Soal SPMB 2006 Kode 621 |*Soal Lengkap

Lingkaran dengan persamaan $x^{2}+y^{2}-2px+q=0$, $p \gt 0$ dan yang berjari-jari $2$ akan menyinggung garis $x-y=0$ bila $p$ sama dengan…
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 2\sqrt{2} \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 4\sqrt{2} \\ (E)\ & 4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Jari-jari lingkaran $x^{2}+y^{2}-2px+q=0$ adalah $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ 2 &=\sqrt{\frac{1}{4}(-2p)^{2}+\frac{1}{4}(0)^{2}-(q)} \\ 2 &=\sqrt{p^{2}-q} \\ 4 &= p^{2}-q
\end{align}$

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2px+q=0$ menyinggung garis $y=x$ sehingga diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol;
$\begin{align}
x^{2}+(x)^{2}-2px+q &= 0 \\ 2x^{2}-2px+q &= 0 \\ \hline
D=b^{2}-4ac &= 0 \\ (-2p)^{2}-4(2)(q) &= 0 \\ 4p^{2}-8q &= 0 \\ p^{2}-2q &= 0 \\ p^{2}-q-q &= 0 \\ 4-q &= 0 \\ q &=4
\end{align}$

Untuk $q=4$ maka kita peroleh nilai $p$
$\begin{align}
4 &= p^{2}-q \\ 4 &= p^{2}-4 \\ 8 &= p^{2} \\ 2\sqrt{2} &= p
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\sqrt{2}$

14. Soal SPMB 2005 Kode 480 |*Soal Lengkap

Jika garis $y=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( 2x+5 \right)$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x-k=0$, maka $k=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -5\sqrt{5} \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & \sqrt{5} \\ (D)\ & 5\sqrt{5} \\ (E)\ & 5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x-k=0$ menyinggung garis $y=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( 2x+5 \right)$ sehingga diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol;
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x-k &= 0 \\ x^{2}+\left( \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( 2x+5 \right) \right)^{2}-4x-k &= 0 \\ x^{2}+\dfrac{1}{5} \left( 2x+5 \right)^{2}-4x-k &= 0 \\ 5x^{2}+ \left( 4x^{2}+20x+25 \right) -20x-5k &= 0 \\ 9x^{2}+25-5k &= 0 \\ \hline
D=b^{2}-4ac &= 0 \\ (0)^{2}-4(9)(25-5k) &= 0 \\ 0-900+180k &= 0 \\ 180k &= 900 \\ k &= \dfrac{900}{180}=5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$

15. Soal SPMB 2006 Kode 320 |*Soal Lengkap

Diketahui lingkaran berjari-jari $3$ dan berpusat di $(a,7)$ dengan $a$ bilangan bulat positif. Jika lingkaran tersebut menyinggung parabola $y=(a+2)+bx-x^{2}$ di titik puncak, maka $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Soal di atas adalah penggabungan materi lingkaran dan fungsi kuadrat, sehingga sedikit catatan tentang fungsi kuadrat mungkin perlu kita tampilkan yaitu:
Titik puncak parabola $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $\left( -\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \right)$

Lingkaran berjari-jari $3$ dan berpusat di $(a,7)$ menyinggung puncak parabola $y=(a+2)+bx-x^{2}$, kemungkinannya hanya berada pada satu posisi, ilustrasinya seperti berikut ini:

Diketahui lingkaran berjari-jari $3$ dan berpusat di $(a,7)$ dengan $a$ bilangan bulat positif. Jika lingkaran tersebut menyinggung parabola $y=(a+2)+bx-x^{2}$ di titik puncak, maka $b=\cdots$

Dari pusat lingkaran $(a,7)$ dan titik puncak parabola $\left( x_{p},y_{p} \right)$ dapat kita simpulan bahwa $x_{p}=a$ dan $y_{p}+3=7\ \rightarrow y_{p}=4$
$\begin{align}
x_{p} &= -\dfrac{b}{2a} \\ a &= -\dfrac{b}{2(-1)} \\ 2a &= b \\ \hline
y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ 4 &= -\dfrac{b^{2}-4(-1)(a+2)}{4(-1)} \\ 16 &= b^{2}+4a+8 \\ 0 &= b^{2}+4a-8 \\ 0 &= b^{2}+2(b)-8 \\ 0 &= (b+4)(b-2) \\ & b=-4\ \text{atau}\ b=2

\end{align}$
Karena $a$ bilangan bulat positif sehingga nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=2$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

16. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 |*Soal Lengkap

Diketahui dua buah lingkaran dengan titik pusat yang sama, berturut-turut berjari-jari $R_{1}$ dan $R_{2}$ dengan $R_{1} \gt R_{2}$. Jika panjang tali busur $AB=10$, maka selisih luas lingkaran tersebut adalah…

Soal dan Pembahasan SBMPTN Lingkaran

$\begin{align}
(A)\ & 10 \pi \\ (B)\ & 15 \pi \\ (C)\ & 20 \pi \\ (D)\ & 25 \pi \\ (E)\ & 30 \pi
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung Selisih luas lingkaran maka perhitungannya adalah;
$\pi R_{1}^{2}-\pi R_{2}^{2} $
$=\pi \left (R_{1}^{2}-R_{2}^{2} \right )$
Sampai pada perhitungan ini kita membutuhkan kuadrat selisih dari jari-jari lingkaran.

Soal dan Pembahasan SBMPTN Lingkaran

Dengan memperhatikan gambar diatas, $\bigtriangleup OAB$ adalah segitiga sama kaki. sehingga jika $OC$ merupakan garis tinggi, maka berlaku;
$\begin{align}
OA^{2} & = AC^{2}+OC^{2} \\ R_{1}^{2} & = 5^{2}+R_{2}^{2} \\ R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 5^{2} \\ R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 25
\end{align}$

Selisih luas kedua lingkaran adalah $ \pi \left(R_{1}^{2} – R_{2}^{2}\right) = \pi (25)= 25 \pi $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 25 \pi$

17. Soal SBMPTN 2016 Kode 234 |*Soal Lengkap

Titik $(0,b)$ adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran luar $x^{2}+y^{2}=16$ dan $(x-8)^{2}+(y-8)^{2}=16$ dengan sumbu $y$. Nilai $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4\sqrt{2} \\ (B)\ & 3\sqrt{2} \\ (C)\ & 2\sqrt{2} \\ (D)\ & 2\sqrt{3} \\ (E)\ & \sqrt{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Apa yang disampaikan pada soal jika kita gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini;

Soal dan Pembahasan SBMPTN Lingkaran

$g_{1}$ dan $g_{3}$ adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran, sehingga garis singgung persekutuan luar lingkaran memotong sumbu $y$ di dua titik kemungkinan.
Untuk mengetahui koordinat titik $(0,b)$ kita cari tahu persamaan $g_{1}$ atau $g_{3}$, dapat kita ketahui dengan menggunakan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat $(0,0)$, $r=4$ dan gradien $m$
$y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$

Untuk mengetahui gradien $g_{1}$ kita hitung dari gradien $g_{2}$ karena $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ sehingga gradiennya sama.
Gradien $g_{2}$

$\begin{align}
m_{2} & = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ m_{2} & = \frac{8-0}{8-2} \\ m_{2} & = 1 \\ m_{1} & = 1 \\ \end{align}$

Persamaan $g_{1}$ adalah

$y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$
$y=x\pm 4\sqrt{1+1}$
$y=x\pm 4\sqrt{2}$

Saat garis $g_{1}$ memotong sumbu $y$ sehingga $x=0$ maka $y= 4\sqrt{2}$ atau $y= -4\sqrt{2}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{2}$

18. Soal SBMPTN 2015 Kode 508 |*Soal Lengkap

Misalkan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C(8,1)$. Jika luas segiempat yang melalui $A,B,C,$ dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Apa yang disampaikan pada soal jika kita coba gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini;

Matematika Dasar Lingkaran (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Luas $PABC$ adalah $\left [ PACB \right ]=OA\cdot AC$
$OA \cdot AC=12$

Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ kita dapat nilai $r=OA$,
$\begin{align}
r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ & = \sqrt{\frac{1}{4}(-6)^{2}+\frac{1}{4}(-2)^{2}-k} \\ & = \sqrt{10-k}
\end{align}$

Begitu juga dari $\bigtriangleup OAC$ kita dapat nilai $AC$.
$\begin{align}
OA^{2}+AC^{2} & = OC^{2} \\ r^{2}+AC^{2} & = 5^{2} \\ AC^{2} & = 5^{2}-r^{2} \\ & = 25-\left (10-k \right ) \\ & = 15+k \\ AC & = \sqrt{15+k}
\end{align}$

$\begin{align}
OA\ \cdot AC & = 12 \\ \sqrt{10-k} \cdot \sqrt{15+k} & = 12 \\ (10-k) \cdot (15+k) & = 144 \\ 150-5k-k^{2} & = 144 \\ k^{2}+5k-6 & = 144 \\ (k+6)(k-1) & = 0
\end{align}$
Nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=-6$ atau $k=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

19. Soal SBMPTN 2014 Kode 572/523 |*Soal Lengkap

Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(-2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & x+2y+4=0 \\ (B)\ & x+3y+5=0 \\ (C)\ & x+y+3=0 \\ (D)\ & 2x+y+5=0 \\ (E)\ & 3x+y+7=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dua lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ jika kita gambarkan kurang lebih seperti gambar berikut:

Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(-2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah...

Untuk lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ mempunyai ciri-ciri khusus yaitu jika jari-jari $r=a$ maka titik pusat hanya ada 4 kemungkinan yaitu $(a,a)$ , $(-a,a)$, $(a,-a)$, dan $(-a,-a)$.

Baca :   Soal Kimia Sistem Koloid

Pada soal dikatakan lingkaran melalui titik $(-2,-1)$ maka lingkaran yang dimaksud berada pada kwadran III sehingga titik pusat adalah $(-a,-a)$ dan persamaan lingkarannya adalah $\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$.

karena lingkaran melaui titik $(-2,-1)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\left (-2+a \right )^{2}+\left (-1+a \right )^{2} & = a^{2} \\ 4-4a+a^{2}+1-2a+a^{2} & = a^{2} \\ a^{2}-6a+5 & = 0 \\ (a-5)(a-1) & = 0 \\ a= 5\ \text{atau}\ a = 1 &
\end{align}$

Untuk $a=5$, persamaan lingkaran adalah
$\begin{align}
\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2} &=a^{2} \\ \left (x+5 \right )^{2}+\left (y+5 \right )^{2} &=5^{2} \\ x^{2}+y^{2}+10x+10y+25 &=0
\end{align}$

Untuk $a=1$, persamaan lingkaran adalah
$\begin{align}
\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2} &=a^{2} \\ \left (x+1 \right )^{2}+\left (y+1 \right )^{2} &=1^{2} \\ x^{2}+y^{2}+2x+2y+1 &=0
\end{align}$

Untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, bisa dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran.

$\begin{array}{c|c|cc}
x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0 & \\ x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0 & (-) \\ \hline

8x+8y+24=0 & \\ x+ y+3=0

\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+y+3=0$

20. Soal SBMPTN 2014 Kode 532 |*Soal Lengkap

Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & x+y+1=0 \\ (B)\ & 2x+ y-3=0 \\ (C)\ & x-y-3=0 \\ (D)\ & x-2y+4=0 \\ (E)\ & 3x+y+5=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dua lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ jika kita gambarkan kurang lebih seperti gambar berikut:

Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah...

Untuk lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ mempunyai ciri-ciri khusus yaitu jika jari-jari $r=a$ maka titik pusat hanya ada 4 kemungkinan yaitu $(a,a)$ , $(-a,a)$, $(a,-a)$, dan $(-a,-a)$.

Pada soal dikatakan lingkaran melalui titik $(2,-1)$ maka lingkaran yang dimaksud berada pada kwadran IV sehingga titik pusat adalah $(a,-a)$ dan persamaan lingkarannya adalah $\left (x-a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$.

karena lingkaran melaui titik $(2,-1)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\left (2-a \right )^{2}+\left (-1+a \right )^{2} & = a^{2} \\ 4-4a+a^{2}+1-2a+a^{2} & = a^{2} \\ a^{2}-6a+5 & = 0 \\ (a-5)(a-1) & = 0 \\ a= 5\ \text{atau}\ a = 1 &
\end{align}$

Untuk $a=5$, persamaan lingkaran adalah
$\begin{align}
\left (x-a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2} &=a^{2} \\ \left (x-5 \right )^{2}+\left (y+5 \right )^{2} &=5^{2} \\ x^{2}+y^{2}-10x+10y+25 &=0
\end{align}$

Untuk $a=1$, persamaan lingkaran adalah
$\begin{align}
\left (x-a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2} &=a^{2} \\ \left (x-1 \right )^{2}+\left (y+1 \right )^{2} &=1^{2} \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y+1 &=0
\end{align}$

Untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, bisa dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran.

$\begin{array}{c|c|cc}
x^{2}+y^{2}-10x+10y+25=0 & \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y+1=0 & (-) \\ \hline

-8x+8y+24=0 & \\ -x+ y+3=0 & \\ x- y-3=0

\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x-y-3=0$

21. Soal SBMPTN 2014 Kode 512/514 |*Soal Lengkap

Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $2$ dan menyinggung $x-y=0$, maka nilai $a^{2}+b$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $r=2$
$\begin{align}
r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ 2 & = \sqrt{\frac{1}{4}(-2a)^{2}-b} \\ 4 & = a^{2}-b\ \cdots\ (1)
\end{align}$

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ menyinggung $y=x$ maka Diskriminan Persamaan Kuadrat persekutuan adalah nol.
$x^{2}+x^{2}-2ax+b=0$
$2x^{2}-2ax+b=0$

$\begin{align}
D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ (-2a)^{2}-4(2)(b) & = 0 \\ 4a^{2}-8b & = 0 \\ a^{2}-2b & = 0\ \cdots\ (2) \\ \end{align}$

Jika persamaan $(1)$ dan $(2)$ kita eliminasi maka;
$\begin{array}{c|c|cc}
a^{2}-b=4 & \\ a^{2}-2b=0 & (-) \\ \hline

b =4\ &\ a^{2}-b =4 \\ &\ a^{2}-4 =4 \\ &\ a^{2} =8 \\ a^{2}+b=12
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$

22. Soal UN Matematika IPA 2016 |*Soal Lengkap]

Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah…

$\begin{align}
(A)\ & 4x-3y=43 \\ (B)\ & 4x+3y=23 \\ (C)\ & 3x-4y=41 \\ (D)\ & 10x+3y=55 \\ (E)\ & 4x-5y=53
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ di titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ adalah;
$xx_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}Ax_{1}+\frac{1}{2}By+\frac{1}{2}By_{1}+C=0$

Persamaan garis singgung untuk lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah
$x(7)+y(-5)+\frac{1}{2}(-6)x+\frac{1}{2}(-6)(7)+\frac{1}{2}(4)y+\frac{1}{2}(4)(-5)-12=0$
$7x-5y-3x-21+2y-10-12=0$
$4x-3y=43$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x-3y=43$

23. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 |*Soal Lengkap]

Jika pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ dibuat garis singgung $g$ di titik $(0,1)$ dan garis singgung $h$ di titik $(0,3)$, maka garis $g$ dan $h$ berpotongan di titik…
$\begin{align}
(A)\ & (2,4) \\ (B)\ & (2,3) \\ (C)\ & (1,-1) \\ (D)\ & (1,1) \\ (E)\ & (1,2)

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $(0,1)$ adalah:

$x(0) +y(1)+\frac{1}{2}(2)(x+0)+\frac{1}{2}(-4)(y+(1))+3=0$
$y +x-2y-2+3=0$
$ x-y =-1$

Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $(0,3)$ adalah:

$x(0) +y(3)+\frac{1}{2}(2)(x+0)+\frac{1}{2}(-4)(y+(3))+3=0$
$3y +x-2y-6+3=0$
$ x+y =3$

Titik potong garis $g$ dan $h$ adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=-1 & \\ x+y =3 & (+) \\ \hline

2x =2 & \\ x =1 & \\ y=2
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1,2)$

24. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap]

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah …

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]

$\begin{align}
(A)\ & 18\pi+18 \\ (B)\ & 18\pi-18 \\ (C)\ & 14\pi+14 \\ (D)\ & 14\pi-15 \\ (E)\ & 10\pi+10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]

Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, sehingga gambar dapat kita sajikan seperti berikut;

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]

Dari gambar diatas luas irisan lingkaran adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning. Kita dapat menghitung luas daerah biru yang merupakan luas setengah lingkaran kecil karena $AC$ merupakan diameter lingkaran kecil.
$\begin{split}
L_{Biru} & = \dfrac{1}{2} \pi r^{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2} = \dfrac{1}{2} \pi (18)\\ & = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]

Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga;
$\begin{split}
L_{Juring\ ABC} & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\ & = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\ & = \frac{1}{4} \pi 36 = 9 \pi
\end{split}$

$\begin{split}
L_{ABC} & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\ & = 18 \\ \hline
L_{Tembereng} & = 9 \pi – 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran adalah $ L_{Biru} +L_{Tembereng}$ yaitu $9 \pi +9 \pi – 18=18 \pi – 18$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\pi-18$

25. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x+3y-5=0$ serta menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif adalah…
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}-10x+10y+25=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}-10x+10y-15=0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}+5x+10y+15=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}+5x-10y+15=0

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$

    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
  • Persamaan Umum Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

    $\Leftrightarrow $ Pusat $\left (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dengan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$

Lingkaran pada soal dideskripsikan menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $X$ positif, sehingga jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini:

Soal dan pembahasan lingkaran UTBK SAINTEK 2019

Dari gambar di atas, dapat kita misalkan pusat lingkaran adalah $(-a,a)$ dan jari-jari $a$. Karena garis $2x+3y-5=0$ melalui pusat lingkaran $(-a,a)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
2x+3y-5 &= 0 \\ 2(-a)+3(a)-5 &= 0 \\ a &= 5 \\ \hline
(x-a)^{2}+(y-b)^{2} &=r^{2} \\ (x+a)^{2}+(y-a)^{2} &=5^{2} \\ (x+5)^{2}+(y-5)^{2} &=5^{2} \\ x^{2}+10x+25+y^{2}-10y+25 &=25 \\ x^{2}+y^{2}+10x-10y+25 &=0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0$

26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Sebuah lingkaran memiliki pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $12$ dan menyinggung garis $3x+4y=5$. Nilai $3a+4b$ yang mungkin adalah…
$\begin{align}
(A)\ & -65\ \text{dan}\ 75 \\ (B)\ & -60\ \text{dan}\ 70 \\ (C)\ & -55\ \text{dan}\ 65 \\ (D)\ & -50\ \text{dan}\ 60 \\ (E)\ & -45\ \text{dan}\ 55

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$

    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
  • Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
    $d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$

Lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $12$ menyinggung garis $3x+4y-5=0$, sehingga jarak titik pusat $(a,b)$ ke garis $3x+4y-5=0$ adalah jari-jari lingkaran $r=12$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
d &=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ 12 &=\left| \dfrac{3a+4b-5}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\ 12 &=\left| \dfrac{3a+4b-5}{5} \right| \\ \hline
12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\ 60 &= 3a+4b-5 \\ 65 &= 3a+4b \\ \hline
-12 &= \dfrac{3a+4b-5}{5} \\ -60 &= 3a+4b-5 \\ -55 &= 3a+4b \\ \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -55\ \text{dan}\ 65$

27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui titk $P(4,a)$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$. Jika titik $P$ berada dalam lingkaran $L$, maka nilai $a$ yang mungkin adalah…
$\begin{align}
(A)\ & 1 \lt a \lt 3 \\ (B)\ & -3 \lt a \lt 5 \\ (C)\ & -5 \lt a \lt -3 \\ (D)\ & 3 \lt a \lt 5 \\ (E)\ & -5 \lt a \lt 3

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

Hubungan Titik $A(p,q)$ Pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \gt 0$ maka titik $A$ di luar $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K = 0$ maka titik $A$ tepat pada $L$;
  • Jika nilai $K=p^{2}+q^{2}+Ap+Bq+C$ dan $K \lt 0$ maka titik $A$ di dalam $L$;

Karena titik $P(4,a)$ dalam lingkaran $L:x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$, maka berlaku:
$\begin{align}
4^{2}+a^{2}-8(4)-2(a)+1 & \lt 0 \\ 16+a^{2}-32-2a+1 & \lt 0 \\ a^{2} -2a-15 & \lt 0 \\ (a+3)(a-5) & \lt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara alternatif pertidaksamaan kuadrat, nilai $a$ yang memenuhi adalah $-3 \lt a \lt 5$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -3 \lt a \lt 5$

28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika garis $y=mx+b$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$, maka nilai $b^{2}-m^{2}+1=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
  • Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
  • Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;

Karena garis $y=mx+b$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$, maka berlaku:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} & = 1 \\ x^{2}+(mx+b)^{2} & = 1 \\ x^{2}+ m^{2}x^{2}+2bmx+b^{2} & = 1 \\ \left(1+ m^{2} \right) x^{2}+2bmx+b^{2}-1 & = 0 \\ \hline
b^{2}-4ac & = 0 \\ \left( 2bm \right)^{2}-4\left(m^{2}+1 \right)\left(b^{2}-1 \right) & = 0 \\ 4b^{2}m^{2}-4 m^{2} b^{2}-4b^{2}+4m^{2}+4 & = 0 \\ -4\left( b^{2}-m^{2}-1 \right)& = 0 \\ b^{2}-m^{2}-1 & = 0 \\ b^{2}-m^{2}-1+2 & = 0+2 \\ b^{2}-m^{2}+1 & = 2 \\ \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$ menyinggung garis $ax+by=2b$, maka $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & \dfrac{3}{4} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Jika nilai $D \gt 0$ maka garis memotong lingkaran;
  • Jika nilai $D = 0$ maka garis menyinggung lingkaran;
  • Jika nilai $D \lt 0$ maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran;

Karena garis $y=2-\dfrac{ax}{b}$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$, maka berlaku:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} & = 1 \\ x^{2}+\left( 2-\dfrac{ax}{b} \right)^{2} & = 1 \\ x^{2}+4+ \dfrac{a^{2}x^{2}}{b^{2}} – \dfrac{4ax}{b} & = 1 \\ \left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right) x^{2} – \dfrac{4a}{b}x + 3 & = 0 \\ \hline
D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ \left( \dfrac{4a}{b} \right)^{2}-4\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right)\left( 3 \right) & = 0 \\ \dfrac{16a^{2}}{b^{2}} -12 \left( \dfrac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}} \right) & = 0 \\ \dfrac{16a^{2}-12b^{2}-12a^{2}}{b^{2}} & = 0 \\ 4a^{2}-12b^{2} & = 0 \\ a^{2} & = 3b^{2}\\ \hline
\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} & = \dfrac{3b^{2}}{3b^{2}+b^{2}} \\ & = \dfrac{3b^{2}}{4b^{2}} = \dfrac{3 }{4}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3 }{4}$

30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+2y=0 $ yang tegak lurus dengan garis $x+2y=5$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & y=2x-2 \\ (B)\ & y=2x-6 \\ (C)\ & y=2x-8 \\ (D)\ & y=2x-10 \\ (E)\ & y=2x-12 \\

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

Jika diketahui gradien garis singgung lingkaran $(m)$

  • Persamaan Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$

    $\Leftrightarrow $ PGS: $y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
  • Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

    $\Leftrightarrow $ PGS: $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

Karena garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+2y=0 $ tegak lurus dengan garis $x+2y=5$ ($m=-\dfrac{1}{2}$), maka gradien garis singgung lingkaran adalah $m_{1} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) =-1\ \Leftrightarrow m_{1}=2$.
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4x+2y &= 0 \\ x^{2}-4x+y^{2}+2y &= 0 \\ (x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1 &= 0 \\ (x-2)^{2} +(y+1)^{2} &= 5
\end{align}$

Persamaan garis singgung lingkaran dengan $m=2$ adalah:
$\begin{align}
y-b & = m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1} \\ y+1 & = 2(x-2)\pm \sqrt{5} \sqrt{2^{2}+1} \\ y+1 & = 2 x-4 \pm 5 \\ y & = 2 x-5 \pm 5 \\ \hline
y & = 2 x-5 – 5 \\ y & = 2 x-5 + 5 \\ \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=2x-10$

31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Sebuah lingkaran memiliki pusat $(a,b)$ dengan $a,b \gt 3$, menyinggung garis $3x+4y=12$. Jika lingkaran tersebut berjari-jari $12$, maka $3a+4b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 24 \\ (B)\ & 36 \\ (C)\ & 48 \\ (D)\ & 60 \\ (E)\ & 72

\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$

    $\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
  • Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
    $d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$

Lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $12$ menyinggung garis $3x+4y-12=0$, sehingga jarak titik pusat $(a,b)$ ke garis $3x+4y-12=0$ adalah jari-jari lingkaran $r=12$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
d &=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ 12 &=\left| \dfrac{3a+4b-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\ 12 &=\left| \dfrac{3a+4b-12}{5} \right| \\ \end{align}$
Karena $a,b \gt 3$ maka $3a+4b-12 \gt 0$, sehingga berlaku:

$\begin{align}
12 &= \dfrac{3a+4b-12}{5} \\ 60 &= 3a+4b-12 \\ 72 &= 3a+4b
\end{align}$

Baca :   Sebuah Tongkat Yang Panjangnya 40 Cm

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 72$

32. Soal UM UGM 2014 Kode 531/532 |*Soal Lengkap

Jika garis $y=mx+k$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+24=0$ di titik $(8,-4)$, maka nilai $m+k$ adalah…
$\begin{align}
(A)\ & -26 \\ (B)\ & -25 \\ (C)\ & -24 \\ (D)\ & -23 \\ (E)\ & -22
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+24=0$ bersinggungan dengan garis $y=mx+k$ di titik $(8,-4)$ maka jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat $(5,-3)$ ke garis $y=mx+k$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ \sqrt{\frac{1}{4}(-10)^{2}+\frac{1}{4}(6)^{2}-24} & = \left| \dfrac{(m)(5)+(-1)(-3)+k}{\sqrt{(m)^{2}+(-1)^{2}}} \right| \\ \sqrt{25+9-24} & = \left| \dfrac{5m+3+k}{\sqrt{(m^{2}+1}} \right| \\ \sqrt{10} & = \left| \dfrac{5m+3+k}{\sqrt{(m^{2}+1}} \right| \\ \sqrt{10m^{2}+10} & = 5m+3+k
\end{align}$
Garis $y=mx+k$ melalui titik $(8,-4)$ sehingga $-4=8m+k$ atau $k=-4-8m$,

$\begin{align}
\sqrt{10m^{2}+10} & = 5m+3+k\\ \sqrt{10m^{2}+10} & = 5m+3-4-8m\\ \sqrt{10m^{2}+10} & = -1-3m\\ 10m^{2}+10 & = \left( -1-3m \right)^{2}\\ 10m^{2}+10 & = 9m^{2}+6m+1 \\ m^{2}-6m+9 & = 0 \\ \left( m-3 \right)^{2} & = 0 \\ m & = 3
\end{align}$
Untuk $m=3$ kita peroleh $k=-4-8m=-4-8(3)=-28$, sehingga nilai $m+k=3-28=-25$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -25$

33. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap

Bilangan $A \gt 0$ sehingga lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ mempunyai jari-jari $A+1$ adalah…
$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ jari-jarinya adalah $A+1$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ A+1 &=\sqrt{ \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 }\\ \left( A+1 \right)^{2} &= \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 \\ A^{2}+2A+1 &= 1+4A^{2}-40 \\ 0 &= 3A^{2}-2A-40 \\ 0 &= \left ( 3A+10 \right ) \left ( A-4 \right )\\ & A=-\frac{10}{3}\ \text{atau}\ A=4 \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$

34. Soal UM-UGM 2018 Kode 576 |*Soal Lengkap

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu-$x$ di $\left( 1,0 \right)$ dan $\left( 3,0 \right)$. Jika lingkaran tersebut menyingung sumbu-$y$, maka titik singgung yang mungkin adalah…
$\begin{align} (A)\ & \left( 0,1 \right) \\ (B)\ & \left( 0,2 \right) \\ (C)\ & \left( 0,\sqrt{3} \right) \\ (D)\ & \left( 0,\sqrt{5} \right) \\ (E)\ & \left( 0,3 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ melalui titik $\left( 1,0 \right)$, $\left( 3,0 \right)$ dan menyinggung sumby-$y$ kita misalkan di titik $\left( 0,p \right)$, sehingga dapat kita tuliskan:

  • Lingkaran melalui titik $ \left( 1,0 \right)$, kita peroleh $( 1)^{2}+(0)^{2}+A( 1)+B(0)+C= 0$ sehingga $ A +C =-1$
  • Lingkaran melalui titik $ \left( 3,0 \right)$, kita peroleh $(3)^{2}+(0)^{2}+A(3)+B(0)+C= 0$ sehingga $3A +C =-9$
  • Lingkaran melalui titik $\left( 0,p \right)$, kita peroleh $(0)^{2}+(p)^{2}+A(0)+B(p)+C= 0$ sehingga $ p^{2}+Bp+C=0$

Dengan proses eliminasi atau substitusi pada persamaan $ A +C =-1$, dan $3A +C =-9$ kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
A+C=-1 & \\ 3A+C=-9 & (-) \\ \hline 2A = -8\ & \\ A = -4 & C=3 \end{array} $

Untuk $A=-4$ dan $C=3$ kita peroleh lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+By+3=0$. Lingkaran menyinggung sumbu-$y$ di $\left( 0,p \right)$ sehingga pusatnya adalah $\left( 2,p \right)$ dan $r= 2$.

Jika kita gambarkan keadaan lingkarannya seperti berikut ini:

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu-$x$ di $\left( 1,0 \right)$ dan $\left( 3,0 \right)$. Jika lingkaran tersebut menyingung sumbu-$y$, maka titik singgung yang mungkin adalah

Dari pusat lingkaran $\left( 2,p \right)$ maka $-\frac{1}{2}B=p$ atau $B=-2p$, dan untuk jari-jari $r= 2$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} r &= \sqrt{ \dfrac{1}{4}A^{2} + \dfrac{1}{4}B^{2}- C } \\ 2 &= \sqrt{ \dfrac{1}{4}(-4)^{2} + \dfrac{1}{4}(-2p)^{2}-3 } \\ 4 &= 4 + p^{2} – 3 \\ p^{2} &= 3 \rightarrow p=\pm \sqrt{3} \end{align}$

titik potong terhadap sumbu-$y$ adalah $\left( 0, \sqrt{3} \right)$ dan $\left( 0, -\sqrt{3} \right)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( 0,\sqrt{3} \right)$

35. Soal UM-UGM 2018 Kode 276 |*Soal Lengkap

Diberikan garis $y=\dfrac{x}{3}$ dan $y=3x$. Persamaan lingkaran yang menyinggung dua garis tersebut, berpusat di $\left( -a,-a \right)$, $a \gt 0$, dan berjari-jari $\dfrac{6}{\sqrt{10}}$ adalah…
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}+6x+6y+\frac{72}{5}=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}+6x+6y+\frac{82}{5}=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}+8x+8y+\frac{72}{5}=0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}+9x+9y+\frac{62}{5}=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}+9x+9y+\frac{82}{5}=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Lingkaran yang menyinggung garis $y=\dfrac{x}{3}$ dan $y=3x$ memiliki jari-jari $r=\dfrac{6}{\sqrt{10}}$ sehingga jarak titik pusat $\left( -a,-a \right)$ ke garis $ y=3x$ adalah $\dfrac{6}{\sqrt{10}}$.

$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(-3)(-a)+(1)(-a)+(0)}{\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\ \dfrac{6}{\sqrt{10}} &= \left| \dfrac{3a-a}{\sqrt{10}} \right| \\ \dfrac{6}{\sqrt{10}} &= \left| \dfrac{2a}{\sqrt{10}} \right| \\ a &= \pm 3 \end{align}$

Nilai $a \gt 0$, nilai $a=3$ sehingga pusat lingkaran adalah $\left( -3,-3 \right)$ dan dengan $r=\dfrac{6}{\sqrt{10}}$ persamaan lingkaran adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x+3 \right)^{2}+\left( y+3 \right)^{2} &= \left( \frac{6}{\sqrt{10}} \right)^{2} \\ x^{2}+6x+9+y^{2}+6y+9 &= \dfrac{36}{10} \\ x^{2} +y^{2}+6x +6y+18- \dfrac{36}{10}&= 0 \\ x^{2}+y^{2}+6x+6y+\frac{72}{5} &= 0 \end{align}$

Jika kita gambarkan keadaan lingkaran dan garisnya seperti berikut ini:

Diberikan garis $y=\dfrac{x}{3}$ dan $y=3x$. Persamaan lingkaran yang menyinggung dua garis tersebut, berpusat di $\left( -a,-a \right)$, $a \gt 0$, dan berjari-jari  $\dfrac{6}{\sqrt{10}}$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}+6x+6y+\frac{72}{5}=0$

36. Soal UM-UGM 2017 Kode 714 |*Soal Lengkap

Titik pusat lingkaran $L$ terletak di kuadran I dan terletak pada garis $y=2x+1$. Jika lingkaran $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $\left( 0,11 \right)$ maka persamaan lingkaran L adalah…
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}-5x-11y=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}+5x+11y-242=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}-10x-22y+121=0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}-5x+11y=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}+10x+22y-363=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Lingkaran L yang menyinggung sumbu-$y$ di titik $\left( 0,11 \right)$ sehingga titik pusatnya dapat kita misalkan adalah $\left( p,11 \right)$ dan jari-jari $r=p$. Karena titik pusat berada di garis $y=2x+1$ maka berlaku $11=2p+1$ atau $p=5$.

Dengan titik pusat lingkaran L adalah $\left( 5,11 \right)$ dan jari-jari $r=5$ persamaan lingkaran adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-5 \right)^{2}+\left( y-11 \right)^{2} &= 5^{2} \\ x^{2}-10x+25+y^{2}-22y+121 &= 25 \\ x^{2} +y^{2}-10x-22y+ 121 &= 0 \end{align}$

Jika kita gambarkan keadaan lingkaran dan garisnya seperti berikut ini:

Titik pusat lingkaran $L$ terletak di kuadran I dan terletak pada garis $y=2x+1$. Jika lingkaran $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $\left( 0,11 \right)$ maka persamaan lingkaran L adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-10x-22y+121=0$

37. Soal UM-UGM 2017 Kode 738 |*Soal Lengkap

Sebuah lingkaran dengan pusat $P \left( 2,3 \right)$ dan menyinggung garis $4x+3y -7 = 0$, maka persamaan lingkaran ialah…
$\begin{align} (A)\ & \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 4 \\ (B)\ & \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-7 \right)^{2} = 14 \\ (C)\ & \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 7 \\ (D)\ & \left( x-4 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 4 \\ (E)\ & \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-2 \right)^{2} = 27 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Lingkaran yang berpusat di $P \left( 2,3 \right)$ dan meyinggung garis garis $4x+3y -7 = 0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $P \left( 2,3 \right)$ ke garis $4x+3y -7 = 0$.

$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(4)(2)+(3)(3)+(-7)}{\sqrt{(4)^{2}+(3)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{10}{\sqrt{16+9}} \right|= \left| \dfrac{10}{5} \right|= 2 \end{align}$

Lingkaran pusatnya $P \left( 2,3 \right)$ dan $r=2$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} &= 4 \end{align}$

Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini:

Sebuah lingkaran dengan pusat $P \left( 2,3 \right)$ dan menyinggung garis $4x+3y -7 = 0$, maka persamaan lingkaran ialah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 4$

38. Soal UM-UGM 2016 Kode 582 |*Soal Lengkap

Diketahui $\left( 1,p \right)$ berada pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-2y=0$. Persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 1,p \right)$ dan menyinggung garis $px+y=4$ adalah…
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}-2x-2y-2=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}-2x-2y-1=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}-2x-2y=0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}-2x+2y-2=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}-2x+2y-1=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik $\left( 1,p \right)$ berada pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-2y=0$ sehingga dapat kita tuliskan

$\begin{align} x^{2}+y^{2}-2y &= 0 \\ 1^{2}+p^{2}-2p &= 0 \\ p^{2}-2p+1 &= 0 \\ p^{2}-2p+1 &= 0 \\ \left( p-1 \right)\left( p-1 \right) &= 0 \\ p=1 & \end{align}$

Untuk $p=1$ kita peroleh pusat lingkaran $\left( 1,1 \right)$ yang menyinggung garis $x+y=4$ jari-jarinya adalah jarak titik pusat $ \left( 1,1 \right)$ ke garis $x+y = 4$.

$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(1)(1)+(1)(1)+(-4)}{\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-2}{\sqrt{1+1}} \right|= \dfrac{2}{\sqrt{2}} \end{align}$

Lingkaran pusatnya $\left( 1,1 \right)$ dan $r=\dfrac{2}{\sqrt{2}}$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-1 \right)^{2}+\left( y-1 \right)^{2} &= \left( \dfrac{2}{\sqrt{2}} \right)^{2} \\ x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1 &= 2 \\ x^{2} +y^{2}-2x -2y &= 0 \end{align}$

Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini:

Diketahui $\left( 1,p \right)$ berada pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-2y=0$. Persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 1,p \right)$ dan menyinggung garis $px+y=4$ adalah

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-2x-2y=0$

39. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal Lengkap

Persamaan lingkaran lingkaran yang berpusat di titik $P\left( -2,3 \right)$ dan menyinggung garis $4x-3y +2 = 0$ mempunyai persamaan…
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y-3=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y+4 =0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y+12=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Lingkaran yang berpusat di $P \left( -2,3 \right)$ dan meyinggung garis garis $4x-3y +2 = 0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $P \left( -2,3 \right)$ ke garis $4x-3y +2 = 0$.

$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(4)(-2)+(-3)(3)+(2)}{\sqrt{(4)^{2}+(-3)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-15}{\sqrt{16+9}} \right|= \left| \dfrac{-15}{5} \right|= 3 \end{align}$

Lingkaran pusatnya $P \left( 2,3 \right)$ dan $r=2$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x+2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} &= (3)^{2} \\ x^{2}+4x+4+y^{2}-6y+9 &= 9 \\ x^{2}+y^{2}+4x-6y+4 &= 0 \\ \end{align}$

Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini:

Persamaan lingkaran lingkaran yang berpusat di titik $P\left( -2,3 \right)$ dan menyinggung garis $4x-3y +2 = 0$ mempunyai persamaan

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$

40. Soal UM UNDIP 2018 Kode 730 |*Soal Lengkap

Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-13=0$ dan menyinggung garis $3x+4y+9=0$ mempunyai persamaan…
$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}-6x+4y+4 =0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}-6x+4y+9=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}-6x+4y+12=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Pusat lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-13=0$ adalah $\left( -\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B \right)= \left( 3,-2 \right)$.

Lingkaran dengan titik pusat $\left( 3,-2 \right)$ dan menyinggung garis garis $3x+4y+9=0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $\left( 3,-2 \right)$ ke garis $3x+4y+9=0$.

$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(3)(3)+(4)(-2)+(9)}{\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{10}{\sqrt{9+16}} \right|= \left| \dfrac{10}{5} \right|= 2 \end{align}$

Lingkaran pusatnya $\left( 3,-2 \right)$ dan $r=2$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-3 \right)^{2}+\left( y+2 \right)^{2} &= (2)^{2} \\ x^{2}-6x+9+ y^{2}+4y+4 &= 4 \\ x^{2}+y^{2}-6x+4y+9 &= 0 \\ \end{align}$

Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini:

Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-13=0$ dan menyinggung garis $3x+4y+9=0$ mempunyai persamaan

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+y^{2}-6x+4y+9=0$

41. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $\left(a,b \right)$ dan memotong sumbu-$X$ di titik $\left( 3,0 \right)$ dan $\left( 9,0 \right)$. Jika garis yang melalui titik $\left( 0,3 \right)$ menyinggung lingkaran di titik $\left( 3,0 \right)$, maka nilai dari $a^{2}-b^{2}$ adalah…
$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 18 \\ (C)\ & 27 \\ (D)\ & 36 \\ (E)\ & 45 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan lingkaran dan garis yang disebutkan oleh soal, seperti berikut ini:

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $\left(a,b  \right)$ dan memotong sumbu-$X$ di titik $\left( 3,0  \right)$ dan $\left( 9,0  \right)$. Jika garis yang melalui titik $\left( 0,3  \right)$ menyinggung lingkaran di titik $\left( 3,0  \right)$, maka nilai dari $a^{2}-b^{2}$ adalah

Persamaan garis yang melalui titik $A\left( 0,3 \right)$ dan $B\left( 3,0 \right)$ adalah garis $AB$ yaitu:
\begin{align} \dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} &= \dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} \\ \dfrac{x-0}{3-0} &= \dfrac{y-3}{0-3} \\ -3x &= 3y-9 \\ -3x &= 3y-9 \\ y &= 3-x \end{align}

Garis $AB$ menyinggung lingkaran dan $BP$ merupakan jari-jari lingkaran sehingga $AB \perp BP$ dan kita peroleh:
\begin{align} m_{AB} \cdot m_{BP} &= -1 \\ -1 \cdot \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}&= -1 \\ \dfrac{b-0}{a-3}&= 1 \\ b &= a-3 \end{align}

Jari-jari lingkaran $BP$ dan $PC$, sehingga berlaku:
\begin{align} \left| BP \right| &= \left| PC \right| \\ \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ \left( a-3 \right)^{2}+\left( b-0 \right)^{2} &= \left( a- 9 \right)^{2}+\left( b- 0 \right)^{2} \\ \left( a-3 \right)^{2} &= \left( a- 9 \right)^{2} \\ a^{2}-6a+9 &= a^{2}-18a+81 \\ 12a &= 72 \\ a &= 6 \rightarrow b= 3 \\ \hline a^{2}-b^{2} &= 36-9=27 \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 27$

42. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 |*Soal Lengkap

Diketahui persegi dengan panjang sisi $12$ dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis $CE$ menyinggung lingkaran di titik $F$. Panjang garis $CE$ adalah…

Soal dan Pembahasan Matematika SMA, SBMPTN 2016 KOde 249 Diketahui persegi dengan panjang sisi $12$ dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis $CE$ menyinggung lingkaran di titik $F$. Panjang garis $CE$ adalah

$\begin{align}
(A)\ & 9\sqrt{2} \\ (B)\ & 13 \\ (C)\ & 15 \\ (D)\ & 9\sqrt{3} \\ (E)\ & 16 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, jika kita misalkan $EA=x$ maka kita peroleh $ED=12-x$ dan unsur lain dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Matematika SMA, SBMPTN 2016 KOde 249 Diketahui persegi dengan panjang sisi $12$ dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis $CE$ menyinggung lingkaran di titik $F$. Panjang garis $CE$ adalah

Dari gambar di atas kita peroleh bahwa $\bigtriangleup OBC$ kongruen dengan $\bigtriangleup OCF$ sehingga dengan $BC=12$ kita peroleh $CF=12$.

Begitu juga dengan $\bigtriangleup AOE$ kongruen dengan $\bigtriangleup OEF$ sehingga sehingga dengan $AE=x$ kita peroleh $EF=x$

Dari segitiga siku-siku $ECD$ kita peroleh:
$\begin{align}
EC^{2} & = ED^{2}+CD^{2} \\ \left( EF+FC \right)^{2} & = ED^{2}+CD^{2} \\ \left( x+12 \right)^{2} & = \left( 12-x \right)^{2}+12^{2} \\ x^{2}+24x+144 & = x^{2}-24x+144+144 \\ 24x & = -24x+144 \\ 24x+24x & = 144 \\ 48x & = 144\ \\ x & = \dfrac{144}{48}=3 \end{align}$

Untuk $x=3$ kita peroleh $EC=x+12=3+12=15$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 15$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Lingkaran di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Lingkaran silahkan disampaikan 🙏
CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan
JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! – WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Contoh Soal Persamaan Lingkaran Kelas 11

Sumber: https://www.defantri.com/2017/03/matematika-dasar-lingkaran.html

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …