Contoh Soal Perkalian Vektor Matematika Dan Pembahasannya

Utakatikotak
~ Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah.

Vektor dapat dituliskan dalam huruf kecil dan besar, atau dengan dua huruf seperti berikut :

Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah, yaitu panjang panah menunjukkan nilai atau besarnya vektor dan arah anak panah menunjukkan arah vektor.

Penjumlahan vektor

Jikaa=(a₁, a₂) danb=(b₁, b₂). Makaa+ bdidefinisikan

a+ b= (a₁+b₁, a₂+b)

Sifat-sifat vektor

a.      Komutatif

a+ b= b+ a

b.      Assosiatif

a+ ( b+ c)=(a+ b)+ c

c.      Memiliki elemen satuan atau elemen identitas

a+ 0 = 0 +a= a

d.      Memiliki elemen inverse

a+ (-a)=(-a)+ a= 0

e.      Distributive dengan perkalian skalar

K(a+ b)= ka+kb ,dengan k= skalar

Baca juga :

Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal

Vektor Posisi, Penyajian Vektor, dan Panjang Vektor

3.      Hasil kali titik

Didefinisikan jika vektora=(a₁, a₂, a₃) danb=(b₁, b₂, b₃), maka hasil kali titik dariadanb adalah:

Bilangan atau scalara.byang diberikan oleh:

a.b= a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

sifat-sifat hasilkali titik:

a.a.a= |a|²

b.a.b=b.a

c.a.(b +c)=a.b +ac

Contoh Soal dan Pembahasan :

1. Diketahui vektor
a =
8
i
+
6
j dan vektor b =
3
i –
9
j , Tentukan :

a.
1/2 a
+
b

b.
1/2
a
–
b

Jawab =

a. 1/2 a
+
b =1/2 (8
i
+
6
j )+ ( 3
i –
9
j )

                   =  (
4 i
+3 j )+ ( 3
i –
9
j )

                   =  (
4 i
+3 i )+ ( 3 j –
9
j )

                   =
7 i
– 6 j

b.1/2 a
– b =1/2 (8
i
+
6
j ) – ( 3
i –
9
j )

                   =  (
4 i
+3 j ) – ( 3
i –
9
j )

                   =  (
4 i
–3 i )+ ( 3 j +9
j )

                   =
 i + 12 j

2. Diketahui vektor
a =
2 i
– 3 j dan vektor b =
-4 i – j , dan
vektor
c =–i + 2
 j
Tentukan vektor- vektor berikut nyatakan hasilnya dalam vektor – vektor basis
i
dan
j
:

a.

a
– b + c

b.
 a
+ 2 b – c

Jawab :

a.a
– b
+
c
=
(2 i
– 3 j
) – ( -4 i – j
) + ( –i
+ 2 j
)

    =
(2 i
+ 4 i
–
i
– 3 j
+
j+ 2 j
)

= –
i

b.a
+ 2 b
– c
=
(2 i
– 3 j
) + 2 ( -4 i
– j
) – ( –i
+
2
 j
)

 = ( 2 i
– 3 j
)
+ ( – 8 i
– 2
j
) – ( –i
+ 2 j
)

 = ( 2
i– 8
i
+
i
– 3
j
– 2
j
– 2
j )

= 9
i –
3
j

3. Diketahui Vektor
a
=
i
+ 3
j
– 2
k
dan vektor
b=  4i – 2j
+ 4k.
Hitunglah

a. |a|, |b|,
dan
a.b

b. Tentukan besar sudut antara vektor
a
dengan vektor
b.

Jawab :

a.  |a| = √(1²+ 3²+ (-2)²)

            ⁼√(1+ 9+ 4)

          = √(14)

    |b| = √(4²+ (-2)²+ 4²)

            ⁼√(16+ 4+ 16)

          = √(36)

          = 6

a.b
= a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

           _{= ( 1 . 4 ) + ( 3 . (-2)) + ( (-2)  . 4)}

           _{= 4 – 6 – 8}

           _{= -10}

_b.
a.b =
|a||b|
cos α

    – 10 = √(14) . 6 . cos α

cos α = – 10 / 6√(14)

α = 63,5

Baca juga :

Vektor : Contoh Soal dan Pembahasannya

Apa itu Besaran Skalar dan Besaran Vektor ?