Contoh Soal Menggambar Grafik Fungsi

Postingan ini membahas contoh soal fungsi kuadrat dan pembahasannya + jawabannya. Lalu apa itu fungsi kuadrat ?. Suatu fungsi
f
pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukan oleh f(x) = ax²
+ bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Ada dua cara menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu dengan menggunakan tabel koordinat bebarapa titik dan menggunakan titik-titik penting yang dilalui grafik. Titik-titik penting tersebut adalah titik potong grafik dengan sumbu 10, titik potong grafik dengan sumbu Y dan titik balik.

Berdasarkan nilai diskriminannya (D = bⁱⁱ
– 4ac), grafik fungsi kuadrat (y = ax²
+ bx + c) ) terdiri dari 6 kemungkinan yaitu sebagai berikut.

1. Jika a > 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. Jenis titik baliknya minimum.
2. Jika a > 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di satu titik atau menyinggung sumbu X. Jenis titik baliknya minimum.
3. Jika a > 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit positif). Jenis titik baliknya minimum.
4. Jika a < 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu Ten di dua titik berbeda. Jenis titik baliknya maksimum.
5. Jika a < 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu 10 dan titik baliknya maksimum.
6. Jika a < 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit negatif) dan titik baliknya maksimum.

Rumus yang berlaku pada fungsi kuadrat sebagai berikut.

Contoh soal fungsi kuadrat

Contoh soal one

Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat f(x) = ten²
+ 4x – 21 pada himpunan bilangan nyata.

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menggambar
grafik fungsi kuadrat
sebagai berikut:

Menentukan titik potong sumbu 10 dengan cara pemfaktoran:

tentwo
+ 4x – 21 = 0

(xi
+ 7) (102
– 3) = 0

xone
= -vii dam x2
= 3

Titik potong pada sumbu X adalah A(-7 ; 0) dan B ((3 ; 0)

Menentukan titik potong sumbu Y dengan subtitusi x = 0 atau f(0)

f(x) = xii
+ 4x – 21

f(0) = 0two
+ four . 0 – 21 = -21

Jadi titik potong sumbu Y adalah (0 ; -21)

Menentukan titik balik (xp
, yp) dengan rumus dibawah ini:

xp
=

-b

2a

=

-4

two . i

= – two.

yp
=

– D

iv . a

=

– (b2
– four . a . c)

4 . a

yp
=

– (42
– four . 1 . -21)

4 . 1

= – 25.

Jadi titik balik (-2 ; -25)

Dengan demikian gambar grafik kuadrat soal nomor 1 sebagai berikut:

---

Contoh soal 2

Selidikilah apakah grafik fungsi berikut memotong sumbu X, menyinggung sumbu X atau tidak memotong sumbu X.

1. y = x²
   + 9x + 20
2. y = 2x^two
   – 3x + i

Pembahasan / penyelesaian soal

1. a = 1 dan D = b^two
   – 4ac = nine^two
   – four . i . twenty = 81 – eighty = one. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
2. a = 2 dan D = b²
   – 4ac = -three²
   – 4 . 2 . i = 9 – 8 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.

---

Contoh soal three

Selidiki apakah fungsi kuadrat dibawah ini tergolong definit positif, definit negatif atau bukan keduanya.

1. y = 3x²
   – 4x – two
2. y = 4x²
   – 3x + 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Definit positif jika a > 0 dan D < 0 sedangkan definit negatif jika a < 0 dan D < 0.

1. a = 3 dan D = b²
   – 4ac = (-4)^two
   – 4 . 3 . -ii = 16 + 24 = 40. Karena a > 0 dan D > 0 maka fungsi kuadrat bukan definit positif dan bukan definit negatif (bukan keduanya).
2. a = 1 dan D = b²
   – 4ac = (-iii)ⁱⁱ
   – 4 . 4 . v = 9 – 80 = – 71. Karena a > 0 dan D < 0 maka fungsi kuadrat definit positif.

---

Contoh soal Fungsi kuadrat pilihan ganda (PG)

Contoh soal 1

Persamaan sumbu simetri dari f(10) = half dozen – 5x – x²
adalah …
A. x = -2
B. ten = 2
C. 10 = -2

D. 10 = three
Eastward. ten = five

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

• a = -1
• b = -5
• c = 6

Cara menjawab soal ini yaitu dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri yaitu sebagai berikut.

→ Pers. sumbu simetri = –

b

2a

→ Pers. sumbu simetri = –

-v

ii . -i

= -2

i

ii

Soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 2

Grafik fungsi f(x) = tenⁱⁱ
+ 4x – 30 simetris terhadap garis x = a. Nilai a = …
A. -iv
B. -2
C. -1
D. ii
East. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri diperoleh hasil sebagai berikut.

→ 10 = –

b

2a

→ a = –

iv

2 . i

= -two

Soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal 3

Nilai 1000 agar grafik fungsi y = (m – i)10ⁱⁱ
– 2mx + (1000 – 3) selalu berada dibawah sumbu X (definit negatif) adalah …
A. one thousand = 1
B. m > i
C. thou < i
D. m > 3/4
Due east. m < 3/4

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

• a = grand – 1
• b = -2m
• c = thou – 3

Syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0.

• a < 0
• thou – ane < 0
• g < i
• D < 0
• b²
  – 4ac < 0
• (-2m)ⁱⁱ
  – iv (m – ane) (m – 3) < 0
• 4m²
  – 4 (chiliad²
  – 4m + iii) < 0
• 4m²
  – 4m2 + 16m – 12 < 0
• 16m – 12 < 0
• 16m < 12
• m <
  
• m < 3/4

Syarat 1 dan 2 terpenuhi sehingga kita tentukan irisannya yaitu sebagai berikut.

Jadi nilai m < iii/4. Soal ini jawabannya Eastward.

---

Contoh soal 4

Koordinat titik balik grafik y = x²
– 6x + 8 adalah …
A. (three, -1)
B. (-3, -i)
C. (4, 2)
D. (vi, viii)
E. (-6, 8)

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

• a = 1
• b = -6
• c = 8

Dengan menggunakan rumus koordinat titik balik diperoleh hasil sebagai berikut.

→ 10 = –

b

2a

→ x = –

-6

two . ane

= 3

→ y = –

D

4a

→ y = –

bⁱⁱ
– 4ac

4a

→ y = –

(-6)ⁱⁱ
– 4 . 1 . 8

four . 1

→ y = –

36 – 32

4

= -ane

Jadi koordinat titik balik (iii, -ane). Soal ini jawabannya A.

---

Contoh soal five

Koordinat titik balik fungsi kuadrat f(10) = x²
– 2x – three adalah …
A. (1, iv)
B. (-1, 4)
C. (4, one)
D. (i, -4)
East. (-1, -4)

Pembahasan / penyelesaian soal

→ x = –

b

2a

→ x = –

-2

2 . 1

= 1

→ y = –

D

4a

→ y = –

b²
– 4ac

4a

→ y = –

(-2)²
– four . 1 . -3

4 . 1

→ y = –

4 + 12

4

= -4

Jadi titik baliknya (1, -4). Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal six

Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = x²
– 2x + fifteen

B. y = x²
– 2x – 15

C. y = tenⁱⁱ
+ 2x + 15

D. y = 10²
– 8x – 15
E. y = 10²
– 8x + 15

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

• x1
  = -five
• x2
  = -three
• y = 15

Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:

• y = a (ten – xone) (ten – 102)
• y = a (ten – (-5)) (10 – (-three))
• y = a (x + v) (ten + 3)
• y = a (10two
  + 3x + 5 x + 15)
• y = a (102
  + 8x + 15)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = 15 sehingga didapat:

• fifteen = a (02
  + viii . 0 + xv)
• fifteen = a . fifteen
• a = fifteen/fifteen = one

Jadi fungsi kuadratnya adalah:

• y = 1 (x2
  + 8x + 15)
• y = x2
  + 8x + 15

Jadi soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 7

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = 2xⁱⁱ
+ 2x – four

B. y = 2x²
– 2x – 4

C. y = x^two
+ 10 – iv
D. y = x²
– 2x – 4

E. y = x²
– 10 – 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik diatas kita ketahui:

• 10ane
  = -1
• x2
  = ii
• y = -iv

Maka persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:

• y = a (x – (-i)) (x – 2)
• y = a (x + 1) (x – 2)
• y = a (10ii
  – x – 2)

Menentukan nilai a dengan cara subtitusi x = 0 dan y = -4 sehingga didapat hasil dibawah ini:

• -4 = a (02
  – 0 – two)
• -4 = a . -two
• a = -four/-2 = 2

Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

• y = 2 (xii
  – x – 2)
• y = 2xii
  – 2x – 4

Soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal 8

Perhatikan gambar dibawah ini.

Jika fungsi kuadrat grafik diatas dinyatakan oleh f(ten) = ax2 + bx + c maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah…
A. a < 0, b < 0, dan c < 0

B. a < 0, b > 0 dan c > 0

C. a < 0, b > 0 dan c < 0

D. a > 0, b < 0 dan c > 0

E. a > 0, b < 0 dan c < 0

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita bentuk terlebih dahulu persamaan fungsi kuadrat grafik diatas sebagai berikut:

• y = a (x – (-3)) (ten – (-i))
• y = a (ten + 3) (x + 1)
• y = a (x2
  + 4x + 3)
• -iii = a (0ii
  + 4 . 0 + 3)
• -3 = a . 3
• a = -3/3 = -1
• y = -1 (x2
  + 4x + 3)
• y = -ten2
  – 4x – 3

Berdasarkan persamaan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = -iv dan c = -3 atau a < 0, b < 0 dan c < 0. Jadi jawaban soal ini adalah A.

---

Contoh soal 9

Perhatikan gambar dibawah ini.

Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…
A. (-i, 0) dan (-8, 0)
B. (-ane, 0) dan (8, 0)

C. (ane, 0) dan (-viii, 0)

D. (1, 0) dan (8, 0)

E. (2, 0) dan (v, 0)

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

• titik balik xp = ix/two
• titik balik yp = -49/4
• y = 8

xp
=

-b

2 . a

=

9

two

Sehingga kita dapat a =

2

two

= 1 dan b = -ix.

yp
=

-(b2
– 4 . a . c)

4 . a

=

-49

4

b2
– 4 . a . c = 49

92
– four . 1 . c = 49

81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32

c =

32

4

= viii

Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah:

y = ax2
+ bx + c

y = tenp
– 9x + c

Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut:

tenp
– 9x + viii = 0

(xane
– viii) (x2
– 1) = 0

ten1
= 8 dan x2
= 1

Jadi titik potong sumbu X adalah (eight,0) dan (1,0). Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal ten

Diketahui f(ten) = ten²
+ 4x – 5, maka nilai minimumnya adalah …
A. -17
B. -9
C. -5
D. -two
E. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Tentukan terlebih dahulu titik ekstrem dengan mengunakan rumus sebagai berikut.

→ y = –

D

4a

→ y = –

b²
– 4ac

4a

→ y = –

4ⁱⁱ
– 4. one . -v

four. 1

= -9

Kemudian subtitusi y ke f(x) = x^two
+ 4x – 5 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

• -ix = x2 + 4x – five
• 0 = x2 + 4x – 5 + 9
• 10²
  + 4x + 4 = 0
• (x + ii)²
  = 0
• x = -2

Subtitusi x = -ii ke f(x) sehingga diperoleh nilai minimum sebagai berikut.

• f(ten) = x^two
  + 4x – v
• f(-ii) = (-two)²
  + iv . (-2) – five
• f(-2) = 4 – 8 – v = -9

Jadi soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal 11

Nilai maksimum dari fungsi kuadrat f(ten) = -x²
+ 2x + 15 adalah …
A. -32
B. -sixteen
C. 1
D. 16
Due east. 32

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menghitung nilia maksimum fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus dibawah ini.

→ y = –

D

4a

→ y = –

b²
– 4ac

4a

→ y = –

2ⁱⁱ
– four. -1 . 15

4. -1

→ y =

64

4

= xvi

Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 12

Sebuah peluru ditembakkan vertikal dengan persamaan lintasan h(t) = 150t – 5t². Tinggi maksimum peluru adalah …
A. 925 m
B. 1.015 thou
C. one.025 one thousand
D. 1.125 m
Eastward. 1.225 thousand

Pembahasan / penyelesaian soal

→ y = –

D

4a

→ y = –

b²
– 4ac

4a

→ y = –

(150)²
– 4. -1 . 0

4. -5

→ y =

22500

20

= 1.125 one thousand

Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 13

Diketahui jumlah 2 bilangan adalah 72. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah…
A. 72

B. 144

C. 360

D. 1.296

E. v.184

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita lalukan pemisalan two bilangan yaitu x dan y sehingga kita peroleh:

• x + y = 72
• y = 72 – x
• x . y = x (72 – x) = 72x – xii
• K = -x2
  + 72x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = 72 dan c = 0. Hasil kali maksimum kita gunakan rumus dibawah ini:

Jadi soal ini jawabannya D.

M =

-(b2
– 4 . a . c)

four . a

K =

-(722
– 4 . -1 . 0)

iv . -1

=

5184

4

= 1296

Jadi soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 14

Dua bilangan selisihnya 30. Agar hasil kalinya minimum maka kedua bilangan tersebut adalah…
A. 15 dan -15

B. 20 dan -10

C. 25 dan -5

D. 40 dan 10

E. 50 dan xx

Pembahasan / penyelesaian soal

Kita misalkan kedua bilangan tersebut x dan y maka kita peroleh:

• ten – y = xxx
• y = 10 – 30
• K = x . y = x . (x – 30) = xii
  – 30x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = 1, b = -xxx dan c = 0. Maka untuk menentukan nilai minimum kita gunakan rumus dibawah ini.

M =

-(b2
– 4 . a . c)

4 . a

K =

-(-30ii
– iv . ane . 0)

iv . 1

=

-900

4

= – 225

Thousand = -225 dan K = x2
– 30x maka kita dapat:

xii
– xxx 10 = -225

ten2
– 30x + 225 = 0

(x – xv)ii
= 0

x = 15

Kita subtitusi 10 = 15 ke persamaan y = x – xxx maka kita peroleh y = xv – xxx = -xv. Jadi hasil perkalian minimum jika kedua bilangan tersebut adalah xv dan -15.

Jadi soal ini jawabannya A.

---

Contoh soal 15

Diketahui persegipanjang dengan keliling 64 cm. Agar luas persegi panjang maksimum maka besar panjang dan lebarnya adalah…
A. 64 cm dan 1 cm

B. 32 cm dan 2 cm

C. 32 cm dan 4 cm

D. xvi cm dan 16 cm

E. 16 cm dan 8 cm

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menyelesaikan soal ini kita misalkan panjang = P dan lebar = L maka kita peroleh:

• 2 (P + Fifty) = 64
• P + L = 32
• P = 32 – L
• Luas = P . L = (32 – 50) . Fifty = 32 L – L2
• Luas = L2
  – 32L

Dari fungsi kuadrat luas diatas kita ketahui a = 1, b = -32 dan c = 0. Selanjutnya kita menentukan luas maksimum dengan cara dibawah ini:

Luas =

-(b2
– iv . a . c)

4 . a

Luas =

-(-32ii
– 4 . 1 . 0)

4 . 1

=

1024

4

= – 256

Luas = -256 dan Luas = Ltwo
– 32L sehingga kita peroleh hubungan sebagai berikut:

• L2
  – 32L = – 256
• Lii
  – 32L + 256 = 0
• (L – 16)2
  = 0
• Fifty = xvi

L = 16 kita subtitusi ke persamaan L + P = 32 maka P = 32 – 50 = 32 – xvi = 16. Jadi panjang dan lebar persegi panjang agar maksimum adalah P = sixteen cm dan Fifty = sixteen cm. Jadi soal ini jawabannya D.